TD Transferts thermiques 2: convection naturelle

Université Joseph Fourier - L3 Physique - 2016/2017
Thermodynamique (UE PAX6PHAJ)
TD Transferts thermiques 2: convection naturelle
An d'identier les grandeurs clé en convection naturelle, on s'intéresse à la situation extrêmement
simpliée appelée Convection de Rayleigh-Bénard : un uide est contenu dans une cellule d'épaisseur
D
et de surface horizontale
S =L2 D2 ,
et on s'intéresse au rôle des gradients de température entre le
haut et le bas de la cellule.
Dans ce modèle, on considérera que la pression est uniforme.
1) Pourquoi ce modèle est-il plus adapté à un gaz qu'à un liquide ?
2) On suppose qu'on part initialement d'une situation d'équilibre où la température est partout
dans la cellule. A
On appelle
t = 0,
β = − ρ1 (∂ρ/∂T )P
volumique du uide).
partir de
on impose une température
t = 0.
Tbas > Thaut
Thaut
sur la face inférieure de la cellule.
le coecient de dilatation thermique isobare du uide (ρ est sa masse
Expliquer pourquoi, si
β > 0,
Proposer un ordre de grandeur pour le
un mouvement se développe au sein du uide à
β
d'un gaz en CNTP.
3) On s'intéresse à une petite quantité du uide, de volume
d3 ,
que l'on suppose à la température
Tbas .
Ecrire la force résultante de la gravité et de la poussée d'Archimède (buoyancy) qui s'exerce sur cette
petite quantité de uide si tout son environnement est à
Thaut .
Cette résultante s'exerce-t-elle vers le
haut ou le bas ? En déduire, à un préfacteur près, la puissance du moteur qui met le uide de la cellule
en mouvement, en fonction de
L, D, g, ρ, β ∆T = Tbas − Thaut ,
et une vitesse
V
typique du déplacement
du uide.
4) Quel est l'ordre de grandeur des gradients de vitesse au sein de la cellule ? L'existence de ces gradients
− →
η ∇V . On rappelle
que l'énergie volumique liée à un champ de contraintes σij dans un champ de déformation ij est σik kj ,
− →
et qu'ici l'ordre de grandeur de la déformation pendant un temps dt est de ∇V × dt. En déduire, la
puissance dissipée par viscosité au sein de la cellule en fonction de η , V , D et de L. Retrouver ce résultat
de vitesse génère des contraintes tangentielles opposée au mouvement, d'amplitude
par des considérations purement dimensionnelles.
5) La viscosité cinématique
ν = η/ρ
est en fait un coecient de diusion de la vitesse (unité :
Proposer un ordre de grandeur de la vitesse
6) Montrer que le nombre de Grashof
V
en fonction de
ν
et
m2 /s
).
D.
Gr, qui donne le rapport entre le moteur du mouvement (puissance
des eets de gravité et de poussée d'Archimède) et ce qui est dissipé par viscosité, s'écrit:
Gr =
β g ∆T D3
ν2
β g ∆T D 3
permet de caractériser la vigueur de la convection, il correspond
νa
au rapport entre les phénomènes moteurs et les phénomènes dissipatifs qui s'opposent à la convection.
7) Le nombre de Rayleigh
Ra =
1
Au vu de l'expression, pouvez-vous proposer un phénomène qui s'oppose à la convection, autre que la
Ra > 1000. Comment la chaleur se transmet-elle
D = 8 mm, quel ∆T faut-il pour induire un mouvement au
viscosité ? Le uide se met en mouvement pour des
pour des
Ra < 1000
? Pour une épaisseur
sein d'une cellule remplie d'air ?
8) On va chercher à diérencier quantitativement les transferts de chaleur par conduction des transferts
de chaleur par convection. Lister les cinq grandeurs caractérisant le uide, et les trois caractérisant la
cellule dans son champ de pesanteur (on ne tiendra pas compte des dimensions horizontales de la celule,
dont on admet qu'elles ne jouent pas ici). Que vous dit le théorème de Vashy-Buckingham sur le nombre
de rapports adimensionnés à considérer ?
Dans la suite, on tiendra compte du fait que
β
et
∆T
n'interviennent que via leur produit pour ne
considérer que 3 nombres adimensionnés. Ces nombres doivent être indépendants, c'est-à-dire qu'aucun
ne doit pouvoir être exprimé comme un produit de puissances des autres.
ν
a , où a est la diusivité
thermique, et qui caractérise la distribution des vitesses par rapport à la distribution des températures.
On considère d'ordinaire le nombre de Rayleigh et le nombre de Prandtl
Pr =
9) Donner un ordre de grandeur pour le temps typique de diusion des vitesses sur une longueur
déduire que le nombre de Prandtl
Pr
D.
En
peut aussi être considéré comme le rapport entre les temps typiques
de diusion thermique et de diusion des vitesses.
Evaluer le nombre de Prandtl pour l'air.
Si
P r 1:
le prol de
T
est fortement inuencé par le prol des vitesses : on peut considérer que la
température d'une petite quantité de uide reste constante au cours de son déplacement ; si
prol de
T
P r 1:
le
faiblement inuencé par le prol des vitesses (ex: métaux liquide, où conduction thermique
t. bonne). Pour chacune de ces deux limites, la modélisation est très simpliée. Dans quelle situation
est-on pour l'air ?
10) On cherche à évaluer l'échauement du uide dû à la dissipation visqueuse.
a - Rappeler l'expression de
q,
source de chaleur volumique, en fonction de
η, ν
et
D.
b - En vous aidant de ce qui a été fait dans le TD1, exercice 1, montrer que la variation de température
ην 2
λD 4 si les échanges de chaleur
étaient purement conductifs. Cette dernière hypothèse conduit-elle à surévaluer ou sous-évaluer ∆Tf riction
typique
∆Tf riction
liée à ce phénomène serait de l'ordre de grandeur de
?
c - A quelle épaisseur de cellule
d - Calculer
Ra
pour
D1
et
Pr
correspond une variation de température
∆T = 2°C.
e - Le nombre sans dimension
et
D1
∆Tf riction =1°C
?
Conclusion : faut-il tenir compte de∆Tf riction pour un gaz ?
∆T /∆Tf riction
peut-il s'exprimer comme un produit de puissances de
?
2
Ra