Fluides visqueux Les points du cours à connaître

physique
année scolaire 2016/2017
Fluides visqueux
Les points du cours à connaître
mardi 15 novembre 2016
I- Généralités sur les uides visqueux
1. Forces surfaciques dans un uide
Pression (dénition)
2. Introduction de la viscosité
Expression des forces de viscosité pour un écoulement unidimensionnel (dénition)
Viscosités dynamique et cinématique (dénition)
Force de cisaillement (dénition)
3. Etude cinématique des écoulement visqueux
Conditions aux limites sur un solide (dénition)
Conditions aux limites sur un uide non visqueux (dénition)
II- Dynamique des uides visqueux
1. Équation de Navier Stokes
Équivalent volumique des forces de viscosité pour un uide newtonien (dénition)
Equation de Navier Stokes dans le cas d'un référentiel galiléen (dénition)
2. Nombre de Reynolds
Nombre de Reynolds (dénition)
Écoulement laminaire (dénition)
Diusion de la quantité de mouvement (dénition)
Écoulement turbulent (dénition)
3. Traînée
Maître-couple (dénition)
Force de traînée (dénition)
spé PC
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4. Inuence du nombre de Reynolds sur l'écoulement autour d'une sphère immobile
5. Couche limite
Ecoulement parfait (dénition)
spé PC
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Techniques à maîtriser
jeudi 17 novembre 2016
I- Les capacités exigibles
1. Forces de viscosité
ce qu'il faut savoir faire capacités
−→
x
Utiliser l'expression fournie dF = η ∂v
ux
∂y dS~
−→
Établir sur cet exemple l'expression dF = η∆~v dτ . Utiliser sa généralisation admise pour un écoulement
incompressible quelconque.
2. Champ de vitesse
ce qu'il faut savoir faire capacités
Utiliser l'équation de Navier-Stokes dans un uide newtonien en écoulement incompressible.
3. Utilisation du nombre de Reynolds
ce qu'il faut savoir faire capacités
Évaluer en ordre de grandeur le rapport du terme convectif sur le terme diusif et le relier au nombre
de Reynolds dans le cas d'une unique échelle spatiale.
Évaluer un nombre de Reynolds pour choisir un modèle de traînée linéaire ou un modèle de traînée
quadratique.
II- Méthodes
1. Forces de viscosité
A) Forces de cisaillement méthode
La force de viscosité exercée par la veine lente (pour y < y0 ) sur la surface S de cote y0 qui la sépare de
x
la veine rapide (pour y > y0 ) est Fx = −η.S ∂v
∂y . La contrainte tangentielle σ exercée sur le plan solide
de cote z = z0 est σ = η
dv(z)
dz
z=z0
.
2. Champ de vitesse
B) Appliquer l'équation de Navier Stokes méthode
Les inconnues dans l'équation de Navier Stokes sont les trois composantes de la vitesse, la masse volumique et la pression, soit cinq inconnues scalaires. Si on ajoute à l'équation de Navier Stokes la relation
locale de conservation de la masse, on dispose de quatre équations scalaires : il nous manque encore
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une équation pour déterminer parfaitement les inconnues. Bien souvent, il s'agira de relier la masse
volumique µ à la pression P , via une relation thermodynamique : µ = f (P ). Citons par exemple : pour
∂µ
(uide compressible).
les liquides µ = µ0 = cste (uide incompressible), pour les gaz χ = µ1 ∂P
Les solutions de l'équation de Navier Stokes devront bien entendu vérier les conditions aux limites,
aussi bien spatiales que temporelles : au contact d'un solide, la vitesse normale est nulle et la vitesse
tangentielle du uide égale à celle du solide, à l'interface entre deux uides, la force de cisaillement est
continue, donc la dérivée de la vitesse suivant la normale à l'interface est aussi continue.
En projetant suivant une direction, on peut n'avoir plus qu'une équation en pression, qu'on intègre,
grâce aux conditions aux limites. La projection suivant une direction orthogonale permet de trouver la
vitesse, encore grâce aux conditions aux limites : ~v = ~0 au contact du solide dans le référentiel du solide.
3. Utilisation du nombre de Reynolds
C) Nombre de Reynolds méthode
Il s'agit de faire un raisonnement sur des ordres de grandeurs. Par exemple, avec le nombre de Reynolds
Re = µ.V.L
= V.L
η
ν il y a deux cas biens marqués : si Re 1 : la diusion est prédominante (le temps
de transport de la quantité de mouvement par diusion est beaucoup plus court que par convection) ;
si Re 1 : la convection est prédominante (le temps de transport de la quantité de mouvement par
diusion est beaucoup plus long que par convection).
On parlera d'écoulement laminaire si Re < 2000.
D) Forces de traînée méthode
2
La force de trainée est de la forme : F~trainee = Cx µ.v2∞ .S ~ux . Suivant
la valeur du nombre de Reynolds, on
24
discerne trois comportements : si Re < 1, Cx = Re
, si Re ∈ 103 ; 105 , Cx ≈ cst, autour de Re = 5.105 ,
Cx chute brusquement.
III- Exercices
1. Forces de viscosité
1.1) Contrainte exercée par un ruissellement laminaire
Un liquide - assimilé à un uide visqueux, newtonien, incompressible, de masse volumique µ et de viscosité
dynamique η s'écoule sur un plan incliné d'un angle α sur l'horizontale sur une hauteur δ constante. On étudie
l'écoulement en régime stationnaire. On admet que le champ de vitesse est :
~v =
µ.g. sin α
(2.δ − z) .z.~ux
2.η
où ~uz est orthogonal à l'écoulement (et donc au plan incliné), orienté depuis le plan vers le liquide.
1) Quelle est la contrainte tangentielle σ exercée sur le plan incliné ?
σ = µ.g. sin α.δ .
1.2) Contrainte exercée par le déplacement d'une plaque dans un uide
Soient deux grandes plaques parallèles, l'espace entre les plaques étant rempli d'un uide donné. La plaque
inférieure (en y = 0) est xe, tandis que la plaque supérieure (en y = ∆y ) est entraînée par une force constante
~ = V.~ux .
F~0 = F0 .~ux , et on constate qu'elle est animée d'une vitesse constante V
Il s'exerce donc sur la plaque une force, dirigée parallèlement à la plaque et opposée à F~0 : c'est la force de
viscosité, notée F~ .
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Le uide en contact avec la plaque supérieure va y adhérer et va donc être animé de la vitesse V~ = V.~ux ,
tandis que le uide en contact avec la plaque xe aura une vitesse nulle. La vitesse d'écoulement au sein du
uide est en tout point parallèle à l'axe Ox, mais son module dépend de la cote y : ~v = vx (y).~ux .
Si la distance y et la vitesse V ne sont pas trop grandes, on constate que le prol des vitesses est une droite.
1) Exprimer ∂v∂yx .
Les expériences ont d'autre part montré que la force F0 à exercer sur la plaque supérieure pour l'entraîner à
la vitesse constante V , varie proportionnellement avec la surface de la plaque, avec la vitesse V et inversement
avec ∆y .
2) Déterminer la force de viscosité exercée par la veine lente (pour y < y0 ) sur la surface S de cote y0 qui
la sépare de la veine rapide (pour y > y0 ).
V
Fx = −η.S ∆y
.
1.3) Contrainte exercée par un écoulement de Poiseuille cylindrique
On considère un écoulement de Poiseuille permanent dans un tube cylindrique d'axe Oz , de section circulaire
et de rayon R :
v(r) = −
R2 dp
4 η dz
1−
r2
R2
Déterminer la projection des forces de cisaillement.
σ(r) =
r dp
2 dz .
2. Champ de vitesse
2.4) Ecoulement entre deux cylindres
L'écoulement d'un uide entre deux cylindres concentriques, de rayons R1 et R2 , tournant autour de leur
axe commun (Oz) aux vitesses angulaires Ω1 et Ω2 peut être décrit par le champ des vitesses :
~v (~r, t) =
B
A.r +
r
.~uθ
1) Déterminer les constantes A et B en écrivant la continuité des vitesses du uide et des cylindres en R1
et R2 .
2) Que se passe-t-il dans le cas où Ω1 = Ω2 = Ω ?
A=
Ω2 .R22 −Ω1 .R12
R22 −R12
et B =
(Ω1 −Ω2 ).R22 .R12
.
R22 −R12
2.5) Ecoulement au dessus d'un plan oscillant
L'écoulement entre un plan oscillant (y = 0) et l'inni (y → +∞) est donné par le champ eulérien des
vitesses suivant :
~v (~r, t) = A.e−k.y . cos (ω.t − k.y) .~ux
Vérier que les conditions aux limites sont correctes.
~v (y = 0) = A. cos (ω.t) .~ux et ~v (y → +∞) = ~0.
2.6) Loi de Darcy
Une paroi poreuse est modélisée par une couche de matière d'épaisseur ` percée de N tubes cylindriques
horizontaux, de rayon a et de longueur ` (a `), par unité de surface. Il existe, au sein du liquide, une diérence
de pression ∆p entre les deux faces de la paroi poreuse. On ne tient pas compte du champ de pesanteur.
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On admet que l'écoulement d'un uide visqueux newtonien, incompressible, à travers cette paroi est caractérisé par une loi de Poiseuille cylindrique dans chaque tube, avec un champ des vitesses ~v = v(r)~uz tel
que :
v(r) =
∆p
f (r)
4.η.`
où f (r) = r2 + B.r + C est une fonction polynomiale d'ordre deux de la distance r à l'axe du tube.
Déterminer v(r).
∆p
v(r) = − 4.η.`
a2 − r2 .
2.7) Ecoulement de Poiseuille plan
Un liquide - assimilé à un uide visqueux, newtonien, incompressible, de masse volumique µ et de viscosité
dynamique η s'écoule entre deux plans parallèles éloignés de δ suivant l'axe Oz . On étudie l'écoulement en
régime stationnaire. On admet que le champ de vitesse est de la forme :
~v = v (z) .~ux
où ~ux est parallèle aux plans, orienté dans le sens de l'écoulement. On négligera l'eet de la pesanteur devant
celui des forces de pression.
Déterminer v (z).
~v = − 21η ∆P
ux .
∆x (δ − z) .z.~
2.8) Ecoulement de Poiseuille cylindrique
On considère l'écoulement permanent d'un uide de viscosité η (écoulement de Poiseuille) dans un tube
cylindrique d'axe Oz , de section circulaire et de rayon R.
On admet que la vitesse est ~v (r, z, θ) = vz (r)~uz ; que la pression ne dépend que de z et que et la variation
de la pression est constante le long de l'axe z . On négligera la pesanteur.
Déterminer la vitesse du uide.
2
v(r) = − 4Rη
dp
dz
1−
r2
R2
.
2.9) Champ des vitesses dans un ruissellement laminaire
Un liquide - assimilé à un uide visqueux, newtonien, incompressible, de masse volumique µ et de viscosité
dynamique η s'écoule sur un plan incliné d'un angle α sur l'horizontale sur une hauteur δ constante. On étudie
l'écoulement en régime stationnaire. On admet que le champ de vitesse est de la forme :
~v = v (x, z) .~ux
où ~ux est parallèle au plan incliné, orienté dans le sens de l'écoulement et ~uz est orthogonal à l'écoulement (et
donc au plan incliné), orienté depuis le plan vers le liquide.
1) Montrer qu'alors v (z) uniquement.
2) Déterminer le champ de pression P (x, z) dans le uide.
3) Déterminer v (z).
P (x, z) = −µ.g. cos α. (z − δ) + Patm et ~v =
µ.g. sin α
2.η
(2.δ − z) .z.~ux .
2.10) Champ des vitesses dans un amortisseur hydraulique
On schématise un amortisseur hydraulique par un cylindre de rayon R, dans lequel peut se déplacer un
piston de longueur ` et de rayon R0 = R − a (où a R). Le cylindre contient une huile incompressible, de
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masse volumique µ et de viscosité dynamique η , qui peut s'écouler entre le piston et la paroi du cylindre. On
néglige les eets de la pesanteur. Le champ de vitesse vz (r) du uide entre le piston et la paroi est assimilable
à un champ vz (x) puisque a R.
1) Exprimer l'équation diérentielle suivie par vz (x).
2) Trouver vz (x) dans le référentiel du cylindre (le piston se déplace avec la vitesse vp ).
1)
2)
2
∆p
−F
η ddxv2z = dp
dz = ` = `.π.R2 .
v
−F
vz = 2η.`.π.R2 (x − a) .x − ap x.
3. Utilisation du nombre de Reynolds
3.11) Nombre de Reynolds associé à une voiture
On s'intéresse à une voiture qui se déplace dans l'air de viscosité η = 18.10−6 P l avec la vitesse v = 100km/h.
Calculer le nombre de Reynolds. Qualier l'écoulement.
Re ≈ 2.106 .
3.12) Nombre de Reynolds associé à l'écoulement d'eau d'un robinet
On s'intéresse à un tuyau d'eau de diamètre intérieur d = 12mm.
Justier le fait que pour un débit volumique D1 = 0, 2L/min, l'écoulement est laminaire et pour un débit
D2 = 10L/min, l'écoulement est turbulent.
Re1 = 3.102 < 2000 et Re2 = 2.105 > 2000.
3.13) Nombre de Reynolds associé à l'écoulement d'huile sur un plan incliné
On s'intéresse à une mince couche d'huile (de viscosité η = 1, 0P l, masse volumique µ = 1, 0.103 kg/m3 )
d'épaisseur e = 1mm, qui coule le long d'un plan zOx incliné d'un angle α = 30◦ . Son champ des vitesse est de
la forme
~v =
µ.g. sin α
y. (2.e − y) .~ux
2η
L'écoulement est-il laminaire ?
Re = 2.10−2 donc l'écoulement est laminaire.
3.14) Nombre de Rossby dans l'atmosphère
1) Ecrire l'équation d'Euler dans le référentiel terrestre non galiléen.
On note U un ordre de grandeur caractéristique des vitesses de l'écoulement, L une dimension horizontale
caractéristique de celui-ci. On appelle nombre de Rossby (noté Ro ) d'un écoulement le rapport sans dimension
entre le terme d'accélération et le terme lié à la force de Coriolis dans la précédente équation.
2) Évaluer Ro pour un écoulement atmosphérique typique pour lequel U = 10m.s−1 et L = 1000km .
Commenter le résultat obtenu.
3) Même chose pour un écoulement d'air dans une pièce : U = 1m.s−1 et L = 10m .
Dans l'atmosphère : Ro ≈
négligeables.
U
L.Ω
= 0, 14 et dans une pièce Ro ≈
U
L.Ω
= 1375 : les forces de Coriolis sont
3.15) Forces de viscosité dans un amortisseur hydraulique
On schématise un amortisseur hydraulique par un cylindre de rayon R, dans lequel peut se déplacer un
piston de longueur ` et de rayon R0 = R − a (où a R). Le cylindre contient une huile incompressible, de
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masse volumique µ et de viscosité dynamique η , qui peut s'écouler entre le piston et la paroi du cylindre. On
néglige les eets de la pesanteur. Le champ de vitesse vz (r) du uide entre le piston et la paroi est assimilable
vp
−F
à un champ vz (x) puisque a R. On admet que vz = 2η.`.π.R
2 (x − a) .x − a x, où vp est la vitesse du piston
et F la force exercée par l'opérateur.
1) Exprimer le débit volumique Dv :
1.a) à partir du champ de vitesse vz (x)
1.b) grâce à une autre relation.
2) En déduire la relation qui lie la vitesse vp et F .
F ≈ 6.π.η.`.vp R
a3 .
3
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Travaux dirigés
vendredi 18 novembre 2016
Cet exercice sera fait en demi-groupe lors de la séance de travaux dirigés.
L'écoulement de Poiseuille
Site de plomberie disponible à l'adresse :
http: // www. digitec-energies. com/ plomberie. php
Comment choisir le diamètre d'un tuyau d'eau ?
Dans une installation, chaque poste de puisage ouvert (robinet, machine à laver, arroseur...) utilise une partie
de la quantité totale qui alimente l'installation. Entre deux tuyaux, c'est le plus gros qui a le plus important
débit. Dans une maison, tous les postes de puisage n'ont pas besoin du même débit. Un robinet de baignoire,
par exemple, doit avoir un plus gros débit qu'un robinet de lavabo et une chasse d'eau n'a besoin que d'un faible
débit.
Le débit étant proportionnel à la section de la canalisation, on prévoit généralement les diamètres intérieurs
suivants :
• Canalisation d'arrivée : 16 ou 18 mm
• Évier ou Baignoire : 12 mm
• Lavabo, Bidet, Douche, Lave-vaisselle, Lave-linge : 10 mm
• Chaue-eau, Cuisine avec lave-vaisselle, Salle de bains avec douche, Poste d'arrosage : 14 mm
• W.C., Lave-mains : 8 mm
Enoncé
Un tuyau horizontal d'axe Oz (on négligera la pesanteur), de rayon R est utilisé pour porter d'un endroit
en un autre de l'eau (de masse volumique µ = 1, 0.103 kg · m−3 et de viscosité η = 1, 0.10−3 Pl).
On se place dans un repère cylindrique d'axe (Oz).
La pression ne dépend que de z . La variation de pression par unité de longueur notée ∆P
∆z dans le tuyau est
constante.
La vitesse du uide est dirigée suivant ~uz et ne dépend que de r.
On rappelle la relation de Navier Stokes :
µ.
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D~v
−−→
= µ.~g − grad(P ) + η.∆~v
Dt
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On supposera le régime stationnaire et laminaire.
Enn, le laplacien scalaire en cylindrique d'une fonction ne dépendant que de r vaut
∆v =
1 ∂
r ∂r
r
∂v
∂r
1) Par combien faut-il multiplier la valeur du rayon d'un tuyau pour en tripler le débit ?
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Devoir non surveillé
vendredi 18 novembre 2016
Le document est à lire, l'exercice est à rendre.
Ecoulements visqueux dans le corps
Etienne Guyon
Matière et matériaux - Belin.
Comment fonctionnent le coude ou le genou ? Comment s'écoule le sang dans les
vaisseaux sanguins ? Ces questions simples mettent en jeu la viscosité des
écoulements uides.
Au repos et soumis à l'action de forces extérieures, un uide (liquide ou gaz) a un comportement comparable
à celui d'un solide. La compression et la dilatation d'un solide sous l'eet de forces ou de changements de température ont en eet leur équivalent pour un uide : la pression hydrostatique. Elle s'exerce perpendiculairement
aux parois du récipient contenant le uide, et correspond aux contraintes normales pour un solide.
Intéressons-nous aux propriétés d'un liquide en mouvement. Alors que plusieurs
grandeurs telles que rigidité et
dureté caractérisent la diversité des comportements mécaniques des matériaux solides, un seul coecient - la
viscosité- est susante pour
décrire les écoulements des
uides simples (dits newtoniens) en écoulement. Il faut
pour cela se limiter à des écoulements à des vitesses subsoniques, pour lesquels on peut
considérer que la masse volumique des uides ne dépend
pas de la vitesse (par opposition au cas des écoulements
supersoniques, où la compressibilité est responsable du
bang). S'il est d'usage courant de considérer que l'huile
est visqueuse et que l'eau ne
l'est pas, c'est inexact ! Même
l'air possède une viscosité, et
le préxe hydro s'applique
aussi aux écoulements gazeux.
Nous verrons quelques propriétés de ces écoulements visqueux.
L'expérience modèle de cisaillement à l'aide d'un liquide
placé entre deux plaques de
verre parallèles en mouvement l'une par rapport à l'autre permet précisément de dénir la notion de viscosité, comme nous le verrons ci-dessous. Alors que, dans un solide une contrainte de cisaillement donnée entraîne
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une certaine déformation xe, dans un liquide, elle donnera lieu à une vitesse (ou un taux) de déformation En
eet, dans le cas du cisaillement d'un liquide le glissement des couches les unes contre les autres se poursuit
indéniment dans le temps : tant que la force est appliquée, l'angle de cisaillement croît constamment et il y a
écoulement du liquide.
Le liquide peut lui aussi être soumis à une traction un let de miel qui coule (Fig. 1a) rappelle l métallique
que l'on étire, à ceci près que lorsqu'on applique une force xe, le l adopte une déformation constante, tandis
que le let s'allonge, s'allonge... et nit par rompre. Ce qui compte dans le cas du liquide, c'est en fait la vitesse
du uide, et non le déplacement lui-même.
La viscosité qui fait glisser
Dans un let de miel qui s'étire, la vitesse varie le long de l'axe du déplacement. La viscosité résiste aux
changements de la vitesse du let, qui accélère le long de son axe en tombant. En pâtisserie, le let de sucre
fondu peut -ainsi être caractérisé par sa viscosité, en le laissant se vider avec une petite cuillère. Le cuisinier aura
en outre une sensation directe de la viscosité en faisant glisser l'un sur l'autre un peu de ce sucre fondu entre le
pouce et l'index : la force qui résiste au cisaillement est proportionnelle à la viscosité. Une forme plus contrôlée
de cette expérience consiste à placer une goutte de liquide entre deux plaques de verre parallèles, distantes de
d, dont l'une est xe et l'autre en mouvement à la vitesse V (Fig. 1b). Le rapport V /d est le gradient de vitesse
qui mesure comment le liquide, xe au niveau de la plaque immobile, atteint la vitesse V au contact de la face
mobile. Dans cette situation de cisaillement, tout se passe comme si des couches liquides parallèles aux plaques
superposées glissaient les unes contre les autres, et que les forces moléculaires locales de viscosité résistaient au
glissement relatif.
La contrainte de cisaillement est le quotient de
la force F s'opposant au glissement par la surface
S de plaques couverte par le liquide. Elle est proportionnelle au gradient de vitesse et à la viscosité
η , caractéristique du liquide. Cette relation entre
gradient, contrainte et viscosité s'exprime simplement à l'aide de la formule :
F
ηV
=
S
d
Le tableau 2 montre la grande diversité des phénomènes où intervient la viscosité, ainsi que la vaste
gamme de valeurs rencontrées.
L'air est-il visqueux ?
Voici une expérience simple qui va vous
convaincre du caractère visqueux de l'air. Faites
glisser, en la lançant au- dessus d'une surface lisse,
une feuille de papier légère mais rigide. Elle se déplace sur une grande distance horizontale tout en restant pratiquement parallèle à la table. L'air mis en mouvement sous la feuille (du fait de sa viscosité) engendre des forces
de pression qui maintiennent la feuille légèrement surélevée. Si on recommence après avoir percé la feuille d'une
dizaine de petits trous, cette surpression intérieure disparait par suite du contact de l'air intérieur et externe.
Lancée dans les mêmes conditions, la feuille percée s'arrête très rapidement.
La lubrication
Une expérience simple, consistant à faire glisser une feuille de papier sur une surface, permet de comprendre
que la lubrication par un uide est due à l'écoulement uide induit par le déplacement d'une surface par
rapport à l'autre. Il existe de très nombreuses manifestations de la lubrication, en particulier en sciences du
vivant. Ainsi, les poumons sont entourés par les plèvres. Il s'agit d'une enveloppe double : la plèvre externe est
solidaire de la cage thoracique, tandis que la plèvre interne est solidaire du tissu pulmonaire. Lorsque le poumon
se gone (au moment de l'inspiration), il doit pouvoir bouger librement par rapport à la cage thoracique. Ce
n'est possible que grâce à une mince couche de liquide pleural qui permet aux. deux plèvres de glisser l'une sur
l'autre. En cas de pleurésie, l'inammation perturbe les qualités du liquide pleural et le mouvement du poumon
devient douloureux.
Il en va de même pour le péricarde, l'enveloppe double qui entoure le c÷ur. Le péricarde interne est solidaire
du c÷ur, le péricarde externe de la cage thoracique. Les battements du c÷ur sont facilités par le glissement l'un
sur l'autre des deux feuillets péricardiques, rendu possible par la présence d'un liquide péricardique lubriant.
Lors d'une péricardite, les battements cardiaques deviennent douloureux et le frottement des deux feuillets
l'un sur l'autre produit un bruit caractéristique, audible à l'auscultation, que les médecins décrivent comme le
crissement du cuir d'une chaussure neuve.
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Dans les articulations, un liquide lubriant, la synovie, ralentit l'usure des cartilages lorsqu'ils glissent les uns
sur les autres. C'est ce liquide qui, en sortant de ses enveloppes, provoque des spectaculaires ÷dèmes articulaires
lors de certaines entorses.
Dans un autre registre, sans le liquide lacrymal, les paupières ne pourraient pas bouger sur la cornée.
La lubrication intervient aussi dans les sports de glisse où une ne couche d'eau liquide limite le frottement
entre le sol (neige, eau, glace) et un support. Enn, dans les paliers de lubrication en mécanique, un cylindre
est en rotation par rapport à un autre cylindre xe. Un liquide visqueux (généralement de l'huile) placé entre
les deux se fait entraîner par la rotation. Les pressions créées par l'écoulement du liquide induisent des forces
qui s'exercent sur les cylindres et les maintiennent séparés.
Plomberie sanguine
Aujourd'hui, nous savons que la circulation
sanguine est un très subtil problème de plomberie
dans lequel un uide visqueux plutôt complexe - le
sang - circule, grâce à une pompe, dans des tuyaux
qui se divisent et risquent de se boucher. Les débits sanguins peuvent être mesurés par échographie, avec le même principe général d'eet Doppler
à l'÷uvre dans les radars d'autoroute : la diérence
de fréquence entre une onde acoustique incidente
sur le sang en mouvement et l'onde rééchie est en
eet proportionnelle à la composante de la vitesse
dans la direction de l'onde.
Que se passe-t-il lorsqu'un liquide s'écoule dans
un tube cylindrique ? Il est freiné par son frottement visqueux, à la fois à l'intérieur du volume et
contre les parois. La vitesse varie suivant la distance à l'axe du tube : elle est nulle au voisinage
des parois et maximale au centre du tube (Fig. 2).
Pour vaincre ce frottement dû au glissement relatif
des couches uides, il faut appliquer une diérence de pression entre l'entrée et la sortie, la perte de charge. Le château d'eau responsable de l'alimentation
en eau domestique doit ainsi se situer plus haut que les habitations, pour que la pression hydrostatique y soit
supérieure à celle au niveau du robinet. Dans le cas d'un vaisseau sanguin, la pompe cardiaque assure une
surpression (qu'on mesure à l'aide d'un tensiomètre médical) pour vaincre les eets de viscosité.
Le débit Q dans un tube cylindrique augmente proportionnellement à la perte de charge ∆P/L, qui pousse le
liquide suivant la foi de Poiseuille. Celle-ci rappelle la loi d'Ohm exprimant la relation entre l'intensité du courant
électrique dans un conducteur et la diérence de potentiel à ses bornes. En revanche, la loi de variation du débit
avec la section est très diérente de celle des conducteurs électriques. Cela tient à la variation parabolique de la
vitesse à l'intérieur du tube : pour un diamètre de tube deux fois plus petit, le débit est seize fois plus faible !
Cette variation peut surprendre mais, en l'absence de viscosité (uide parfait), la vitesse serait uniforme dans
toute la section du tube et le débit serait uniquement proportionnel à cette section, comme pour un conducteur
électrique.
De façon générale, la perte de charge est d'autant plus importante que le liquide est visqueux, le diamètre
du tube petit, et ses parois rugueuses. Ainsi, on uidie le sang (souvent avec de l'aspirine) pour éviter des
thromboses après un accident vasculaire. L'utilisation d'EPO (érythropoïétine), qui n'est autorisée que pour
certains traitements médicaux, entraîne une augmentation notable du nombre de globules rouges dans le sang
et une amélioration des performances sportives, mais se doper à l'EPO accroît notablement la viscosité du sang,
qui devient pâteux, avec des risques graves pour la santé (hypertension ou embolie).
Dans des tubes de petit diamètre, tels que les capillaires sanguins, la viscosité, à elle seule, permet de
caractériser l'écoulement une fois que la géométrie du tube (section, longueur) a été dénie. Si la loi de Poiseuille
s'applique bien pour la canalisation rigide d'un tuyau de plomberie, cela se complique pour nos vaisseaux dont
les parois sont élastiques. Cette élasticité permet cependant aux vaisseaux d'amortir les variations périodiques
du débit qu'impose la pompe cardiaque -du moins tant qu'ils sont en bon état. Grâce à cette déformabilité, le
sang circule dans des capillaires dont le diamètre est inférieur à celui d'un globule rouge.
Enoncé
spé PC
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Janson de Sailly
physique
année scolaire 2016/2017
1) Ecoulement de Couette
1.a) En se plaçant dans la géométrie de la gure 1.a, où la vitesse est ~v = v(y)~ux , exprimer le gradient
−−→
grad v(y) en fonction de V et d.
1.b) En reprenant la relation donnant la contrainte de cisaillement du texte, donner dans la géométrie
unidimensionnelle l'expression de la force F~ s'opposant au glissement par la surface S de plaques couverte par
−−→
le liquide à l'aide de grad v(y).
1.c) En faisant enn un bilan des forces de viscosité pour un système qui est un parallélépipède rectangle
d'épaisseur dy suivant Oy et de surface S pour les plans de cote y0 et y0 + dy , montrer que la force de viscosité
par unité de volume peut s'écrire
2) Ecoulement de Poiseuille
d3 F~
= η.∆~v
d3 τ
On s'intéresse maintenant à un uide qui s'écoule (comme dans la gure 2 du document) dans un tube
cylindrique de rayon R d'axe Oz qui dénit un repère cylindrique. Le champ de vitesse est alors de la forme
~v = v(r)~uz .
On donne le laplacien scalaire en cylindrique :
∆f =
∂ µ2 .µ3 ∂f
∂ µ3 .µ1 ∂f
∂ µ1 .µ2 ∂f
1
.
+
.
+
.
µ1 .µ2 .µ3 ∂r
µ1 ∂r
∂θ
µ2 ∂θ
∂z
µ3 ∂z
où µ1 = 1, µ2 = r et µ3 = 1.
3
2.a) Que devient dans ce cas l'expression de la force de viscosité par unité de volume dd3Fτ~ ?
−−→
2.b) Exprimer grad P dans ce cas, en fonction de ∆P et L.
2.c) Appliquer l'équation de Navier-Stokes en régime stationnaire et en négligeant la vitesse. On calculera
la dérivé convective de la vitesse.
2.d) Déterminer l'expression de v(r) grâce aux conditions aux limites.
2.e) Exprimer le débit Q et vérier, comme le dit le texte, que "Q augmente proportionnellement à
la perte de charge ∆P/L" et que "pour un diamètre de tube deux fois plus petit, le débit est seize fois plus
faible".
Devoir surveillé
samedi 19 novembre 2016
Un DS commun aura lieu samedi 19 novembre 2016 de 8h à 12h, il portera sur la mécanique des uides
spé PC
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