TD d'analyse
M1
Bachir Mohammed
Laboratoire SAMM 4543, Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne,
Centre P.M.F. 90 rue Tolbiac 75634 Paris cedex 13
September 10, 2019
2
0.1 TD1 (Trois séances)
Exercice 1.
Soit
Lip0 [0, 1] := {f : [0, 1] → R/f (0) = 0 et kf kL :=
sup
x,y∈[0,1]:x6=y
|f (x) − f (y)|
< +∞}.
|x − y|
(1) Montrer que (Lip0 [0, 1], k.k∞ ) est un sous espace vectoriel normé de (B([0, 1], R), k.k∞ )
(l'espace des fonctions f : [0, 1] −→ R bornées).
(2) Montrer que (Lip0 [0, 1], k.kL ) est un espace vectoriel normé.
(3) Montrer qu'il existe une constante c > 0 telle que pour tout f ∈ Lip0 [0, 1] on a
kf k∞ ≤ ckf kL .
(4)
Montrer que k.kL et k.k∞ ne sont pas équivalentes.
Soit (X, k.k) un evn et K un compact de X . Alors, pour tout entier
n
Bf (xnik , n1 ).
, il existe une suite nie de points xn1 , ..., xnin ∈ K tel que K ⊂ ∪ik=1
Exercice 2.
n∈
N∗
Exercice 3.
Soit (X, k.k) un evn. Tout compact de X est séparable.
Soit (X, k.k) un evn, K un compact de X . Soit (xn ) une suite de K et
une valeur d'adherence de (xn ). Alors, (xn ) convergente vers l ssi l est l'unique
valeur d'adhérence de (xn ).
Exercice 4.
l∈K
Soit (X, k.k) un evn et Bf (0, 1) sa boule unité fermé. Soit (xn ) une suite
de Bf (0, 1) tel que il existe a > 0 satisfaisant: ∀p, q ∈ N
Exercice 5.
kxp − xq k ≥ a.
Montrer que Bf (0, 1) n'est pas compact.
Exercice 6.
Soit (X, k.k) un evn, (Kn ) une suite décroissante de compact non vide de
pour tout n ∈ N). Montrer que K = ∩n∈N Kn est un compact non vide.
X (Kn+1 ⊂ Kn
Exercice 7.
on note
Soit l∞ (N) l'espace des suites réelles bornés. Pour tout x = (xk )k ∈ l∞ (N),
kxk∞ = sup |xk | < +∞.
(1)
(2)
k∈N
(l∞ (N), k
Justier en utilisant le cours que
· k∞ ) est un evn.
n
Soit (x )n une suite bornée de vecteurs de l∞ (N) i.e. il existe M ≥ 0 tel que
∀n ∈ N : kxn k∞ ≤ M.
Montrer qu'il existe une sous suite de (xn )n qui converge coordonnée par coordonnée
vers un vecteur x de l∞ (N).
Exercice 8.
Soit (X, k.k) et A une partie non vide de X . On dénie la fonction distance
∀x ∈ X : d(x, A) := inf kx − ak.
a∈A
(1) Montrer que x 7→ d(x, A) est 1-Lipschitzienne.
(2) On suppose que A est fermé. Montrer que d(x, A) = 0
(3) On suppose que A est compact et soit x ∈ X . Montrer
d(x, A) = kx − ak.
ssi x ∈ A.
qu'il existe a ∈ A tel que
0.2. TD2 (DEUX SÉANCES): APPLICATIONS LINÉAIRES ET THÉORÈME DE RIESZ3
Soit (X, k.kX ) et (Y, k.kY ) deux evn. Soit A ⊂ X un compact de X et soit
F une collection quelconque de fonctions f : A −→ Y . Montrer que F est équicontinue
en tout point de a ∈ A ssi F est uniformément équicontinue sur A.
Exercice 10. Soit (X, k.kX ) et (Y, k.kY ) deux evn. Soit F une partie non vide de X ,
k ≥ 0 et 0 < α ≤ 1 deux réels quelconques xés. Soit
Exercice 9.
Lipk,α (F, Y ) := {f : X −→ Y : kf (x) − f (x0 )kY ≤ kkx − x0 kαX ; ∀x, x0 ∈ F }.
Montrer que Lipk,α (F, Y ) est une famille uniformément équicontinues sur F .
Exercice 11. Soit f : [a, b] −→ R une application continue et dérivable. Montrer
que f est Lipschitzienne ssi supx∈[a,b] |f (x)| < +∞. Comparer dans ce cas Lip(f ) et
supx∈[a,b] |f (x)|.
Exercice 12. Soit a un réel et f : [a + ∞[−→ R une application continue admettant
une limite nie en +∞. Montrer que f est uniformément continue sur [a + ∞[.
0.2 TD2 (Deux séances): Applications linéaires et Théorème
de Riesz
On rappel que Lc (X, Y ) désigne l'espace des applications linéaires continues de X dans Y . Pour tout p ∈ Lc (X, Y ) on note
Exercice 13.
kp(x)kY
< +∞.
x∈X\{0} kxkX
kpkop :=
sup
Montrer que ∀p ∈ Lc (X, Y ),
kpkop =
kp(x)kY
sup
x∈X:kxkX =1
=
kp(x)kY .
sup
x∈Bf (0,1)
Soit E = R[X] muni de la norme k.k∞ dénie par k.k∞ := sup{| p k!(0) |; k ∈
k
Exercice 14.
N}.
Vérier rapidement que k.k∞ est une norme sur E .
Soit f : E → E l'application linéaire (endomorphisme) dénie par f (p) = Xp
pour tout p ∈ E . Montrer que f est continue sur (E, k.k∞ ) et calculer kf kop .
Exercice 15. On munit E = C([0, 1]) (l'espace des fonctions continues) de la norme
R1
k.k1 dénie par : pour tout f ∈ E , kf k1 := 0 |f (t)|dt. On pose
(1)
(2)
T : E −→ E
f
7→
T (f )
où
T (f ) : [0, 1] → R
Z x
x 7→
f (t)dt
0
Montrer que T est continue sur (E, k.k1 ) et calculer kT kop .
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On munit E = Mn (R) (l'ensemble des
Pn matrices d'ordre n) de la norme
N dénie par : pour tout A ∈ E , N (A) = sup1≤i≤n j=1 |ai,j | (on admet que N est une
norme sur E ). Soit f l'application de E dans R dénie par ∀A ∈ E , f (A) = T r(A).
Démontrer que l'application f est continue sur (E; N ) et déterminer kf kop .
Exercice 16.
Montrer que la boule unité fermé BE (0, 1) de l'espace E = (C[0, 1], k.k∞ )
n'est pas compact de deux manières : en utilisant le cours, puis en utilisant la suite
(fn )n ⊂ BE (0, 1) dénie pour tout x ∈ [0, 1] et tout n ∈ N par fn (x) = −nx + 1 si
x ∈ [0, n1 ] et fn (x) = 0 si x ∈ [ n1 , 1].
Exercice 17.
Soit (X, k.kX ) un evn et soit p : X → R une application linéaire non
nulle. Montrer qu'il existe e ∈ X tel que p(e) = 1 et X = Ker(p) ⊕ Re.
Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes.
(1) p est continue.
(2) Ker(p) := {x ∈ X : p(x) = 0} = p−1 ({0}) est fermé.
Montrer de plus que si p n'est pas continue alors ker(p) est dense dans X .
Exercice 18.
Soit n ∈ N et E l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou
égal à n. Démontrer qu'il existe λ > 0 tel que pour tout P ∈ E on ait :
Exercice 19.
Z
1
|P (t)|dt ≥ λ sup |P (t)|.
0
Exercice 20.
que
t∈[0,1]
Soit n ∈ N et En l'ensemble des polynômes unitaire de degré n. Montrer
Z
P ∈En
1
|P (t)|dt > 0.
inf
0
Soit E = C[0, 1] et kf k1 := 01 |f (t)|dt et kf k∞ := supx∈[0,1] |f (x)| pour
tout f ∈ E . Montrer que les normes k.k1 et k.k∞ ne sont pas équivalentes.
R
Exercice 21.
Exercice 22. Soit E = R[X] l'espace des polynômes muni de la norme kP k1 =
P
n
n
i=0 |ai | où P (X) = a0 + a1 X + ... + an X . Soit f : E → R dénie par f (P ) = P (2).
Montrer que f est une application linéaire non continue.
0.3 TD 3 (Deux ou trois séances): Espace de Banach et
Théorème d'Arzela-Ascolie
Montrer que l'espace des suites réelles bornées (l∞ (N), k · k∞ ) est un
espace de Banach.
Exercice 23.
Exercice 24.
Pour p ∈ [1, +∞[, soit
lp (N) := {x = (xn ) : kxkp := (
X
1
|xn |p ) p < +∞}.
n≥0
Montrer que l'espace (lp (N), k · kp ) est un espace de Banach.
5
0.4. TD 4 (DEUX SÉANCES): THÉORÈME DE POINT FIXE
Exercice 25.
Montrer que l'application identité
I : (lp (N), k · kp ) −→ (l∞ (N), k · k∞ )
(xn )
7→
(xn )
est linéaire continue et calculer kIkop .
(X, k · kX ) un evn et (Y, k · kY ) un espace de Banach.
k ≥ 0 et 0 < α ≤ 1 deux réels quelconques xés. Soit
Exercice 26.
de X . Soit
Soit K un compact
0
0 α
0
Lipk,α
0 (K, Y ) := {f : K −→ Y : f (0) = 0 et kf (x) − f (x )kY ≤ kkx − x kX ; ∀x, x ∈ X}.
Montrer que Lipk,α
0 (K, Y ) est un compact dans (C(K, Y ), k · k∞ ).
Soit K : C([a, b]) → C([a, b]) dénie par K(f )(s) = ab k(s, t)f (t)dt avec
k : [a, b] × [a, b] → R continue et soit (fn ) une suite bornnée de (C([a, b]), k.k∞ ).
(1) Rappeler pourquoi k est uniformément continue.
(2) En déduire l'équicontinuité de (K(fn )).
(3) Montrer que (K(fn )) contient une sous-suite convergente dans X .
R
Exercice 27.
On considère la suite de fonctions fn (t) = t + 4(nπ)2 , t ∈ [0, +∞[.
(1) Montrer qu'il s'agit d'une suite de fonctions équicontinues convergent simplement
vers f = 0.
(2) La suite (fn ) est elle relativement compacte dans (C([0, +∞[), k.k∞ ) ? Que dit
le théorème d'Ascoli ?
p
Exercice 28.
0.4 TD 4 (Deux séances): Théorème de point xe
Exercice 29.
Soit K un convexe compact d'un espace de Banach et E et f : K → K
vériant: ∀x, y ∈ K
kf (x) − f (y)k ≤ kx − yk.
On xe un point a ∈ K .
(1) On dénit la suite de fonction (fn ) par
1
1
fn (x) = f ( a + (1 − )x).
n
n
Montrer que pour chaque n ∈ N∗ , fn admet un unique point xe tn .
(2) Montrer que f admet un point xe.
Le but de cet exercice est de montrer qu'il existe une unique fonction
f : [0, 1] → R de classe C 1 satisfaisant l'equation dierentielle suivante: f (0) = 1 et
f 0 (x) = f (x − x2 ).
Soit X = (C 1 ([0, 1]), N ) avec N (f ) = kf k∞ +kf 0 k∞ . Montrer qu'il existe une unique
fonction f qui est point xe de l'operateur T déni par:
Exercice 30.
Z
T (f )(x) = 1 +
x
f (t − t2 )dt.
0
On commencera par montrer que T ◦ T est une contraction.
6
Exercice 31.
Soit K un compact d'un espace vectoriel normé E et f : K → K tel que
: ∀x, y ∈ K , x 6= y
kf (x) − f (y)k < kx − yk.
Montrer que f admet un unique point xe.
Exercice 32. Soit X et E deux parties d'un espace vectoriel normé, E étant complet.
On considere une fonction F : X × E → E continue et contractante en la seconde
variable : ∃k ∈ [0, 1[
kF (λ, x) − F (λ, y)k ≤ kkx − yk.
Montrer que pour tout λ ∈ X , il existe a un unique point xe xλ ∈ E tel que F (λ, xλ ) =
xλ . Montrer ensuite que l'application λ → xλ est continue.
0.5 TD 5 (Deux séances): Théorème de Baire
Le but de cet exercice est de montrer qu'un evn (X, k.k) de dimension
dénombrable ne peut être complet. Soit (en )n une base de X et Fn = vect{ek : k ≤ n}.
(1) Montrer que pour tout n ∈ N , Fn est férmé d'intérieur vide dans X .
(2) Montrer que X = ∪n Fn , puis conclure.
Exercice 34. Soit (X, k.kX ) un espace de Banach et F un sous ensemble fermé de X .
Soit Cb (F, R) l'espace de Banach des fonctions continue bornées de F dans R muni de
la norme k.k∞ .
(1) Donner deux exemples de fonctions f ∈ Cb (F, R), l'une qui ne possède pas de
minimum unique et l'autre qui a un minimum unique.
(2) Le but de cette question est de montrer que l'ensemble des fonctions qui possède
un minimum unique est dense dans (Cb (F, R), k.k∞ ). Pour tout n ∈ N∗ , soit
Exercice 33.
On = {f ∈ Cb (F, R) : ∃xn ∈ F ; f (xn ) < inf{f (x) : x ∈ F : kx − xn k ≥
(a) Montrer que On est un ouvert.
(b) On veut montrer que On est dense dans Cb (F, R) pour tout n ∈ N.
xé, soit g ∈ Cb (F, R) et 0 < ε. Justier qu'il existe xn ∈ F tel que
1
}}.
n
Soit n ∈ N
g(xn ) < inf{g(x) : x ∈ F } + ε.
Soit h(x) = − max(0, ε − kx − xn k) pour tout x ∈ F . Montrer que khk∞ ≤ ε et que
g + h ∈ On .
(c) Conclure.
Exercice 35. Soit (X, k.kX ) un espace de Banach. Soit f : X → R une fonction. Pour
tout λ ∈ R, on note
Eλ := {x ∈ X : f (x) ≤ λ}.
On dit que f est semicontinue inferieurement si Eλ est un fermé pour tout λ.
(1) On suppose que f est semicontinue inferieurement. Montrer qu'il existe λ0 ∈ R
tel que Int(Eλ0 ) 6= ∅.
(2) Soit (pn ) ⊂ X ∗ une suite de fonctions linéaires continues. Supposons que
∀x ∈ X, sup |pn (x)| < +∞.
n∈N
Montrer en utilisant (1) que supn∈N kpn k < +∞.
0.6. THÉORÈME DU POINT FIXE ET THÉOÈME DE BAIRE (SUITE)
7
0.6 Théorème du point xe et Théoème de Baire (suite)
Soit C = C([0, a]) l'espace des fonctions continue sur [0, a] à valeur réelles
et muni de la norme k.k∞ de la convergence uniforme. Soit l'application T : C → C
dénie pour tout f ∈ C par :
Exercice 36.
1
T (f )(x) = f (x) +
2
Z
x
f (t)dt
0
Montrer que T est bien dénie dans le sens que T (f ) ∈ C pour f ∈ C
(2) Montrer que T est Lipschitzzienne. (i.e qu'il existe un réel positif k tel que kT (f ) −
T (g)k∞ ≤ kkf − gk∞ pour tout f, g ∈ C )
(3) Pour quel valeur de a, l'application T admet un unique point xe f0 .
(1)
Exercice 37.
Ennocer correctement le théorème des accroissement nie.
(2) Soit f : R → R de classe C 1 . On suppose que supx∈R |f 0 (x)| < 1. Démontrer que f
est contractante puis en déduire qu'elle admet un unique point xe.
(3) En déduire que la fonction dénie de R dans R par f (x) = sin(x)+cos(x)
admet un
4
unique point xe.
(1)
Soit E et F deux evn avec E complet. Soit (fn ) une suite de fonctions
continues de E dans F convergeant simplement vers une fonction f de E dans F .
(1) Montrer que l'ensemble des points de continuité de f est dense dans E .
(2) Soit f : R → R une application dérivable sur R. Montrer que l'ensemble des
point de continuité de la fonction dérivée f 0 est dense dans E .
Exercice 38.
