Licence de Mathématiques L3 Examen de Topologie

Licence de Math´ematiques L3
Examen de Topologie
Responsable : Anne Pichon
janvier 2005
dur´ee: 3 heures
(sans documents ni calculatrices)
I(sur 4 points)
(question de cours)
1) Donner la d´efinition d’un espace topologique compact
2) Image d’un compact par une application continue : ´enonc´e et d´emonstration
d´etaill´ee
II (sur 4 points)
Soit El’espace vectoriel des fonctions polynomiales de Rdans R.
Pour tout P∈E, on pose
||P||1= sup
t∈[0,1]
|P(t)|et ||P||2= sup
t∈R
(e−|t||P(t)|)
1) Montrer que ||.||1et ||.||2sont des normes sur E.
2) Montrer qu’il existe C > 0 tel que pour tout P∈E, ||P||1≤C||P||2.
3) Soit n≥0 un entier. Calculer ||P||1et ||P||2pour P(t) = tn. En d´eduire
que les deux normes ||.||1et ||.||2ne sont pas ´equivalentes.
III (sur 4 points)
1) Parmi les trois lettres suivantes, vues comme des sous-espaces (dessins)
dans R2, quels sont celles qui sont hom´eomorphes (2 `a 2) ? non hom´eomorphes?
Justifier soigneusement.
2) Les deux dessins suivants, vus comme des sous-espaces dans R2, sont-ils
hom´eomorphes ? Justifier soigneusement.
1

IV (sur 4 points)
D´emontrer que l’´equation fonctionnelle d’inconnue f: [0,1] −→ R
f(x) = 1
2Z1
0sin(x2+t2)f(t)dt
admet une unique solution fcontinue sur [0,1].
(Remarque : on ne demande pas de trouver la solution)
V(sur 4 points)
On note l∞l’espace vectoriel des suites de r´eels born´ees. On munit l∞de la
norme ||.||∞d´efinie par : pour tout x= (xn)n∈N∈l∞,
||x||∞= sup(|xn|;n∈N)
D´emontrer que (l∞,||.||∞) est complet.
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