Licence de Mathématiques L3 Examen de Topologie

Licence de Mathématiques L3
Examen de Topologie
Responsable : Anne Pichon
janvier 2005
durée: 3 heures
(sans documents ni calculatrices)
I (sur 4 points)
(question de cours)
1) Donner la définition d’un espace topologique compact
2) Image d’un compact par une application continue : énoncé et démonstration
détaillée
II (sur 4 points)
Soit E l’espace vectoriel des fonctions polynomiales de R dans R.
Pour tout P ∈ E, on pose
||P ||1 = sup |P (t)|
||P ||2 = sup(e−|t| |P (t)|)
et
t∈R
t∈[0,1]
1) Montrer que ||.||1 et ||.||2 sont des normes sur E.
2) Montrer qu’il existe C > 0 tel que pour tout P ∈ E, ||P ||1 ≤ C||P ||2 .
3) Soit n ≥ 0 un entier. Calculer ||P ||1 et ||P ||2 pour P (t) = tn . En déduire
que les deux normes ||.||1 et ||.||2 ne sont pas équivalentes.
III (sur 4 points)
1) Parmi les trois lettres suivantes, vues comme des sous-espaces (dessins)
dans R2 , quels sont celles qui sont homéomorphes (2 à 2) ? non homéomorphes?
Justifier soigneusement.
2) Les deux dessins suivants, vus comme des sous-espaces dans R2 , sont-ils
homéomorphes ? Justifier soigneusement.
1
IV (sur 4 points)
Démontrer que l’équation fonctionnelle d’inconnue f : [0, 1] −→ R
1Z 1
f (x) =
sin(x2 + t2 ) f (t) dt
2 0
admet une unique solution f continue sur [0, 1].
(Remarque : on ne demande pas de trouver la solution)
V (sur 4 points)
On note l l’espace vectoriel des suites de réels bornées. On munit l∞ de la
norme ||.||∞ définie par : pour tout x = (xn )n∈N ∈ l∞ ,
∞
||x||∞ = sup(|xn |; n ∈ N)
Démontrer que (l∞ , ||.||∞ ) est complet.
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