SPE MP* Mathématiques 2011-2012 Semaine du 17 au 21-10

SPE MP*
2011-2012
Mathématiques
Semaine du 17 au 21-10-2011
Exercices 7
Espaces vectoriels normés
1. Montrer pour une partie A d’un espace vectoriel normé E l’équivalence des assertions
suivantes :
a. A est un ouvert relatif à A .
b. Il existe un ouvert  et un fermé  de E tels que A     .
c. Tout point x de A possède un voisinage V tel que A  V soit un fermé relatif à V.
2. Soient Z  z0 , z1 , , zn  une famille de n+1 complexes deux à deux distincts et Pn
l’ensemble des polynômes complexes unitaires de degré au plus n.
a. Montrer que Pn est fermé dans Cn  X  .
b.
Montrer que inf max Q( z )  0 .
QPn
zZ
3. Pour toute matrice A M n  C , on note A la matrice des cofacteurs de A. Montrer que
AB  AB pour toutes matrices A et B de M n  C
4. Soient A et B deux parties d’un evn E. On note A  B  a  b, a  A, b  B .
a. Montrer que si A et B sont compactes, A + B est compacte.
b. Montrer que si A est compacte et B est fermée, A + B est fermée.
c. Etudier le cas où A et B sont fermées.
5. Soient u et v deux endomorphismes continus d’un evn E  0 tels que u v  v u  aId E .
Montrer que a = 0 (on calculera u v n  v n u ).
6. Soit K un compact d’un evn E et f : K  K telle que N ( f ( x)  f ( y ))  N ( x  y ) pour tout
couple (x, y), x  y .
a. Montrer que f possède un unique point fixe a dans K .
b. Montrer que a est limite de n’importe quelle suite de premier terme x0 dans K
définie par xn 1  f ( xn ) .
7. Soit K un compact d’un evn réel E ne contenant pas le vecteur nul.
a. Montrer que A   x,   R  , x  K est une partie fermée.
b. Le résultat reste-t-il vrai si 0  K ? si K est un fermé ?
8. On munit R  X  de la norme N  relativement à la base canonique. Montrer que toute forme
d
linéaire continue sur R  X  est de la forme  : P   ak X k
suite  k kN telle que la série
9. Soient 1 ,  2 ,

k
k 0
d
a 
k 0
k
k
pour une unique
soit absolument convergente.
,  q une famille finie de fermés d’un evn E et f :
q
i 1
application. Montrer que f est continue ssi f| Ai est continue pour tout i.
i  E ' une
10. Soit E un espace de Banach, et soit
  n nN
une suite décroissante de parties fermées
n   .
bornées non vides dont la suite des diamètres tend vers 0. Montrer que
nN
11. Soit F : C  R une application continue où C est le cercle de centre 0 de rayon 1 de l’espace
euclidien R 2 . Montrer qu’il existe deux points m et n de C diamétralement opposés tels que
f (m)  f (n) . Même question pour deux points m et n tels que n se déduise de m par rotation

d’angle .
2
12. Soit K une partie compacte de R p non vide et non réduite à un point ; on munit R p d’une
norme N. Prouver l’existence d’une boule fermée contenant K dont le rayon est le plus petit
des rayons des boules fermées contenant K. Prouver l’unicité de cette boule lorsque N est la
norme euclidienne ; est-ce vrai pour une norme quelconque ?