SPE MP* Mathématiques 2011-2012 Semaine du 17 au 21-10

SPE MP* Mathématiques
2011-2012
Semaine du 17 au 21-10-2011
Exercices 7
Espaces vectoriels normés
1. Montrer pour une partie A d’un espace vectoriel normé E l’équivalence des assertions
suivantes :
a. A est un ouvert relatif à
A
.
b. Il existe un ouvert et un fermé de E tels que
A   
.
c. Tout point x de A possède un voisinage V tel que
AV
soit un fermé relatif à V.
2. Soient
01
, , , n Z z z z
une famille de n+1 complexes deux à deux distincts et Pn
l’ensemble des polynômes complexes unitaires de degré au plus n.
a. Montrer que Pn est fermé dans
nXC
.
b. Montrer que
inf max ( ) 0
n
QP zZ Qz
.
3. Pour toute matrice
n
AMC
, on note
A
la matrice des cofacteurs de A. Montrer que
AB AB
pour toutes matrices A et B de
n
MC
4. Soient A et B deux parties d’un evn E. On note
,,A B a b a A b B    
.
a. Montrer que si A et B sont compactes, A + B est compacte.
b. Montrer que si A est compacte et B est fermée, A + B est fermée.
c. Etudier le cas où A et B sont fermées.
5. Soient u et v deux endomorphismes continus d’un evn E
0
tels que
IdE u v v u a
.
Montrer que a = 0 (on calculera
nn
u v v u
).
6. Soit K un compact d’un evn E et
:f K K
telle que
( ( ) ( )) ( )N f x f y N x y  
pour tout
couple (x, y),
xy
.
a. Montrer que f possède un unique point fixe a dans K .
b. Montrer que a est limite de n’importe quelle suite de premier terme x0 dans K
définie par
1() nn
x f x
.
7. Soit K un compact d’un evn réel E ne contenant pas le vecteur nul.
a. Montrer que
,,A x x K   R
est une partie fermée.
b. Le résultat reste-t-il vrai si
0K
? si K est un fermé ?
8. On munit
XR
de la norme
N
relativement à la base canonique. Montrer que toute forme
linéaire continue sur
XR
est de la forme
00
:dd
k
k k k
kk
P a X a
pour une unique
suite
kk
N
telle que la série
k
soit absolument convergente.
9. Soient
12
, , , q
une famille finie de fermés d’un evn E et
1
:'
q
i
i
fE
une
application. Montrer que f est continue ssi
|i A
f
est continue pour tout i.

10. Soit E un espace de Banach, et soit
nn
N
une suite décroissante de parties fermées
bornées non vides dont la suite des diamètres tend vers 0. Montrer que
n
n N
.
11. Soit
:FCR
une application continue où C est le cercle de centre 0 de rayon 1 de l’espace
euclidien
2
R
. Montrer qu’il existe deux points m et n de C diamétralement opposés tels que
( ) ( )f m f n
. Même question pour deux points m et n tels que n se déduise de m par rotation
d’angle
2
.
12. Soit K une partie compacte de
p
R
non vide et non réduite à un point ; on munit
p
R
d’une
norme N. Prouver l’existence d’une boule fermée contenant K dont le rayon est le plus petit
des rayons des boules fermées contenant K. Prouver l’unicité de cette boule lorsque N est la
norme euclidienne ; est-ce vrai pour une norme quelconque ?