Feuille 5 - Maths Sup PTSI

MATHS SUP
PTSI TD
Lycée Laetitia-Bonaparte Ajaccio
Calculs algebriques, suites, recurrences
Feuille 5
I
Soit x un réel de l’intervalle ]1; 5; 3[.
2x 1
Encadrer f (x) =
de deux façons :
x+2
1/ en utilisant les propriété des encadrements;
2/ en utilisant le sens de variation de la fonction f .
II
Résoudre dans R les inéquations :
p
1. x 2 + x2 + 8x + 4.
2. jx + 3j jx 1j = j2x + 1j.
III
Soit la suite (un ) dé…nie par u0 2 R et :
8n 2 N; un+1 =
un 1
:
un + 3
Soit (vn ) la suite dé…nie par v0 2 Rn f1g et : 8n 2 N; vn = un + 1.
1. Montrer que si u0 6= 1 alors un 6= 1 pour tout entier naturel n.
Montrer que la suite
1
vn
est une suite arithmétique de raison 21 .
2. En déduire que (un ) est convergente et calculer sa limite.
IV
Soit (un ) la suite récurrente dé…nie par :
u0 2 R+ et : 8n 2 N; un+1 =
u2n + 3
:
2 (un + 1)
1. Montrer que : 8n 2 N; un > 0 et jun+1 1j 12 jun 1j :
2. Déduire de la question précédente que la suite (un ) est convergente et préciser sa limite.
V
Suites arithmético-géométriques
Pour q 2 Rn f1g et a 2 R on pose f (x) = qx + a.
Soit la suite (xn ) dé…nie par x0 2 R et : 8n 2 N; xn+1 = qxn + a.
1. Calculer 2 R tel que f ( ) = ( est appelé point …xe de f ).
2. Montrer que la suite (xn
) est une suite géométrique de raison q.
En déduire xn en fonction de ; q; a et n.
Exemple : calculer le n-ième terme de la suite (xn ) dé…nie par :
x0 = 1 et : 8n 2 N; xn+1 = 3xn
1
1:
VI
Soit la suite (xn ) dé…nie par :
x0 = 3; x1 = 0 et : 8n 2 N; xn+2 = xn+1 + 2xn :
1. Calculer x2 ; x3 et x4 .
2. Montrer que : 8n 2 N; xn = 2: ( 1)n + 2n .
VII
Soit la suite (xn ) dé…nie par :
x1 = 1 et : 8n 2 N ; xn+1 =
1. Calculer x2 ; x3 et x4 .
2. Montrer que : 8n 2 N ; 0 < xn
x21 + x22 + : : : x2n
:
nn
1.
Calculs avec les "sigmas"
On rappelle que
q
X
ak = ap + ap+1 + : : : + aq . Cette somme se note aussi
k=p
De même
q
Y
ak ou
X
ak .
p k q
Y
ak désigne le produit ap
ap+1
:::
aq .
p k q
k=p
Dans cette somme ou produit l’indice de sommation k est dit muet : on peut le remplacer
par n’importe quelle variable (sauf n).
On a les règles de calcul suivantes :
X
X
X
*
(ai + bj ) =
ai +
bi ;
i
*
X
ai =
i
X
i
ai et
i
Y
i
i
ak =
m
Y
ak (m =nombre de facteurs du produit)
i
ne d epend pas de i ;
p
q
q
p
p
q
q
p
X
X
X
X
Y
Y
Y
Y
*
ai;j =
ai;j et
ai;j =
ai;j .
si
i=1 j=1
VIII
1.
n
X
k=1
2.
3.
j=1 i=1
k (k + 1) (n 2 N );
i=1 j=1
n X
n
X
i=0 j=0
4.
i=1 j=1
Calculer les sommes suivantes :
n X
n
X
n
X
j=1 i=1
3ij 2 (n 2 N );
i2j (n 2 N );
min (i; j).
i;j=1
2