Feuille 5 - Maths Sup PTSI

MATHS SUP Lycée Laetitia-Bonaparte Ajaccio
PTSI TD Calculs algebriques, suites, recurrences Feuille 5
ISoit xun réel de l’intervalle ]1;5; 3[.
Encadrer f(x) = 2x1
x+ 2 de deux façons :
1/ en utilisant les propriété des encadrements;
2/ en utilisant le sens de variation de la fonction f.
II Résoudre dans Rles inéquations :
1. x2 + px2+ 8x+ 4.
2. jx+ 3jjx1j=j2x+ 1j.
III Soit la suite (un)dé…nie par u02Ret :
8n2N; un+1 =un1
un+ 3:
Soit (vn)la suite dé…nie par v02Rnf1get : 8n2N; vn=un+ 1.
1. Montrer que si u06=1alors un6=1pour tout entier naturel n.
Montrer que la suite 1
vnest une suite arithmétique de raison 1 2.
2. En déduire que (un)est convergente et calculer sa limite.
IV Soit (un)la suite récurrente dé…nie par :
u02R
+et : 8n2N; un+1 =u2
n+ 3
2 (un+ 1):
1. Montrer que : 8n2N; un>0et jun+1 1j  1
2jun1j:
2. Déduire de la question précédente que la suite (un)est convergente et préciser sa limite.
VSuites arithmético-géométriques
Pour q2Rnf1get a2Ron pose f(x) = qx +a.
Soit la suite (xn)dé…nie par x02Ret : 8n2N; xn+1 =qxn+a.
1. Calculer 2Rtel que f() = (est appelé point …xe de f).
2. Montrer que la suite (xn)est une suite géométrique de raison q.
En déduire xnen fonction de ; q; a et n.
Exemple : calculer le n-ième terme de la suite (xn)dé…nie par :
x0= 1 et : 8n2N; xn+1 = 3xn1:
1

VI Soit la suite (xn)dé…nie par :
x0= 3; x1= 0 et : 8n2N; xn+2 =xn+1 + 2xn:
1. Calculer x2; x3et x4.
2. Montrer que : 8n2N; xn= 2:(1)n+ 2n.
VII Soit la suite (xn)dé…nie par :
x1= 1 et : 8n2N; xn+1 =x2
1+x2 2+: : : x2 n
nn:
1. Calculer x2; x3et x4.
2. Montrer que : 8n2N;0< xn1.
Calculs avec les "sigmas"
On rappelle que
q
X
k=p
ak=ap+ap+1 +: : : +aq. Cette somme se note aussi X
pkq
ak.
De même
q
Y
k=p
akou Y
pkq
akdésigne le produit apap+1 : : : aq.
Dans cette somme ou produit l’indice de sommation kest dit muet : on peut le remplacer
par n’importe quelle variable (sauf n).
On a les règles de calcul suivantes :
*X
i
(ai+bj) = X
i
ai+X
i
bi;
*X
i
ai=X
i
aiet Y
i
ak=mY
i
ak(m=nombre de facteurs du produit)
si ne depend pas de i;
*
p
X
i=1
q
X
j=1
ai;j =
q
X
j=1
p
X
i=1
ai;j et
p
Y
i=1
q
Y
j=1
ai;j =
q
Y
j=1
p
Y
i=1
ai;j .
VIII Calculer les sommes suivantes :
1.
n
X
k=1
k(k+ 1) (n2N);
2.
n
X
i=1
n
X
j=1
3ij2(n2N);
3.
n
X
i=0
n
X
j=0
i2j(n2N);
4.
n
X
i;j=1
min (i; j).
2