208. Espaces vectoriels normés. Applications linéaires

ER C
||.|| ER+
||x|| = 0 ⇔x= 0
||λx|| =|λ|||x||
||x+y|| 6||x|| +||y||
(E, ||.||)
Kn
||x||2=pPx2
i
||x||1=P|xi|
||x||∞=sup|xi|
KC(K, K)
||f|| =sup|f(x)|X B(X, K)Cb(X, K
(Lp(X, K),||.||p)
p>1
F E F
E F
(E, ||||)E
||.|| d(λx, λy) = |λ|d(x, y)
x r
x r
E
d(x, y)=1 x6=y d(x, x)=0.
E d(λx, λy) = |λ|d(x, y)
||x|| =d(x, 0)

(E, T)E
(E, ||.||) (E, T)
ΩRnKiCk(Ω)
d(f, g) := P∞
0
pi(f−g)
1 + pi(f−g)piCk(Ki)
E F F
E
T1T2T1T2T2⊂T1
E N1N2N1N2∃k > 0|N26
kN1(E, N1) (E, N2)
N1N2N2N1
E
N1N2N1N2
Kn||.||∞6||.||16n||.||∞ ||.||∞ 6||.||26
√n||.||∞
[0,1] R0 0 sup|x+x0|
sup|x|+sup|x0|
R
||f||16||f||∞ fnn1/2
0 [0,0.5−1/n] [0.5 + 1/n, 1] fn
||.||1||.||∞
R+1/x2∞
||.||1||.||∞
||.||∞||.||1fn[0,2n]
1/n n 0
n(E1, N1),...,(En, Nn)
||.||1,||.||2,||.||∞
E1,...En
E F E E/F
E/F ||Cl(x)||E/F =inf||representants||
F||.||E/F x∈¯ F\F
||Cl(x)||E/F = 0 Cl(x)6= 0
||.||∞ ||.||1

0
Kn||.||pp>1||.||q6Cp,q||.||p
Cp,q =max(1, n1
q−1 p)
C([0,1],R)
R
CE
(|)
||x|| =p(x|x)E
||.||
||x+y||2=||x||2+||y||2+ 2Re(x|y),4Re(x|y) = ||x+y||2−||x−
y||2,||x+y||2+||x−y||2= 2||x||2+ 2||y||2,4Im(x|y) = ||x+iy||2− ||x−iy||2.
(x|y)6||x||.||y|| (x, y)
||x+y|| =||x|| +||y|| ⇔
(.|y) (y|.)
L(E, F )E F
f
f
f E
f0
f
f
f
M > 0||f(x)|| 6M||x||

E=C([0,1], K)ϕ∈E
R[X]R
f:P7→ P(2) Pn(x) := 1 + X+X2+. . . +Xn||Pn||1=n|f(Pn)|62n
E F
L(E, F )|||f||| =sup||f(x)||/||x|| =sup =sup
||f(x)|| 6|||f|||||x||
[−1; 1] f(x) = R1
0x−
R−11x
||f(x1, . . . , xn)6k||x1||. . . ||xn||
ϕ a 6∈ Ker(ϕ)|||ϕ||| =|f(a)|
d(a, kerf)
L(E)
E F G f E F F G |||gf||| 6|||g|||.|||f|||
L(E)|||uv||| 6|||u|||.|||v||| |||Id|| = 1
X E F
Rg(x)6p(x)
g g
||x|| ||f(x)|| =
||x||2
||x|| =sup(|f(x)|) = max(|f(x)|)f
Jb(ϕ) = ϕ(b)|||Jb||| =||b|| Jb
b7→ JbE E00
E F
f k||x|| 6||f(x)|| 6K||x||
L(E, F )

C(K, K)
Ti||T i|| <∞,
G−δ sup||T i(x)|| = +∞
E×F G E, F, G
G−δ
f(B)
L(E)E
|||x||| <∞Pxn(1−x)−1=
∞
P
0
xn
||(1 −x)−1|| 61/(1 − ||x||)
B(u, ||u||−1)
ω E F g
F g < |||f−1|||−1
f+g F
L(E, F )
C
C([0,1],R)g:P7→ P(X2)
g kg