Colle no 6.

Mathématiques
2010 - 2011 Colle no6 — Topologie Lycée Condorcet MP∗
Exercice 1.
Soit f:R−→ Rcontinue. Prouver l’équivalence des
propriétés suivantes :
1. lim
x→±∞ ¯¯f(x)¯¯= +∞ ;
2.∀Kcompact, f−1(K) est compact.
Exercice 2.
Soit Xun compact convexe non vide d’un evn Eet f
une application 1-lipschitzienne de Xdans X.
1. Montrer que fadmet au moins un point fixe.
2. Montrer que, si xet ysont des points fixes de f, il
existe un point fixe zde ftel que
kx−zk = ky−zk = 1
2· kx−yk
Exercice 3.
Soit d∈N∗. Si Kest un compact de Rd, on appelle
point de condensation de K tout élément xde Ktel
que, pour tout voisinage Vde x,V∩Kn’est pas au
plus dénombrable. On note CKl’ensemble des points
de condensation de K.
1. Donner des exemples tels que CK=∅,CK=Kpuis
∅6= CK6= K.
2. Montrer que CKest fermé, K\CKest au plus dé-
nombrable et CKest sans point isolé.
Exercice 4.
Soient Eun evn et Uun ouvert de E.
1. Soit (Fn)nÊ0une suite de fermés emboîtés telle que
\
nÊ0
Fn⊂U
Existe-t-il un rang à partir duquel Fn⊂U?
2. Même question avec une suite (Kn)nÊ0de com-
pacts emboîtés telle que
\
nÊ0
Kn⊂U
Exercice 5.
Soit u=(un)nÊ0∈CNtel que Punsoit absolument
convergente. Montrer que l’ensemble
K=(X
n∈A
un¯¯A⊂N)
est une partie compacte de C.
Exercice 6.
Soient Eun evn, Kun compact non vide de Eet fune
application de Kdans K faiblement contractante i.e.
telle que
∀(x,y)∈K2,x6= y⇒ kf(x)−f(y)k < kx−yk
1. Montrer que fadmet un unique point fixe α.
2. Soit (xn)nÊ0une suite définie par
½x0∈K
∀n∈N,xn+1=f(xn)
Montrer que (xn)nÊ0converge vers α.
3. Prouver que l’application définie sur Rpar
f(x)=p1+x2
est faiblement contractante. Qu’en déduire ?
Exercice 7.
Soient (E,k·k) un evn, (rn)n∈Nune suite de réels stric-
tement positifs, (an)n∈Nune suite d’éléments de Eet,
pour tout n∈N,Bnla boule fermée de centre anet de
rayon rn. On suppose que ∀n∈N,Bn+1⊂Bn.
1. Montrer que
∀n∈N,kan+1−ank É rn−rn+1
2. Si Eest un espace de Banach, montrer que
\
n∈N
Bn
est une boule fermée.
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Exercice 8.
Soient α∈Ret φ: [0,1] →[0,1] une application conti-
nue avec φ6= 1. Montrer qu’il existe une unique fonc-
tion fdans C1([0,1],R) telle que
E½f(0) =α
∀x∈[0,1], f′(x)=f¡φ(x)¢
On pourra utiliser l’opérateur noté Tdéfini sur l’es-
pace E=C0([0,1],R) par
T(f)=g, où g:x∈[0,1] 7→ α+Zx
0
f¡φ(t)¢dt
Exercice 9.
Soit Xun espace métrique complet, Λun espace mé-
trique, fune application de X×Λdans Xcontinue
et uniformément contractante par rapport à la seconde
variable, c’est-à-dire telle qu’il existe k∈[0,1[ vérifiant
∀λ∈Λ,∀(x,y)∈X2,d¡f(x,λ), f(y,λ)¢Ék·d¡x,y¢
1. Montrer que, pour tout λ∈Λ, l’équation f(x,λ)=x
admet une unique solution notée g(λ) et que l’appli-
cation g:ΛtoX est continue. Ce résultat est appelé
théorème du point fixe avec paramètre.
REMARQUE –On attend ici une démonstration du
théorème du point fixe !
2. Etablir que le système
x=1
2·sin(x+y)+t−1
y=1
2·cos(x−y)−t+1 2
définit une application t→¡x(t), y(t)¢continue sur R.
Exercice 10.
Soient (E,k·k)un evn sur Rde dimension finie et Kun
convexe compact de Equi contient B(0,1). On sup-
pose que Kest symétrique par rapport à 0. Montrer
que l’application définie par
ν:E−→ R+
x7−→ inf nλ∈R∗
+¯¯
x
λ∈Ko
est une norme sur E.
Exercice 11.
Une application f:E→Fentre deux evn Eet Fest
dite ouverte (respectivement fermée) si l’image de tout
ouvert (resp. fermé) de Epar fest un ouvert (resp.
fermé) de F.
1. Un polynôme Pde C[X] définit-il une application
fermée de Cdans C?
2. Reprendre la question précédente en considérant
une fonction entière, i.e. une fonction de Cdans lui-
même développable en série entière en 0 avec un
rayon de convergence infini.
3. Montrer que tout polynôme P∈C[X] non constant
définit une application ouverte de Cdans C.
Exercice 12.
Soient (E,k·k) un espace vectoriel normé, Aune partie
non vide de Eet
dA:x∈E7→ inf
a∈Akx−ak
1. Montrer que dAest 1-lipschitzienne.
2. Montrer que si Aest convexe alors dAest convexe.
3. On suppose ici Afermée et Ede dimension finie.
3.a. Etablir que
∀x∈E,∃a∈A,dA(x)= kx−ak
3.b. On suppose que x6∈ A. Montrer que aappartient
à la frontière de Adéfinie par :
∂A=A\A
4. Pour tout x∈E, on note
P(x)=©a∈A¯¯dA(x)=kx−akª
Montrer que si Aest convexe alors P(x) est convexe.
5. Soient Uun ouvert de Eet Kun compact non vide
de Einclus dans U. Montrer l’existence de ρ>0 tel
que
∀x∈K,∀a∈E\U,kx−ak Ê ρ
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Exercice 13.
Soient Eet Fdeux espaces de Banach.
1. Soit T:E→Fune application linéaire continue
et « presque surjective » , i.e. telle qu’il existe C>0 et
0<α<1 tels que
∀y∈Ftel que kyk É 1, ∃x∈E,
kxk É C
ky−T(x)k É α
Montrer que Test surjective et plus précisément que
∀y∈Ftel que kyk É 1, ∃x∈E,
kxk É C
1−α
y=T(x)
2. Montrer que l’ensemble S(E,F) des surjections
linéaires et continues de Esur Fest un ouvert de
L(E,F).
Exercice 14.
Soient Eun evn.
1. Démontrer qu’en dimension finie, les compacts
sont exactement les fermés bornés.
2. Soit Fun sev de dimension finie strictement in-
clus dans E. Montrer qu’il existe x∈Eunitaire tel que
d(x,F)=1.
3. En déduire le théorème de Riesz : la boule unité fer-
mée de Eest compacte si et seulement si E est de di-
mension finie.
Exercice 15.
Soit Iun segment de Ret δune application de Idans
R∗
+. Une subdivision (ai) est dite δ-fine lorsque pour
tout segment [ai,ai+1] de la subdivision, il existe un
point xide ce segment tel que le segment soit inclus
dans [xi−δ(xi), xi+δ(xi)].
1. Montrer qu’il existe toujours une subdivision δ-
fine.
2. Soit Fun compact de I. Montrer qu’il existe une fa-
mille finie de fermés Fidont Fest réunion et telle que,
pour tout i, il existe isatisfaisant à
Fi⊂[xi−δ(xi), xi+δ(xi)]
Exercice 16.
Soient E=R[X] et
N:P∈E7→ N(P)=
+∞
X
k=0¯¯P(k)(0)¯¯
k!
1. Montrer que Nest une norme sur E.
2. Pour tout entier naturel nnon nul, on pose
Pn=
n
X
k=1
Xk2
k2
2.a. La suite (Pn)nÊ1est-elle de Cauchy dans (E,N) ?
2.b. En déduire que (E,N) n’est pas complet.
Exercice 17.
Soit (E,k·k)un espace de Banach. On note  ·  la
norme sur L(E) subordonnée à k·k.
1. Prouver le théorème de Baire : toute réunion de fer-
més de Ed’intérieur vide est d’intérieur vide.
2. En déduire le théorème de Banach-Steinhaus : pour
toute suite (Tn)nÊ0d’éléments de L(E), on a l’équiva-
lence des conditions suivantes :
(i) pour tout x∈E, sup
n∈N
kTn(x)k< +∞ ;
(ii) (Tn)nÊ0est bornée.
3.Une application : soit (an)nÊ0∈CNvérifiant
∀(bn)nÊ0∈CN,X|bn| < +∞ ⇒ X|an·bn| < +∞
Etablir que P|an| < +∞.
Exercice 18.
Soit (E,k·k) un evn et f∈E∗.
1. Montrer que fest continue si et seulement si Ker(f)
est fermé.
2. On suppose f6= 0 et fcontinue. Montrer que
∀x∈E,d¡x,Ker( f)¢=¯¯f(x)¯¯
f
Quelle formule généralise-t-on ainsi ?
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