Colle no6 — Topologie Lycée Condorcet MP∗2010 - 2011
Exercice 8.
Soient α∈Ret φ: [0,1] →[0,1] une application conti-
nue avec φ6= 1. Montrer qu’il existe une unique fonc-
tion fdans C1([0,1],R) telle que
E½f(0) =α
∀x∈[0,1], f′(x)=f¡φ(x)¢
On pourra utiliser l’opérateur noté Tdéfini sur l’es-
pace E=C0([0,1],R) par
T(f)=g, où g:x∈[0,1] 7→ α+Zx
0
f¡φ(t)¢dt
Exercice 9.
Soit Xun espace métrique complet, Λun espace mé-
trique, fune application de X×Λdans Xcontinue
et uniformément contractante par rapport à la seconde
variable, c’est-à-dire telle qu’il existe k∈[0,1[ vérifiant
∀λ∈Λ,∀(x,y)∈X2,d¡f(x,λ), f(y,λ)¢Ék·d¡x,y¢
1. Montrer que, pour tout λ∈Λ, l’équation f(x,λ)=x
admet une unique solution notée g(λ) et que l’appli-
cation g:ΛtoX est continue. Ce résultat est appelé
théorème du point fixe avec paramètre.
REMARQUE –On attend ici une démonstration du
théorème du point fixe !
2. Etablir que le système
x=1
2·sin(x+y)+t−1
y=1
2·cos(x−y)−t+1
2
définit une application t→¡x(t), y(t)¢continue sur R.
Exercice 10.
Soient (E,k·k)un evn sur Rde dimension finie et Kun
convexe compact de Equi contient B(0,1). On sup-
pose que Kest symétrique par rapport à 0. Montrer
que l’application définie par
ν:E−→ R+
x7−→ inf nλ∈R∗
+¯¯
x
λ∈Ko
est une norme sur E.
Exercice 11.
Une application f:E→Fentre deux evn Eet Fest
dite ouverte (respectivement fermée) si l’image de tout
ouvert (resp. fermé) de Epar fest un ouvert (resp.
fermé) de F.
1. Un polynôme Pde C[X] définit-il une application
fermée de Cdans C?
2. Reprendre la question précédente en considérant
une fonction entière, i.e. une fonction de Cdans lui-
même développable en série entière en 0 avec un
rayon de convergence infini.
3. Montrer que tout polynôme P∈C[X] non constant
définit une application ouverte de Cdans C.
Exercice 12.
Soient (E,k·k) un espace vectoriel normé, Aune partie
non vide de Eet
dA:x∈E7→ inf
a∈Akx−ak
1. Montrer que dAest 1-lipschitzienne.
2. Montrer que si Aest convexe alors dAest convexe.
3. On suppose ici Afermée et Ede dimension finie.
3.a. Etablir que
∀x∈E,∃a∈A,dA(x)= kx−ak
3.b. On suppose que x6∈ A. Montrer que aappartient
à la frontière de Adéfinie par :
∂A=A\A
4. Pour tout x∈E, on note
P(x)=©a∈A¯¯dA(x)=kx−akª
Montrer que si Aest convexe alors P(x) est convexe.
5. Soient Uun ouvert de Eet Kun compact non vide
de Einclus dans U. Montrer l’existence de ρ>0 tel
que
∀x∈K,∀a∈E\U,kx−ak Ê ρ
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