209 - Free

209
Applications linéaires continues. Norme d'une telle application.
Prérequis : Applications linéaires, E.v., normes,
continuité
Soient E, F et G trois
IK e.v.n. avec IK = ou
2. Algèbre normée
II. Norme d'une telle application
(LC (E);
Proposition 1 : Pour toute f de Lc (E;F) :
.
I. Applications linéaires continues
Théorème 1 : Soit fL(E;F). Les assertion suivantes
sont équivalentes.
(i) f est continue sur E
(ii) f est continue en 0
(iii) f est bornée sur le boule unité fermée Bf(0,1) de E
(iv) f est bornée sur la sphère unité S(0,1) de E
(v) Il existe M>0 tel que f( x )  M x pour tout xE
(vi) f est lipschitzienne
(vii) f est uniformément continue sur E
(i) Sup f( x )  Sup f( x ) 
x 1
x 1
Ce nombre est noté
(ii)
Sup
xE0
f( x )
x
f
LC (E)
) est une IK-algèbre normée
Conséquence du th3 : Si E est un espace de Banach
alors LC (E) en est un.
Toute série un de LC (E) absolument convergente est
est une norme sur
convergente.
Lc (E;F)
3. Séries d'endomorphismes
Conséquences : Lc (E;F) est un e.v.n.
f est le plus petit réel positif tel que f( x )  M x
x  E, f( x )  f . x
Proposition 3 : Soit uLC (E), tel que ,
Proposition 2 : Soient E, F et G trois e.v.n., fLC (E;F)
et gLC (F;G) alors g°f LC (E;F) et
g f  g . f
Notation : Lc (E;F) ensembles des application linéaires
continues de E sur F.
Remarque : (LC (E);
Théorème 2 : Si E est de dimension finie,
L(E;F) = Lc (E;F)
Théorème 3 : Si F est un espace de Banach, alors
LC(E;F) est un espace de Banach.
) est une
Soit E un espace de Banach
IK-algèbre normée.
III. Applications
1. Formes linéaires continues
définition : Une forme linéaire continue sur E est une
application linéaire continue de E sur IK (on est sur
LC(E;IK) )
Conséquences : LC(E;IK) est un s.e.v. du dual E* de
E, noté E' et appelé Dual topologique.
E' est un espace de Banach (cf Th3)
est inversible, d'inverse
u  1 alors Id-u

 un LC (E)
n 0

Proposition 4 : Soit z   an z n la somme d'une
n 0
série entière de rayon de convergence 0  R  
alors si f LC (E),

f  R , la série  an fn converge
n 0
et sa somme est élément de LC (E). De plus


l'application   f  Lc (E) / f  R  Lc E 

f   an fn est continue
n 0