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209 Applications linéaires continues. Norme d'une telle application.
Prérequis : Applications linéaires, E.v., normes,
continuité
Soient E, F et G trois IK e.v.n. avec IK =
ou
.
I. Applications linéaires continues
Théorème 1 : Soit fL(E;F). Les assertion suivantes
sont équivalentes.
(i) f est continue sur E
(ii) f est continue en 0
(iii) f est bornée sur le boule unité fermée Bf(0,1) de E
(iv) f est bornée sur la sphère unité S(0,1) de E
(v) Il existe M>0 tel que
f x M x()
pour tout xE
(vi) f est lipschitzienne
(vii) f est uniformément continue sur E
Notation : Lc (E;F) ensembles des application linéaires
continues de E sur F.
Théorème 2 : Si E est de dimension finie,
L(E;F) = Lc (E;F)
II. Norme d'une telle application
Proposition 1 : Pour toute f de Lc (E;F) :
(i)
fx
Sup Sup Sup
f x f x x
x 1 x 1 x E 0
()
( ) ( )
Ce nombre est noté
f
(ii) est une norme sur Lc (E;F)
Conséquences : Lc (E;F) est un e.v.n.
f
est le plus petit réel positif tel que
f x M x()
x E f x f x, ( ) .  
Proposition 2 : Soient E, F et G trois e.v.n., fLC (E;F)
et gLC (F;G) alors g°f LC (E;F) et
g f g f.
Remarque : (LC (E); ) est une IK-algèbre normée.
Théorème 3 : Si F est un espace de Banach, alors
LC(E;F) est un espace de Banach.
III. Applications
1. Formes linéaires continues
définition : Une forme linéaire continue sur E est une
application linéaire continue de E sur IK (on est sur
LC(E;IK) )
Conséquences : LC(E;IK) est un s.e.v. du dual E* de
E, noté E' et appelé Dual topologique.
E' est un espace de Banach (cf Th3)
2. Algèbre normée LC (E)
(LC (E); ) est une IK-algèbre normée
Conséquence du th3 : Si E est un espace de Banach
alors LC (E) en est un.
Toute série
u
n
de LC (E) absolument convergente est
convergente.
3. Séries d'endomorphismes
Soit E un espace de Banach
Proposition 3 : Soit uLC (E), tel que ,
u1
alors Id-u
est inversible, d'inverse
n
u
n0
LC (E)
Proposition 4 : Soit
n
za
z
n
n0
la somme d'une
série entière de rayon de convergence
0R  
alors si f LC (E),
fR
, la série
n
af
n
n0
converge
et sa somme est élément de LC (E). De plus
l'application
f L (E) / f R L E
cc
n
fa
f
n
n0
est continue