TD d'analyse M1 Bachir Mohammed Laboratoire SAMM 4543, Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne, Centre P.M.F. 90 rue Tolbiac 75634 Paris cedex 13 September 10, 2019 2 0.1 TD1 (Trois séances) Exercice 1. Soit Lip0 [0, 1] := {f : [0, 1] → R/f (0) = 0 et kf kL := sup x,y∈[0,1]:x6=y |f (x) − f (y)| < +∞}. |x − y| (1) Montrer que (Lip0 [0, 1], k.k∞ ) est un sous espace vectoriel normé de (B([0, 1], R), k.k∞ ) (l'espace des fonctions f : [0, 1] −→ R bornées). (2) Montrer que (Lip0 [0, 1], k.kL ) est un espace vectoriel normé. (3) Montrer qu'il existe une constante c > 0 telle que pour tout f ∈ Lip0 [0, 1] on a kf k∞ ≤ ckf kL . (4) Montrer que k.kL et k.k∞ ne sont pas équivalentes. Soit (X, k.k) un evn et K un compact de X . Alors, pour tout entier n Bf (xnik , n1 ). , il existe une suite nie de points xn1 , ..., xnin ∈ K tel que K ⊂ ∪ik=1 Exercice 2. n∈ N∗ Exercice 3. Soit (X, k.k) un evn. Tout compact de X est séparable. Soit (X, k.k) un evn, K un compact de X . Soit (xn ) une suite de K et une valeur d'adherence de (xn ). Alors, (xn ) convergente vers l ssi l est l'unique valeur d'adhérence de (xn ). Exercice 4. l∈K Soit (X, k.k) un evn et Bf (0, 1) sa boule unité fermé. Soit (xn ) une suite de Bf (0, 1) tel que il existe a > 0 satisfaisant: ∀p, q ∈ N Exercice 5. kxp − xq k ≥ a. Montrer que Bf (0, 1) n'est pas compact. Exercice 6. Soit (X, k.k) un evn, (Kn ) une suite décroissante de compact non vide de pour tout n ∈ N). Montrer que K = ∩n∈N Kn est un compact non vide. X (Kn+1 ⊂ Kn Exercice 7. on note Soit l∞ (N) l'espace des suites réelles bornés. Pour tout x = (xk )k ∈ l∞ (N), kxk∞ = sup |xk | < +∞. (1) (2) k∈N (l∞ (N), k Justier en utilisant le cours que · k∞ ) est un evn. n Soit (x )n une suite bornée de vecteurs de l∞ (N) i.e. il existe M ≥ 0 tel que ∀n ∈ N : kxn k∞ ≤ M. Montrer qu'il existe une sous suite de (xn )n qui converge coordonnée par coordonnée vers un vecteur x de l∞ (N). Exercice 8. Soit (X, k.k) et A une partie non vide de X . On dénie la fonction distance ∀x ∈ X : d(x, A) := inf kx − ak. a∈A (1) Montrer que x 7→ d(x, A) est 1-Lipschitzienne. (2) On suppose que A est fermé. Montrer que d(x, A) = 0 (3) On suppose que A est compact et soit x ∈ X . Montrer d(x, A) = kx − ak. ssi x ∈ A. qu'il existe a ∈ A tel que 0.2. TD2 (DEUX SÉANCES): APPLICATIONS LINÉAIRES ET THÉORÈME DE RIESZ3 Soit (X, k.kX ) et (Y, k.kY ) deux evn. Soit A ⊂ X un compact de X et soit F une collection quelconque de fonctions f : A −→ Y . Montrer que F est équicontinue en tout point de a ∈ A ssi F est uniformément équicontinue sur A. Exercice 10. Soit (X, k.kX ) et (Y, k.kY ) deux evn. Soit F une partie non vide de X , k ≥ 0 et 0 < α ≤ 1 deux réels quelconques xés. Soit Exercice 9. Lipk,α (F, Y ) := {f : X −→ Y : kf (x) − f (x0 )kY ≤ kkx − x0 kαX ; ∀x, x0 ∈ F }. Montrer que Lipk,α (F, Y ) est une famille uniformément équicontinues sur F . Exercice 11. Soit f : [a, b] −→ R une application continue et dérivable. Montrer que f est Lipschitzienne ssi supx∈[a,b] |f (x)| < +∞. Comparer dans ce cas Lip(f ) et supx∈[a,b] |f (x)|. Exercice 12. Soit a un réel et f : [a + ∞[−→ R une application continue admettant une limite nie en +∞. Montrer que f est uniformément continue sur [a + ∞[. 0.2 TD2 (Deux séances): Applications linéaires et Théorème de Riesz On rappel que Lc (X, Y ) désigne l'espace des applications linéaires continues de X dans Y . Pour tout p ∈ Lc (X, Y ) on note Exercice 13. kp(x)kY < +∞. x∈X\{0} kxkX kpkop := sup Montrer que ∀p ∈ Lc (X, Y ), kpkop = kp(x)kY sup x∈X:kxkX =1 = kp(x)kY . sup x∈Bf (0,1) Soit E = R[X] muni de la norme k.k∞ dénie par k.k∞ := sup{| p k!(0) |; k ∈ k Exercice 14. N}. Vérier rapidement que k.k∞ est une norme sur E . Soit f : E → E l'application linéaire (endomorphisme) dénie par f (p) = Xp pour tout p ∈ E . Montrer que f est continue sur (E, k.k∞ ) et calculer kf kop . Exercice 15. On munit E = C([0, 1]) (l'espace des fonctions continues) de la norme R1 k.k1 dénie par : pour tout f ∈ E , kf k1 := 0 |f (t)|dt. On pose (1) (2) T : E −→ E f 7→ T (f ) où T (f ) : [0, 1] → R Z x x 7→ f (t)dt 0 Montrer que T est continue sur (E, k.k1 ) et calculer kT kop . 4 On munit E = Mn (R) (l'ensemble des Pn matrices d'ordre n) de la norme N dénie par : pour tout A ∈ E , N (A) = sup1≤i≤n j=1 |ai,j | (on admet que N est une norme sur E ). Soit f l'application de E dans R dénie par ∀A ∈ E , f (A) = T r(A). Démontrer que l'application f est continue sur (E; N ) et déterminer kf kop . Exercice 16. Montrer que la boule unité fermé BE (0, 1) de l'espace E = (C[0, 1], k.k∞ ) n'est pas compact de deux manières : en utilisant le cours, puis en utilisant la suite (fn )n ⊂ BE (0, 1) dénie pour tout x ∈ [0, 1] et tout n ∈ N par fn (x) = −nx + 1 si x ∈ [0, n1 ] et fn (x) = 0 si x ∈ [ n1 , 1]. Exercice 17. Soit (X, k.kX ) un evn et soit p : X → R une application linéaire non nulle. Montrer qu'il existe e ∈ X tel que p(e) = 1 et X = Ker(p) ⊕ Re. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes. (1) p est continue. (2) Ker(p) := {x ∈ X : p(x) = 0} = p−1 ({0}) est fermé. Montrer de plus que si p n'est pas continue alors ker(p) est dense dans X . Exercice 18. Soit n ∈ N et E l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n. Démontrer qu'il existe λ > 0 tel que pour tout P ∈ E on ait : Exercice 19. Z 1 |P (t)|dt ≥ λ sup |P (t)|. 0 Exercice 20. que t∈[0,1] Soit n ∈ N et En l'ensemble des polynômes unitaire de degré n. Montrer Z P ∈En 1 |P (t)|dt > 0. inf 0 Soit E = C[0, 1] et kf k1 := 01 |f (t)|dt et kf k∞ := supx∈[0,1] |f (x)| pour tout f ∈ E . Montrer que les normes k.k1 et k.k∞ ne sont pas équivalentes. R Exercice 21. Exercice 22. Soit E = R[X] l'espace des polynômes muni de la norme kP k1 = P n n i=0 |ai | où P (X) = a0 + a1 X + ... + an X . Soit f : E → R dénie par f (P ) = P (2). Montrer que f est une application linéaire non continue. 0.3 TD 3 (Deux ou trois séances): Espace de Banach et Théorème d'Arzela-Ascolie Montrer que l'espace des suites réelles bornées (l∞ (N), k · k∞ ) est un espace de Banach. Exercice 23. Exercice 24. Pour p ∈ [1, +∞[, soit lp (N) := {x = (xn ) : kxkp := ( X 1 |xn |p ) p < +∞}. n≥0 Montrer que l'espace (lp (N), k · kp ) est un espace de Banach. 5 0.4. TD 4 (DEUX SÉANCES): THÉORÈME DE POINT FIXE Exercice 25. Montrer que l'application identité I : (lp (N), k · kp ) −→ (l∞ (N), k · k∞ ) (xn ) 7→ (xn ) est linéaire continue et calculer kIkop . (X, k · kX ) un evn et (Y, k · kY ) un espace de Banach. k ≥ 0 et 0 < α ≤ 1 deux réels quelconques xés. Soit Exercice 26. de X . Soit Soit K un compact 0 0 α 0 Lipk,α 0 (K, Y ) := {f : K −→ Y : f (0) = 0 et kf (x) − f (x )kY ≤ kkx − x kX ; ∀x, x ∈ X}. Montrer que Lipk,α 0 (K, Y ) est un compact dans (C(K, Y ), k · k∞ ). Soit K : C([a, b]) → C([a, b]) dénie par K(f )(s) = ab k(s, t)f (t)dt avec k : [a, b] × [a, b] → R continue et soit (fn ) une suite bornnée de (C([a, b]), k.k∞ ). (1) Rappeler pourquoi k est uniformément continue. (2) En déduire l'équicontinuité de (K(fn )). (3) Montrer que (K(fn )) contient une sous-suite convergente dans X . R Exercice 27. On considère la suite de fonctions fn (t) = t + 4(nπ)2 , t ∈ [0, +∞[. (1) Montrer qu'il s'agit d'une suite de fonctions équicontinues convergent simplement vers f = 0. (2) La suite (fn ) est elle relativement compacte dans (C([0, +∞[), k.k∞ ) ? Que dit le théorème d'Ascoli ? p Exercice 28. 0.4 TD 4 (Deux séances): Théorème de point xe Exercice 29. Soit K un convexe compact d'un espace de Banach et E et f : K → K vériant: ∀x, y ∈ K kf (x) − f (y)k ≤ kx − yk. On xe un point a ∈ K . (1) On dénit la suite de fonction (fn ) par 1 1 fn (x) = f ( a + (1 − )x). n n Montrer que pour chaque n ∈ N∗ , fn admet un unique point xe tn . (2) Montrer que f admet un point xe. Le but de cet exercice est de montrer qu'il existe une unique fonction f : [0, 1] → R de classe C 1 satisfaisant l'equation dierentielle suivante: f (0) = 1 et f 0 (x) = f (x − x2 ). Soit X = (C 1 ([0, 1]), N ) avec N (f ) = kf k∞ +kf 0 k∞ . Montrer qu'il existe une unique fonction f qui est point xe de l'operateur T déni par: Exercice 30. Z T (f )(x) = 1 + x f (t − t2 )dt. 0 On commencera par montrer que T ◦ T est une contraction. 6 Exercice 31. Soit K un compact d'un espace vectoriel normé E et f : K → K tel que : ∀x, y ∈ K , x 6= y kf (x) − f (y)k < kx − yk. Montrer que f admet un unique point xe. Exercice 32. Soit X et E deux parties d'un espace vectoriel normé, E étant complet. On considere une fonction F : X × E → E continue et contractante en la seconde variable : ∃k ∈ [0, 1[ kF (λ, x) − F (λ, y)k ≤ kkx − yk. Montrer que pour tout λ ∈ X , il existe a un unique point xe xλ ∈ E tel que F (λ, xλ ) = xλ . Montrer ensuite que l'application λ → xλ est continue. 0.5 TD 5 (Deux séances): Théorème de Baire Le but de cet exercice est de montrer qu'un evn (X, k.k) de dimension dénombrable ne peut être complet. Soit (en )n une base de X et Fn = vect{ek : k ≤ n}. (1) Montrer que pour tout n ∈ N , Fn est férmé d'intérieur vide dans X . (2) Montrer que X = ∪n Fn , puis conclure. Exercice 34. Soit (X, k.kX ) un espace de Banach et F un sous ensemble fermé de X . Soit Cb (F, R) l'espace de Banach des fonctions continue bornées de F dans R muni de la norme k.k∞ . (1) Donner deux exemples de fonctions f ∈ Cb (F, R), l'une qui ne possède pas de minimum unique et l'autre qui a un minimum unique. (2) Le but de cette question est de montrer que l'ensemble des fonctions qui possède un minimum unique est dense dans (Cb (F, R), k.k∞ ). Pour tout n ∈ N∗ , soit Exercice 33. On = {f ∈ Cb (F, R) : ∃xn ∈ F ; f (xn ) < inf{f (x) : x ∈ F : kx − xn k ≥ (a) Montrer que On est un ouvert. (b) On veut montrer que On est dense dans Cb (F, R) pour tout n ∈ N. xé, soit g ∈ Cb (F, R) et 0 < ε. Justier qu'il existe xn ∈ F tel que 1 }}. n Soit n ∈ N g(xn ) < inf{g(x) : x ∈ F } + ε. Soit h(x) = − max(0, ε − kx − xn k) pour tout x ∈ F . Montrer que khk∞ ≤ ε et que g + h ∈ On . (c) Conclure. Exercice 35. Soit (X, k.kX ) un espace de Banach. Soit f : X → R une fonction. Pour tout λ ∈ R, on note Eλ := {x ∈ X : f (x) ≤ λ}. On dit que f est semicontinue inferieurement si Eλ est un fermé pour tout λ. (1) On suppose que f est semicontinue inferieurement. Montrer qu'il existe λ0 ∈ R tel que Int(Eλ0 ) 6= ∅. (2) Soit (pn ) ⊂ X ∗ une suite de fonctions linéaires continues. Supposons que ∀x ∈ X, sup |pn (x)| < +∞. n∈N Montrer en utilisant (1) que supn∈N kpn k < +∞. 0.6. THÉORÈME DU POINT FIXE ET THÉOÈME DE BAIRE (SUITE) 7 0.6 Théorème du point xe et Théoème de Baire (suite) Soit C = C([0, a]) l'espace des fonctions continue sur [0, a] à valeur réelles et muni de la norme k.k∞ de la convergence uniforme. Soit l'application T : C → C dénie pour tout f ∈ C par : Exercice 36. 1 T (f )(x) = f (x) + 2 Z x f (t)dt 0 Montrer que T est bien dénie dans le sens que T (f ) ∈ C pour f ∈ C (2) Montrer que T est Lipschitzzienne. (i.e qu'il existe un réel positif k tel que kT (f ) − T (g)k∞ ≤ kkf − gk∞ pour tout f, g ∈ C ) (3) Pour quel valeur de a, l'application T admet un unique point xe f0 . (1) Exercice 37. Ennocer correctement le théorème des accroissement nie. (2) Soit f : R → R de classe C 1 . On suppose que supx∈R |f 0 (x)| < 1. Démontrer que f est contractante puis en déduire qu'elle admet un unique point xe. (3) En déduire que la fonction dénie de R dans R par f (x) = sin(x)+cos(x) admet un 4 unique point xe. (1) Soit E et F deux evn avec E complet. Soit (fn ) une suite de fonctions continues de E dans F convergeant simplement vers une fonction f de E dans F . (1) Montrer que l'ensemble des points de continuité de f est dense dans E . (2) Soit f : R → R une application dérivable sur R. Montrer que l'ensemble des point de continuité de la fonction dérivée f 0 est dense dans E . Exercice 38.