Chapitre 2
Espaces métriques
2.1
Distance
On dispose sur R de la distance usuelle
d : R × R → R+
(x, y) 7→ d(x, y) = |x − y|
On l’utilise pour définir la convergence des suites et la continuité des fonctions. Le but
ici est de généraliser cette notion.
Définition 2.1.1. Une distance sur un ensemble X est une application
d : X × X → R+ ,
telle que :
a) ∀x ∈ X , ∀y ∈ X , d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y ;
b) ∀x ∈ X , ∀y ∈ X , d(x, y) = d(y, x) (symétrie) ;
c) ∀x ∈ X , ∀y ∈ X , ∀z ∈ X , d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (inégalité triangulaire).
L’ensemble X muni d’une distance d est appelé un espace métrique, ses éléments
sont habituellement appelés des points.
Exemple 2.1.2. Distance usuelle sur R ou C : d(x, y) = |x − y|.
Exemple 2.1.3. Etant donné un espace métrique (X, d) : distance produit sur X × X,
définie par δ((x, y), (x′ , y ′ )) = max(d(x, x′ ), d(y, y ′ )).
Exemple 2.1.4. La distance induite sur un sous-ensemble.
Exemple 2.1.5. La distance triviale (ou discrète) : ∀x 6= y , d(x, y) = 1.
Proposition 2.1.6 (seconde inégalité triangulaire).
∀x ∈ X , ∀y ∈ X , ∀z ∈ X , |d(x, y) − d(y, z)| ≤ d(x, z) .
5
Définition 2.1.7. Dans un espace métrique (X, d), on appelle boule ouverte (resp. boule
fermée) de centre a ∈ X et de rayon r > 0, le sous-ensemble :
B(a, r) = {x ∈ X, d(a, x) < r}
(resp. Bf (a, r) = {x ∈ X, d(a, x) ≤ r}) .
Définition 2.1.8. Un sous-ensemble A d’un espace métrique (X, d) est borné si et
seulement s’il est contenu dans une boule :
∃a ∈ X , ∃r > 0 / A ⊂ Bf (a, r) .
Une application à valeur dans un espace métrique est bornée si et seulement si son image
est bornée.
Exercice 2.1.9. Montrer que si A est une partie bornée d’un espace métrique (X, d), traité
alors :
a) pour tout point b dans X, l’application gb : X → R définie par gb (x) = d(b, x) est
bornée.
b) La restriction de d à A × A est bornée.
Définition 2.1.10. On appelle diamètre d’une partie bornée A d’un espace métrique
(X, d), le nombre diam(A) = sup(x,y)∈A×A d(x, y).
Exercice 2.1.11. Démontrer que le diamètre d’une boule B(a, r) est majoré par 2r.
traité
Exemple 2.1.12. Distance uniforme d∞ sur l’ensemble des applications bornée de I dans
un espace métrique X, d) : B(I, X).
Exemple 2.1.13. Distance associée à une norme sur un espace vectoriel réel ou complexe.
Exercice 2.1.14. Normes :
1. Rappeler la définition d’une norme.
2. Donner des exemples de normes sur Rn et Cn .
traité
3. Donner des exemples de normes sur l’espaces des fonctions continues sur un intervalle : traité
C([a, b], R).
Exemple 2.1.15. Distance associée à la valuation sur R[X] : d(P, Q) = 2−v(P −Q) .
2.2
Limite et continuité
Définition 2.2.1. Soient (X, d) un espace métrique et u = (un )n≥0 une suite dans X.
La suite u converge vers l ∈ X si et seulement si :
∀ǫ > 0 , ∃N ∈ N , ∀n ≥ N , d(un , l) < ǫ .
6
traité
Exercice 2.2.2. Démontrer l’unicité de la limite.
Définition 2.2.3. Soient (X, d) un espace métrique et u = (un )n≥0 une suite dans X.
La suite u est de Cauchy si et seulement si :
∀ǫ > 0 , ∃N ∈ N , ∀n, m ≥ N , d(un , um ) < ǫ .
Toute suite convergente est de Cauchy.
Définition 2.2.4. Un espace métrique est complet si et seulement si toute suite de
Cauchy converge.
Définition 2.2.5. Soit f : X → Y une application entre deux espaces métriques (X, d)
et (Y, δ). L’application f est continue en a ∈ X si et seulement si :
∀ǫ > 0 , ∃α > 0 , ∀x ∈ X , d(x, a) < α ⇒ δ(f (x), f (a)) < ǫ .
L’application f est continue si et seulement si elle est continue en tout point a de X.
L’application f est uniformément continue si et seulement si :
∀ǫ > 0 , ∃α > 0 , ∀x ∈ X , ∀y ∈ X , d(x, y) < α ⇒ δ(f (x), f (y)) < ǫ .
Exercice 2.2.6. Soit (X, d) un espaces métrique.
traité
1. Démontrer que pour tout a ∈ X, l’application ga : X → R définie par ga (x) = d(a, x)
est continue.
2. Démontrer que la distance d : X × X → R est continue, pour la métrique produit sur
X × X.
Proposition 2.2.7. Soit f : X → Y une application entre deux espaces métriques
(X, d) et (Y, δ). L’application f est continue en a ∈ X si et seulement si : pour toute
suite u = (un )n≥0 de X convergent vers a, la suite (f (un ))n≥0 converge vers f (a).
Exemple 2.2.8. L’espace (B(I, X), d∞ ) des applications bornées de l’ensemble I vers traité
l’espace métrique (X, d), muni de la métrique uniforme d∞ est complet.
Exercice 2.2.9. Démontrer que l’espace (C([a, b], R), d∞ ) des fonctions continues sur [a, b],
muni de la métrique d∞ est complet.
Exercice 2.2.10. Démontrer que l’espace (C([−1, 1], R), d1R) des fonctions continues sur
1
[a, b], muni de la métrique d1 associée à la norme ||f ||1 = 0 |f (t)|dt, n’est pas complet.
Définition 2.2.11. Soit f : X → Y une application entre deux espaces métriques (X, d)
et (Y, δ). L’application f est lipschitzienne si et seulement si, il existe k > 0 tel que :
∀x ∈ X , ∀y ∈ X , δ(f (x), f (y)) ≤ kd(x, y) .
(Eventuellement on précise : k-lipschitzienne.)
7
Proposition 2.2.12. Une application lipschitzienne est uniformément continue.
Proposition 2.2.13. Soit (X, d) un espace métrique, et δ la distance produit sur X ×X,
alors d : X × X → R+ est 2-lipschitzienne.
Théorème 2.2.14. La composée de deux applications continues est continue.
Théorème 2.2.15. La somme et le produit sont des applications continues de R × R
vers R, et de C × C dans C.
L’application inverse : x 7→ x1 est continue de R∗ dans R, et de C∗ dans C.
2.3
Produit d’espaces métriques
Soit (Xk , dk )1≤k≤n une famille finie d’espaces métriques.
Proposition 2.3.1. Sur le produit Y = X1 × X2 × · · · × Xn , l’application δ qui à (x, y)
associe δ(x, y) = max1≤i≤n di (xi , yi ), définit une distance, qu’on appelle distance produit.
Remarque 2.3.2. Les projections pi sur les facteurs Xi sont 1-lipschitziennes.
Pour f : Z 7→ Y = X1 × X2 × · · · × Xn , on appelle composantes de f les applications
fi = pi ◦ f .
Proposition 2.3.3. Lorsque Z est un espace métrique, et Y est muni de la métrique
produit : f est continue si et seulement si ses composantes le sont.
Remarque : énoncé analogue pour la convergence des suites dans le produit Y .
Proposition 2.3.4. Un produit fini d’espaces métriques complets est complet.
Exercice 2.3.5. Produit dénombrable. Soit (Xk , dk )0≤k une famille dénombrable d’espaces
métriques. Le produit Y = Πn≥0 Xn est l’ensemble des suites (xn )n≥0 avec xn ∈ Xn pour
tout n.
1. Démontrer que l’application δ qui à (x, y) associe δ(x, y) = supn≥0 (inf(2−n , di (xn , yn )),
définit une distance sur le produit Y = Πn≥0 Xn . Cette distance est appellée distance
produit.
2. Démontrer qu’un produit dénombrable d’espaces complets est complet.
2.4
Distances équivalentes
Définition 2.4.1. Deux distances d et δ sur le même ensemble X sont équivalentes si
et seulement s’il existe k1 , k2 > 0 tels que :
∀(x, y) ∈ X × X , k1 d(x, y) ≤ δ(x, y) ≤ k2 d(x, y) .
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Cette définition exprime que l’application IdX est lipschitzienne de (X, d) vers
(X, δ), et de (X, δ) vers (X, d). L’équivalence des distances est une relation d’équivalence.
Equivalence des normes
Définition 2.4.2. Deux normes N et N ′ sur un même espace vectoriel réel ou complexe
E sont équivalentes si et seulement s’il existe k1 , k2 > 0 tels que :
∀x ∈ E , k1 N (x) ≤ N ′ (x) ≤ k2 N (x) .
L’équivalence des normes équivaut à l’équivalence des distances associées.
Exercice 2.4.3. Montrer que les normes habituelles sur Rn et Cn :
! 21
X
X
||x||1 =
|xi | , ||x||2 =
|xi |2
i
sont équivalentes à la norme
||x||∞ = max |xi | .
i
Il existe des comparaisons de distances plus faibles :
Définition 2.4.4. Deux distances d et δ sur le même ensemble X sont uniformément
équivalentes si et seulement l’application identique IdX est uniformément continue de
(X, d) vers (X, δ), et de (X, δ) vers (X, d).
Deux distances d et δ sur le même ensemble X sont topologiquement équivalentes si
et seulement l’application IdX est continue de (X, d) vers (X, δ), et de (X, δ) vers (X, d).
L’équivalence topologique des distances sera étudiée plus en détail dans le prochain
chapitre.
2.5
Continuité des applications linéaires
Le corps de base, noté K est R ou C.
Théorème 2.5.1. Soient f une application linéaire entre deux K-espaces vectoriels
normés (E, || || et (E ′ , || ||′ ). Les énoncés suivants sont équivalents :
a) f
b) f
c) f
d) f
est continue ;
est continue en zéro ;
est bornée sur la boule unité fermée : Bf (0E , 1) ;
est lipschitzienne.
9
traité
Remarque 2.5.2. On démontrera que lorsque E est de dimension finie, alors toute application linéaire de source E est continue.
Exercice 2.5.3. Trouver un exemple d’application linéaire non continue.
On note Lc (E, E ′ ) l’espace des applications linéaires continues de (E, || || vers
(E ′ , || ||′ ).
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