Topologie

Master 2 Agr´egation, Math´ematiques, Universit´e de Nice Sophia-Antipolis,
UE3 - 1 - Topologie.
Exercice 1 (D´efinitions)
1) Rappeler comment est d´efini :
a) une topologie,
b) une distance,
c) la topologie dans un espace m´etrique,
d) une norme,
e) un voisinage,
f) l’adh´erence (existence ?),
g) l’int´erieur (existence ?),
h) la fronti`ere,
i) la topologie induite,
j) un hom´eomorphisme,
k) un produit fini d’espace m´etrique.
2) Montrer la lipschitziennit´e de la distance dans un espace m´etrique.
3) La notion de born´e est-elle topologique ou m´etrique ?
4) a) Qu’est-ce qu’un espace s´epar´e ?
b) Montrer qu’un espace m´etrique est s´epar´e.
c) Donner un exemple d’espace non s´epar´e ?
5) Quels sont les ouverts de ]a, b] avec a, b ∈R?
Exercice 2 (Boules ouvertes, ferm´ees, ...)
Soit (E, d) un espace m´etrique. On note Boet Bfles boules ouvertes et ferm´ees.
1) Montrer que l’adh´erence de Bo(a, r) est inclu dans Bf(a, r).
2) Montrer l’´egalit´e dans le cas d’un espace norm´e.
3) Dans le cas d’un espace norm´e, montrer que la fronti`ere de Bo(a, r) est la sph`ere S(a, r).
Exercice 3 (Distance `a un ensemble)
Soit (E, d) un espace m´etrique.
Soit A⊂E. Montrer que x7→ d(x, A) est 1-lipschitzienne.
Exercice 4 (Topologie de A+B)
Soit Eun espace vectoriel topologique.
1) Soit Aun ouvert et Bquelconque de E, alors A+Best ouvert.
2) Donner un exemple o`u Aet Bsont ferm´es et A+Bnon ferm´e.
R´ef´erences : Gourdon, Kirillov-Gvichian, Pommellet, Schwartz