ch2 esp metriques

Chapitre2
Espaces m´etriques
2.1Distance
On dispose sur Rde la distanceusuelle
d:R×R→R+
(x, y)7→ d(x, y)=|x−y|
On l’utilisepour d´efinir la convergence des suites etla continuit´edes fonctions. Le but
ici est de g´en´eraliser cettenotion.
D´efinition2.1.1. Une distance sur un ensemble Xest une application
d:X×X→R+,
telle que :
a) ∀x∈X,∀y∈X,d(x, y)=0⇐⇒ x=y;
b) ∀x∈X,∀y∈X,d(x, y)=d(y,x)(sym´etrie) ;
c) ∀x∈X,∀y∈X,∀z∈X,d(x, z)≤d(x, y)+d(y,z)(in´egalit´etriangulaire).
L’ensemble Xmuni d’une distancedest appel´eun espace m´etrique, ses ´el´ements
sonthabituellementappel´es des points.
Exemple 2.1.2.Distanceusuelle sur Rou C:d(x, y)=|x−y|.
Exemple 2.1.3.Etantdonn´eun espace m´etrique (X,d):distance produit sur X×X,
d´efinie parδ((x, y),(x′,y′)) =max(d(x, x′),d(y,y′)).
Exemple 2.1.4.La distance induite sur un sous-ensemble.
Exemple 2.1.5.La distance triviale (ou discr`ete) :∀x6=y,d(x, y)=1.
Proposition 2.1.6(seconde in´egalit´etriangulaire).
∀x∈X,∀y∈X,∀z∈X,|d(x, y)−d(y,z)|≤d(x, z).
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D´efinition2.1.7.Dans un espace m´etrique (X,d), onappelle boule ouverte(resp. boule
ferm´ee) de centre a∈Xet de rayonr>0, le sous-ensemble :
B(a, r)={x∈X,d(a, x)<r}
(resp. Bf(a, r)={x∈X,d(a, x)≤r}).
D´efinition2.1.8. Un sous-ensemble Ad’un espace m´etrique (X,d)est born´esi et
seulements’il estcontenudans uneboule :
∃a∈X,∃r>0/A⊂Bf(a, r).
Une application`a valeur dans un espace m´etrique estborn´ee si et seulementsi sonimage
est born´ee.
Exercice2.1.9.Montrer que si Aest une partie born´ee d’unespace m´etrique (X,d), trait´e
alors :
a) pour tout pointbdans X,l’applicationgb:X→Rd´efinie pargb(x)=d(b, x)est
born´ee.
b) La restrictionde d`a A×Aest born´ee.
D´efinition2.1.10.On appelle diam`etre d’une partie born´ee Ad’un espace m´etrique
(X,d), le nombre diam(A)=sup(x,y)∈A×Ad(x, y).
Exercice2.1.11.D´emontrer que le diam`etred’une boule B(a, r)estmajor´epar2r.trait´e
Exemple 2.1.12.Distanceuniforme d∞sur l’ensemble desapplications born´ee de Idans
un espace m´etriqueX,d):B(I,X).
Exemple 2.1.13.Distanceassoci´ee `a une norme sur un espace vectoriel r´eel oucomplexe.
Exercice2.1.14.Normes:
1. Rappelerla d´efinitiond’une norme.
2. Donner des exemplesde normes sur Rnet Cn.trait´e
3. Donner des exemples de normes sur l’espaces des fonctions continues surun intervalle :trait´e
C([a, b],R).
Exemple 2.1.15.Distanceassoci´ee `a la valuation sur R[X] : d(P,Q)=2−v(P−Q).trait´e
2.2Limiteet continuit´e
D´efinition2.2.1. Soient (X,d)un espace m´etrique et u=(un)n≥0une suite dans X.
La suite uconverge vers l∈Xsi et seulementsi :
∀ǫ>0,∃N∈N,∀n≥N,d(un,l)<ǫ.
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Exercice2.2.2.D´emontrer l’unicit´ede la limite.
D´efinition2.2.3. Soient (X,d)un espace m´etrique et u=(un)n≥0une suite dans X.
La suite uest de Cauchysi etseulementsi :
∀ǫ>0,∃N∈N,∀n, m≥N,d(un,um)<ǫ.
Toute suiteconvergenteest deCauchy.
D´efinition2.2.4.Un espace m´etrique est complet siet seulementsitoute suite de
Cauchyconverge.
D´efinition2.2.5. Soit f:X→Yune applicationentredeux espaces m´etriques (X,d)
et (Y,δ). L’application fest continue en a∈Xsi et seulementsi :
∀ǫ>0,∃α>0,∀x∈X,d(x, a)<α⇒δ(f(x),f(a)) <ǫ.
L’applicationfest continue si et seulementsi elleest continue en tout pointade X.
L’applicationfest uniform´ementcontinue si etseulementsi :
∀ǫ>0,∃α>0,∀x∈X,∀y∈X,d(x, y)<α⇒δ(f(x),f(y)) <ǫ.
Exercice2.2.6.Soit (X,d)un espaces m´etrique. trait´e
1. D´emontrer que pour tout a∈X,l’application ga:X→Rd´efinie par ga(x)=d(a, x)
est continue.
2. D´emontrer que la distance d:X×X→Rest continue, pour la m´etrique produit sur
X×X.
Proposition 2.2.7.Soit f:X→Yune application entredeux espaces m´etriques
(X,d)et (Y,δ).L’application fest continue en a∈Xsi et seulement si :pour toute
suite u=(un)n≥0de Xconvergent versa,la suite (f(un))n≥0converge versf(a).
Exemple 2.2.8.L’espace (B(I,X),d∞)des applications born´ees de l’ensemble Ivers trait´e
l’espace m´etrique (X,d), muni de la m´etrique uniforme d∞est complet.
Exercice2.2.9.D´emontrer que l’espace (C([a, b],R),d∞)des fonctions continues sur [a, b],
muni de la m´etrique d∞est complet.
Exercice2.2.10.D´emontrer quel’espace (C([−1,1],R),d1)des fonctions continuessur
[a, b], muni de la m´etrique d1associ´ee `a la norme ||f||1=R1
0|f(t)|dt,n’est pas complet.
D´efinition2.2.11.Soit f:X→Yune application entre deux espaces m´etriques (X,d)
et (Y,δ). L’application fest lipschitzienne siet seulementsi, il existe k>0tel que :
∀x∈X,∀y∈X,δ(f(x),f(y)) ≤kd(x, y).
(Eventuellementonpr´ecise :k-lipschitzienne.)
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Proposition 2.2.12.Une application lipschitzienne est uniform´ement continue.
Proposition 2.2.13. Soit (X,d)un espacem´etrique, et δla distanceproduit sur X×X,
alors d:X×X→R+est 2-lipschitzienne.
Th´eor`eme2.2.14.Lacompos´ee de deux applications continues est continue.
Th´eor`eme2.2.15.Lasomme et le produit sont des applications continues de R×R
vers R,et de C×Cdans C.
L’application inverse :x7→ 1
xest continue de R∗dans R,et de C∗dans C.
2.3Produit d’espaces m´etriques
Soit (Xk,dk)1≤k≤nune famille finie d’espacesm´etriques.
Proposition 2.3.1. Sur le produit Y=X1×X2×· · · ×Xn,l’application δqui `a (x, y)
associe δ(x, y)=max1≤i≤ndi(xi,yi),d´efinit une distance, qu’on appelle distanceproduit.
Remarque 2.3.2.Les projections pisur lesfacteurs Xisont1-lipschitziennes.
Pour f:Z7→ Y=X1×X2×· · · ×Xn,onappelle composantesde fles applications
fi=pi◦f.
Proposition 2.3.3.Lorsque Zest un espacem´etrique, et Yest muni de la m´etrique
produit :fest continue si et seulement si ses composantes le sont.
Remarque :´enonc´eanaloguepour la convergence dessuites dans le produit Y.
Proposition 2.3.4. Un produit fini d’espaces m´etriques complets est complet.
Exercice2.3.5.Produit d´enombrable. Soit (Xk,dk)0≤kune famille d´enombrable d’espaces
m´etriques. Le produit Y=Πn≥0Xnest l’ensemble des suites (xn)n≥0avec xn∈Xnpour
tout n.
1. D´emontrer que l’application δqui `a (x, y)associe δ(x, y)=supn≥0(inf(2−n,di(xn,yn)),
d´efinit une distance sur le produit Y=Πn≥0Xn.Cette distance estappell´ee distance
produit.
2. D´emontrer qu’un produit d´enombrable d’espaces complets estcomplet.
2.4 Distances´equivalentes
D´efinition2.4.1.Deux distances det δsur le mˆeme ensemble Xsont´equivalentes si
et seulements’il existek1,k2>0tels que :
∀(x, y)∈X×X,k1d(x, y)≤δ(x, y)≤k2d(x, y).
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Cette d´efinitionexprime que l’application IdXest lipschitzienne de (X,d)vers
(X,δ), etde (X,δ)vers (X,d). L’´equivalence desdistances est une relationd’´equivalence.
Equivalence des normes
D´efinition2.4.2. Deux normesNet N′sur un mˆeme espace vectorielr´eel oucomplexe
Esont´equivalentessi et seulements’il existe k1,k2>0tels que :
∀x∈E,k1N(x)≤N′(x)≤k2N(x).
L’´equivalence des normes ´equivaut `a l’´equivalencedes distances associ´ees.
Exercice2.4.3.Montrer que les normes habituelles sur Rnet Cn:trait´e
||x||1=X|xi|,||x||2= X
i
|xi|2!
1
2
sont´equivalentes`a la norme
||x||∞=max
i|xi|.
Il existe des comparaisons de distances plus faibles :
D´efinition2.4.4.Deux distances det δsur le mˆeme ensemble Xsontuniform´ement
´equivalentes siet seulementl’application identique IdXest uniform´ementcontinue de
(X,d)vers (X,δ), et de(X,δ)vers (X,d).
Deux distances det δsur le mˆeme ensemble Xsonttopologiquement´equivalentes si
et seulementl’applicationIdXest continue de (X,d)vers (X,δ), et de (X,δ)vers (X,d).
L’´equivalence topologique des distances sera ´etudi´ee plus en d´etail dans le prochain
chapitre.
2.5Continuit´edesapplications lin´eaires
Le corps de base, not´eKest Rou C.
Th´eor`eme2.5.1. Soient fune application lin´eaireentredeux K-espaces vectoriels
norm´es (E,|| || et (E′,|| ||′).Les ´enonc´es suivants sont ´equivalents :
a) fest continue ;
b) fest continue en z´ero;
c) fest born´ee sur la boule unit´eferm´ee :Bf(0E,1) ;
d) fest lipschitzienne.
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