Suites arithmético

Suites arithmético-géométriques
Exemple 1:
Soit u la suite définie par u0 = 4 et pour tout entier n :
un+1 = 2un + 3
1. Soit v la suite définie pour tout entier n par vn = un + 3.
a) Montrer que la suite v est géométrique.
b) Pour tout entier n, exprimer vn en fonction de n.
2. En déduire, pour tout entier n, une expression de un en fonction de n.
3. Déterminer le sens de variation de la suite u.
1. a) Pour montrer qu’une suite est géométrique il faut écrire une relation du type vn+1 = q × vn .
On a :
vn+1 = un+1 + 3 = 2un + 3 + 3 = 2un + 6 = 2(un + 3) = 2vn
v est donc une suite géométrique de raison 2.
b) v est une suite géométrique de raison 2 et de premier terme v0 = u0 + 3 = 7. Donc pour tout
entier n, vn = 7 × 2n .
2. On sait que vn = un + 3 donc on peut écrire : un = vn − 3.
Ainsi pour tout entier n, un = 7 × 2n − 3.
3. On va chercher le signe de un+1 − un . On a :
un+1 − un = 7 × 2n+1 − 3 − (7 × 2n − 3)
= 7 × 2n+1 − 3 − 7 × 2n + 3
= 7 × 2n+1 − 7 × 2n
= 7 × (2n+1 − 2n )
= 7 × (2n × 2 − 2n )
= 7 × 2n (2 − 1) = 7 × 2n
Or pour tout entier n, 7 × 2n > 0 donc un+1 − un > 0.
La suite u est strictement croissante.
Définition 1
Une suite u est dite arithmético-géométrique s’il existe deux nombres réels a et b tels que pour tout
entier n on a :
un+1 = a × un + b
Remarques :
– Si a = 1 la suite u est en fait une suite arithmétique.
– Si b = 0 la suite u est en fait géométrique.
– L’étude d’une suite arithmético-géométrique sera toujours très guidée en exercice.
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