Suites arithmético

Suites arithm´etico-g´eom´etriques
Exemple 1:
Soit ula suite d´efinie par u0= 4 et pour tout entier n:
un+1 = 2un+ 3
1. Soit vla suite d´efinie pour tout entier npar vn=un+ 3.
a) Montrer que la suite vest g´eom´etrique.
b) Pour tout entier n, exprimer vnen fonction de n.
2. En d´eduire, pour tout entier n, une expression de unen fonction de n.
3. D´eterminer le sens de variation de la suite u.
1. a) Pour montrer qu’une suite est g´eom´etrique il faut ´ecrire une relation du type vn+1 =q×vn.
On a :
vn+1 =un+1 + 3 = 2un+ 3 + 3 = 2un+ 6 = 2(un+ 3) = 2vn
vest donc une suite g´eom´etrique de raison 2.
b) vest une suite g´eom´etrique de raison 2 et de premier terme v0=u0+ 3 = 7. Donc pour tout
entier n,vn= 7 ×2n.
2. On sait que vn=un+ 3 donc on peut ´ecrire : un=vn−3.
Ainsi pour tout entier n,un= 7 ×2n−3.
3. On va chercher le signe de un+1 −un. On a :
un+1 −un= 7 ×2n+1 −3−(7 ×2n−3)
= 7 ×2n+1 −3−7×2n+ 3
= 7 ×2n+1 −7×2n
= 7 ×(2n+1 −2n)
= 7 ×(2n×2−2n)
= 7 ×2n(2 −1) = 7 ×2n
Or pour tout entier n, 7 ×2n>0 donc un+1 −un>0.
La suite uest strictement croissante.
D´efinition 1
Une suite uest dite arithm´etico-g´eom´etrique s’il existe deux nombres r´eels aet btels que pour tout
entier non a :
un+1 =a×un+b
Remarques :
– Si a= 1 la suite uest en fait une suite arithm´etique.
– Si b= 0 la suite uest en fait g´eom´etrique.
– L’´etude d’une suite arithm´etico-g´eom´etrique sera toujours tr`es guid´ee en exercice.
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