Universit´ e Mohammed V-Rabat Ann´ ee universitaire: 2016-17

Universit´e Mohammed V-Rabat Ann´ee universitaire: 2016-17
Facult´e des Sciences SMA-S5- Topologie
D´epartement de Math´ematiques
S´erie 2
Exercice 1. L(E, F ) d´esigne l’espace des applications lin´eaires continues de
Evers Fmuni de la norme du sup sur la boule unit´e ferm´ee. On veut montrer
que si L(E, F ) est complet alors Fest complet dans le cas o`u Eest de dimension
finie.
1. On suppose d’abord que Eest IR et on se donne une suite de Cauchy (an)n
dans F. On consid`ere la suite d’applications (fn)ndans L(IR, F ) d´efinie par
fn(1) = an.
1a. Justifier que kfnk=kankF. (Remarquer que la boule unit´e de IR est r´eduite
`a deux ´el´ements 1 et -1.)
1b. Justifier que (fn)nconverge vers une limite f∈L(E, F ) puis conclure en
consid´erant f(1).
2. G´en´eraliser `a un espace Ede dimension finie p.
(Si Eest un espace vectoriel norm´e de dimension infinie, on a besoin d’une no-
tion appel´ee ”suppl´ementaire topologique”. Elle implique en particulier que tout
sous-espace E1de dimension finie de Eadmet un s.e.v. de Esuppl´ementaire,
ferm´e, not´e E2tel que E=E1⊕E2et pour lequel l’application injection
E1→E=E1⊕E2est continue. On peut alors se ramener `a la question
1.)
Exercice 2. Soit Aune partie d’un espace m´etrique (E, d). Montrer que x∈¯ A
si et seulement si il existe une suite (xn)nde points de Aconvergente vers x.
Exercice 3. (E, d) d´esigne un espace m´etrique. On note B(a, 1) la boule ou-
verte de centre aet de rayon 1 et Bf(a, 1) = {x∈E, d(a, x)≤1}.
1. Montrer qu’on a B(a, 1) ⊂Bf(a, 1).
2. Montrer `a l’aide d’un contre-exemple que l’inclusion est stricte en g´en´eral.
3. Nous voulons `a pr´esent montrer que l’inclusion devient une ´egalit´e si Eest
un espace vectoriel norm´e. Pour cela, nous allons d’abord ´etablir les r´esultats
suivants:
3a. Montrer que si f:F→Gest une application continue entre deux espaces
m´etriques, alors pour toute partie A⊂F, on a f(A)⊂f(A).
3b. Montrer que si f:F→Gest un hom´eomorphisme alors l’inclusion
pr´ec´edente est une ´egalit´e.
3c. On se donne donc un ´el´ement x∈Bf(a, 1) et on veut montrer que xest
limite d’une suite (αn)nde points de B(a, 1). On suppose d(a, x) = 1 (le cas
d(a, x)<1 ´etant imm´ediat) et on suppose dans un premier temps que av´erifie
kak<1. V´erifier que la suite (αn)nd´efinie par αn=n
n+1 xconvient pour n
assez grand.
3d. On suppose dans cette question kak ≥ 1 et on note τla translation qui
1

envoie asur a
2kak. En remarquant que τest un hom´eomorphisme et en utilisant
3b, conclure.
Exercice 4. Soit f:IR →IR un hom´eomorphisme, IR est muni d’une distance
d.
On d´efinit une nouvelle distance δpar
δ(x, y) = d(f(x), f(y)).
1. V´erifier que δest bien une distance sur IR.
2. Montrer qu’elle est topologiquement ´equivalente `a la distance d. C’est `a dire
que tout ouvert pour dest un ouvert pour δet inversement.
3. D´eduire que les deux distances suivantes d´efinies par
d1(x, y) = |x−y|,et d2(x, y) = |x3−y3|
sont topologiquement ´equivalentes. Sont elles comparables?
Exercice 5. Soit (E, d) un espace m´etrique
1. Soient A1et A2deux parties de Etelles que A1⊂A2.
1a. Montrer qu’on a ˚ A1⊂˚ A2et que ¯ A1⊂¯ A2.
1b. Montrer que si Aest une partie de E, on a
(˚ A)c=Ac,et
˚
z}|{
Ac= ( ¯ A)c.
2. Soit (Ai, i ∈I) une famille de parties de E. On pose A=∩i∈IAiet
B=∪i∈IAi. Montrer que:
˚
A⊂ ∩i∈I˚ Ai,et que ∪i∈I¯ Ai⊂¯ B.
Montrer que si Iest fini, les inclusions pr´ec´edentes sont des ´egalit´es. A l’aide
d’un contre exemple, montrer que les inclusions peuvent ˆetre strictes lorsque I
est infini.
3. Soit Aune partie de E. On rappelle que la fronti`ere de A, not´ee F r(A),
est d´efinie par:
F r(A) = ¯ A∩Ac.
Montrer que F r(˚ A)⊂F r(A) et que F r(¯ A)⊂F r(A).
4. Soient Aet Bdeux parties de E. Montrer que F r(A∪B)⊂F r(A)∪F r(B).
Donner un exemple dans lequel l’inclusion est stricte. Montrer que lorsque
¯
A∩¯ B=∅, on a F r(A∪B) = F r(A)∪F r(B).
Exercice 6 (E, d) d´esignant un espace m´etrique, on d´efinit une nouvelle dis-
tance δpar
δ(x, y) = d(x, y)
1 + d(x, y).
2

Montrer que les deux distances det δsont topologiquement ´equivalentes.
Exercice 7. Soit (E, d) un espace m´etrique. Pour tout x∈Eet toute par-
tie non vide A⊂E, on pose
d(x, A) = infy∈Ad(x, y).
1. Montrer que d(x, A) = 0 si et seulement si x∈¯ A, puis que d(x, A) =
d(x, ¯ A).
2. Montrer que, pour Afix´e, l’application f:x7→ f(x) = d(x, A) est
continue sur E.
3. Soient Aet Bdeux parties de E. Montrer que A∩¯ B=¯ A∩B=∅si
et seulement si il existe deux ouverts disjoints Uet Vde Etels que A⊂Uet
B⊂V. (Consid´erer l’application (x7→ d(x, A)−d(x, B))
4. Soient Aet Bdeux ferm´es disjoints de E. Montrer qu’il existe une appli-
cation continue ϕ:E→IR ´egale `a 0 sur Aet `a 1 sur B. En d´eduire qu’il existe
un ouvert Ucontenant Aet un ouvert Vcontenant Bdisjoints.
Exercice 8. Suite exhaustive de compacts associ´ee `a un ouvert.
Dans cet exercice, on se donne Ω ⊂IRpet on veut construire une suite (Kn)n
de compacts contenus dans Ω et telle que Kn⊂˚ Kn+1,SnKn= Ω et pour tout
compact K⊂Ω il existe ntel que K⊂Kn.
On pose, pour tout n≥1, Kn={x∈Ω,˙ d(x, Ωc)≥1
n}TBn, o`u Bnd´esigne la
boule de IRpde centre 0 et de rayon n. Remarquer que les Knsont tous non
vides `a partir d’un certain rang.
Montrer, en utilisant l’exercice pr´ec´edent, que les Knconviennent. Expliquer
pourquoi on a utilis´e l’adjectif ”exhaustive”.
Exercice 9.
C([0,1]) d´esigne l’ensemble des fonctions num´eriques d´efinies et continues
sur [0,1] muni de la distance de la convergence uniforme. Soit k∈IR+. On
rappelle qu’une fonction f∈C([0,1]) est dite k-lipschitzienne si, pour tous xet
y∈[0,1], |f(x)−f(y)| ≤ k|x−y|.
1. Montrer que l’ensemble Fkdes fonctions k-lipschitziennes est un ferm´e de
C([0,1]).
2. Montrer que l’ensemble Fdes fonctions lipschitziennes ´el´ements de C([0,1])
est d’int´erieur vide.
3. Soit f∈C([0,1]). Pour chaque n∈IN∗, soit fnla fonction affine par
morceaux d´efinie par
fn(x) = f(i/n)+(nx−i)(f((i+1)/n)−f(i/n)), si x ∈[i/n, (i+1)/n],0≤i≤n−1.
Montrer, que pour tout n∈IN ∗, on a fn∈Fet que la suite (fn)n∈IN∗converge
uniform´ement vers f. En d´eduire que Fest dense dans C([0,1]).
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