2 - Département de Mathématiques d`Orsay

Feuille d’exercices 2
Licence de Math´ ematiques – M301 Orsay 2016–17
Exercice 1. Soient X,Ydes espaces m´etriques et f:X→Yune application continue.
1. Montrer que fest continue si et seulement si pour tout A⊂Y,f−1(A◦)⊂(f−1(A))◦. Mˆeme
question avec f−1(A)⊂f−1(A).
2. Soient A, B ⊂Xtels que A=B. Montrer que f(A) = f(B).
Exercice 2. Des ensembles compacts ?
On munit RN(N≥1) de sa topologie naturelle, et les parties A⊂RNde la topologie induite. Les
ensembles suivants sont-ils compacts ?
1. Zet 1
n, n ∈Z∗?
2. {(1/n, y)∈R2|n∈Z∗,0≤y≤1/n}et (x, y)∈R2, xy = 1?
3. Les groupes SlnRet O(n) dans MnR'Rn2?
4. L’ensemble {P∈MnR|P2=P}des projecteurs ?
5. L’ensemble {P∈MnR|P2=P , KerP⊥ImP}des projecteurs orthogonaux, Rn´etant muni
d’une structure euclidienne ?
Exercice 3. Hom´ eomorphismes.
1. On munit Zet Qde la distance induite par la distance usuelle de R. Ces deux espaces sont-ils
hom´eomorphes ?
2. Est-ce que Rest hom´eomorphe `a R\ {0}, muni de la topologie induite ?
Indication : On pourra utiliser la description des parties ouvertes-ferm´ees de R, voir feuille 1.
3. Montrer que Rnmuni de la norme euclidienne est hom´eomorphe `a sa boule unit´e ouverte.
4. Donner un exemple de bijection continue entre deux espaces m´etriques qui n’est pas un hom´eomorphisme.
Exercice 4.
Soit (X, d) un espace m´etrique et soit (xn)n∈Nune suite de Xconvergente vers x. Montrer que
{xn, n ≥0}∪{x}est une partie compacte de X.
Exercice 5. Distance ` a une partie.
Soient (X, d) un espace m´etrique et A⊂X. Pour tout x∈X, on note d(x, A) := infy∈Ad(x, y).
1. Montrer que la fonction x∈X→d(x, A)∈Rest bien d´efinie et 1-lipschitzienne.
2. Soit x∈X. Montrer que d(x, A) = d(x, ¯ A), et que d(x, A) = 0 si et seulement si x∈¯ A.
3. Montrer que tout ferm´e de Xest intersection d´enombrable d’ouverts. Qu’en d´eduit-on par
passage au compl´ementaire ?
4. Soient Aet Bsont deux ferm´es disjoints de X. Montrer qu’il existe deux ouverts disjoints U
et Vde Xcontenant respectivement Aet B.
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Exercice 6.
1. Soit (X, d) un espace m´etrique et Kune partie compacte de X.
(a) Montrer que pour tout x∈X, il existe un point y∈Ktel que d(x, y) = d(x, K).
(b) Supposons que pour chaque x∈X, le point qui r´ealise la distance `a Kest unique ; on note
ce point p(x). Montrer alors que l’application “projection” p:X→Kest continue.
2. Soient (E, k·k) un espace vectoriel norm´e et Fun sous-espace vectoriel de Ede dimension n.
On note dla distance associ´ee `a la norme k·k.
(a) Soit x∈E. Montrer qu’il existe y∈Ftel que d(x, F ) = d(x, y).
(b) Y a-t-il unicit´e ? On pourra par exemple travailler dans R2muni de la norm k·k∞.
Exercice 7. Soit f:X→Yune application entre deux espaces m´etriques.
1. Montrer que si fest continue alors son graphe
Γf:= {(x, y)∈X×Y;y=f(x)}
est ferm´e dans X×Y. La r´eciproque est-elle vraie en g´en´eral ?
2. Montrer r´eciproquement que si Yest compact et Γfest ferm´e, alors fest continue.
Exercice 8.
Une application f:X→Yentre deux espaces m´etriques est dite propre si, pour tout compact K
de Y,f−1(K) est un compact de X.
On travaille maintenant dans Rnnorm´e. Soit f:Rn→Rncontinue.
1. Montrer que fest propre si et seulement si kf(x)k→∞lorsque kxk→∞.
2. On suppose fpropre. Montrer que fest ferm´ee (i.e. l’image directe de tout ensemble ferm´e est
un ferm´e).
Exercice 9. Soit (X, d) un espace m´etrique compact.
1. On suppose Xdiscret. Montrer alors que Xest fini.
2. Montrer que Xcontient une partie au plus d´enombrable dense. On dit que Xest s´eparable.
3. Soit (Oi)i∈Iune famille d’ouverts non vides de X, deux `a deux disjoints. Montrer que Iest au
plus d´enombrable.
Exercice 10.
Soit α= (αn)n≥0une suite de nombres r´eels positifs et Kαle sous-ensemble de `2(N,R) d´efini
par Kα={(un)n≥0∈`2:|un| ≤ αn}. Montrer que Kαest compact si et seulement si αappartient `a
`2(N,R).
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