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Ecole Nouvelle d’Ingénieurs en Communication
Année 2000
IN T R O D U C T I O N
AU
SIGNAL D ETERMINISTE
Exercices
Corrections
Chapitre 1
Yves DELIGNON
Module A21 : Introduction au signal déterministe. Yves Delignon. ENIC
1
1. INTRODUCTION
Exercice 1
Classez les signaux suivants (énergie, support temporel)
1
.
Arect(t/T)
signal à temps continu, transitoire d'amplitude A et de support temporel [-T/2,T/2] donc à
énergie finie
2
.
Asin2πf
t
Signal à temps continu, périodique d'amplitude A de période 1/f donc à puissance moyenne finie
3
.
ramp(t)
Signal à temps continu
Energie et puissance moyenne infinie
4
.
exp -t
tentierrelatif
+∞
+∞
−1
+∞
k = −∞
+∞
k = −∞
k =0
signal à temps discret et énergie finie car E x = ∑ x(t ) = ∑ e − 2 k = ∑ e 2 k + ∑ e −2 k
∑ e − 2 k = ∑ (e
+∞
k =0
−∞
∑e
+∞
2k
k = −1
=
soit E x =
5
.
k =0
+∞
∑e
)
−2 k
− 2 k'
k ' =1
2
1 − e −2
e-at1I[0,+∞[(
t
)
=
2
k = −∞
série géométrique de raison e-2, ∑ e − 2 k =
∑ (e
+∞
k =0
)
− 2 k'
k =0
−1 =
1
1 − e −2
1
1 − e −2
−1
− 1 < +∞ , x(t) est donc un signal à énergie finie.
a>0
+∞
+∞
signal à temps continu et énergie finie car E x = ∫ x(t ) dt = ∫ e − 2 at dt =
2a
−∞
0
6
.
2
1
trian( t )*
∑ δ ( t − kT )
trian( t ) *
∑ δ ( t − kT ) = ∑ trian( t − kT ) signal à temps continu, c'est la périodisation du signal
k∈Z
k∈Z
7
.
k∈Z
triangle à la période T.
trian(k/N),kentierrelatif
Signal à temps discret borné en temps et en amplitude donc à énergie finie.
2
Module A21 : Introduction au signal déterministe. Y. Delignon. ENIC
Exercice 2
Soit x(t)=trian(t).
1
. Soit y(t) lesignal x(t) retardé de t0. Exprimer y(t) en fonction de x(t) et représentez le graphiquement.
x(t)
y(t)=x(t-t0)
t
1
2
. Soit z(t-1
) le signal x(t) dilaté. Exprimez z(t) en fonction de xt
(0t) et représentez le graphiquement.
1
z(t)=x(at), 0<a<1
x(t)
1
-1
-1/a
1/a
t
Exercice 3
Soit x(t)= ε ramp(t).1I [0,T ](t)
a - x est-il un signal à énergie finie, puissance moyenne finie, autre ?
Ex =
+∞
T
−∞
0
2
2 2
∫ x(t ) dt = ∫ ε t dt =
b - Calculer
ε 2T 3
donc x(t) signal à energie finie
3
+∞
∫−∞ x(t)δt( -t0 )dt
+∞
+∞
(x(t)*δ (t− t0 ))
 t− t0 
x(t)*δ 

 α 
α ∈ IR +
+∞
∫−∞ x( t ) δ (t - t0 ) dt = ∫−∞ x( t0 ) δ (t - t0 ) dt = x( t0 )∫−∞ δ (t - t0 ) dt = x( t0 )
x( t ) * δ ( t − t 0 ) =
+∞
+∞
−∞
−∞
∫ x(u )δ (t − t0 − u )du = x(t − t0 ) ∫ δ (t − t0 − u )du = x(t − t0 )
+∞
+∞
 t − t 0  +∞
 t − t0 − u 
 t − t0

 t − t0

x( t ) * δ 
− v dv = α ∫ x(t − t 0 )δ 
− v dv = αx(t − t 0 )
 = ∫ x(u )δ 
du = α ∫ x(αv )δ 
α
 α  −∞


 α

 α

−∞
−∞
par changement de variable v = u/α
c - Calculer et tracer x(t)∗
+∞
∑ δ (t− kT )
k= −∞
x( t ) ∗
+∞
+∞
k = −∞
k = −∞
∑ δ (t − kT ) = ∑ x(t − kT )
x(t)∗
+∞
∑ δ (t− kT )
k= −∞
εT
T
Exercice 4
Soient x,yet z trois signaux.
1. Montrer les propriétés suivantes:
(x∗y)(t)=(y∗x)(t) commutativité de la convolution
t
Module A21 : Introduction au signal déterministe. Yves Delignon. ENIC
+∞
+∞
−∞
−∞
(x * y )( t ) = ∫ x(u )y(t − u )du = ∫ x(t − v )y(v )dv = (y * x )( t ) par changement de variable v=t-u
x∗(y+z))(t)= (x∗y)(t)+(x∗z)(t) distributivité
Porpriété immédiate en tenant compte de la linéarité de l'intégrale
2
. Calculer (x∗δ)(t). Commenter le résultat.
x( t ) * δ ( t ) =
+∞
+∞
∫ x(u )δ (t − u )du = x(t ) ∫ δ (t − u )du = x(t )
−∞
−∞
3.Soit x(t)=rect(t) et
y(t)=et-1IIR+(t).
Calculer (x∗y)(t)
+∞
+∞
+∞
−∞
−∞
−∞
(x * y )( t ) = ∫ x(u )y(t − u )du = ∫ rect (u )e −(t −u )1I IR + (t − u )du = ∫
e −(t −u )1I
]−∞ ,t ]∩ − 1 , 1 
 2 2
+∞
si t < -1/2
(x * y )( t ) = ∫ 0 du = 0
−∞
si –½ ≤ t < ½
(x * y )( t ) = e −t ∫ e u du = e −t (e t − e −1 / 2 ) = 1 − e −t −1 / 2
t
1
2
1
2
−
si ½ ≤t
(x * y )( t ) = e −t ∫ e u du = e −t (e 1 / 2 − e −1 / 2 )
−
1
2
0,7
(x*y)(t)
-0,5 0 0,5
t
Exercice 5
Soit x(t)=rect(t)e2jπf0t,f0 >>1
1. Représenter graphiquement la partie réelle et la partie imaginaire de x(t)
2. Représenter graphiquement le module et l’argument de x(t)
3
. Soit y(t)=x(t)∗δ(t-5). Représenter graphiquement x(t) et y(t).
(u )du
3
4
Module A21 : Introduction au signal déterministe. Y. Delignon. ENIC
Re(x(t))
Im(x(t))
1
.
t
t
2.
(t )
x( tx()t )== rect
rect
(t )
Arg(x(t)) = 2πf0t
t
t
1/2
-1/2
3.y(t)=x(t-5). y(t) est la réplique de x(t) retardée de 5.
x( t ) = rect( t )
Arg(x(t)) = 2πf0t
Arg(y(t)) = 2πf0(t-5)
y( t ) = rect( t − 5 )
5
-1/2 1/2
5
Exercice 6
Soit x(t)= e2iπtf
Calculer
f∈ IR
+∞
∫−∞ x(t)δ (t)dt
+∞
t
+∞
∫−∞
x( t ) δ (t - t0 ) dt et
puis
+∞
+∞
∫−∞ x(t)δt( 0 + t)dt
+∞
∫−∞ x( t ) δ ( t ) dt =∫−∞ x( 0 ) δ ( t ) dt = x( 0 )∫−∞ δ ( t ) dt = x( 0 )
+∞
+∞
+∞
∫−∞ x( t ) δ (t - t0 ) dt = ∫−∞ x( t0 ) δ (t - t0 ) dt = x( t0 )∫−∞ δ (t - t0 ) dt = x( t0 )
+∞
+∞
+∞
∫−∞ x( t ) δ (t0 + t ) dt = ∫−∞ x( −t0 ) δ (t 0 + t ) dt = x( −t0 )∫−∞ δ (t0 + t ) dt = x( −t0 )
En déduire
+ ∞ δ (t
+∞ δ t
( -t0 )+ δ t
( + t0 )
∫−∞
- t 0 ) + δ (t + t 0
2
+ ∞ δ (t - t 0 ) + δ (t + t 0
∫−∞
2
∫−∞
2
x(t)d
t
(
)
x(t ) + x(-t 0 )
1 +∞
+∞
δ (t - t 0 )x( t ) dt + ∫−∞ δ (t + t 0 )x( t ) dt = 0
∫
−∞
2
2
)
e 2 jπf0t + e −2 jπf0t
x( t ) dt =
= cos 2πf 0 t
2
)
x( t ) dt =
Exercice 7
Soient x1(t) = exp(2jπf0)
t,x2(t)=rect(t), f0 >>1.
t
Module A21 : Introduction au signal déterministe. Yves Delignon. ENIC
5
1
. x1(
t
) et x2(t) sont t’ils des signaux à energie finie ou à puissance moyenne finie ? Justifiez votre
réponse.
Puisque x1(t) est périodique de période 1/f0 et d'amplitude finie, x1(t) est un signal à puissance
mpoyenne finie.
x2(t) étant un signal à support temporel borné et d'amplitude bornée, x2(t) est transitoire et d'énergie
finie
2
. Soient y1(t)= x1(t)+x2(
t
) et y2(t)=x1(t).x2(
t
)
y1(
t
) et y2(
t
) sont t’ils des signaux à energie finie ou à puissance moyenne finie ?Justifiez votre réponse
E y1 =
+∞
+∞
+1 / 2
−1 / 2
+∞
−1 / 2
−∞
1/ 2
2
2
2
2
2
∫ y1 (t ) dt = ∫ x1 (t ) + x 2 (t ) dt = ∫ x1 (t ) + x 2 (t ) dt + ∫ x 2 (t ) dt + ∫ x 2 (t ) dt
−∞
−∞
−1 / 2
Puisque
+∞
2
2
∫ x 2 (t ) dt et ∫ x 2 (t ) dt tendent vers l'infini, l'énergie de y1 estinfinie
−∞
1
T → +∞ T
Py1 = lim
1/ 2
+∞
+T / 2
2
2
∫ y1 (t ) dt = Tlim
∫ x1 (t ) + x 2 (t ) dt
→ +∞ T
−∞
1
−T / 2
1 −1 / 2
1 T/2
1
2
2
(
)
Py1 = lim
x
t
dt
+
x 2 (t ) dt +
∫
∫
2
T → +∞ T −T / 2
T 1/ 2
T
T −1
T −1
Py1 = lim
+ lim
+0 =1
T → +∞ 2T
T → +∞ 2T
1/ 2
2
∫ x1 (t ) + x 2 (t ) dt
−1 / 2
y1 est donc un signal à puissance moyenne finie
Comme produit d'une fonction à support temporel borné et d'une fonction périodique, y2(t)aun
support temporel borné. L'amplitude de y2(t) sur [-1/2,1/2] est égale à 1, y2(t) est donc un signal à
énergie finie.
Ecole Nouvelle d’Ingénieurs en Communication
Année 2000
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AU
SIGNAL D ETERMINISTE
Exercices
Corrections
Chapitre 2
Yves DELIGNON
Module A21 : Introduction au signal déterministe. Yves Delignon. ENIC
2. REPRESENTATION VECTORIELLE DES SIGNAUX
Exercice 1
Considérons les quatre signaux de durée T représentés sur la fig. 1.
x1(t)
x2(t)
1
1
T
t
T
t
-1
x3(t)
x4(t)
1
1
T
t
T
-1
t
-1
fig.1.
1.-. Calculer la distance entre les signaux x1(t),x2(t)x3(
t
) et x4(
t
)
d(x1 , x 2 ) =
d(x1 , x3 ) =
d(x1 , x4 ) =
d(x 2 , x 3 ) =
d(x 2 , x 4 ) =
d(x 3 , x 4 ) =
T
T
0
T/2
T
2
∫ x1 (t ) − x3 (t ) dt =
T/2
0
0
T
x1 (t ) − x 4 (t ) dt =
T/4
T
0
0
3T / 4
T
2
∫ x 2 (t )− x3 (t ) dt =
T/2
T
0
0
T/2
T
2
∫ x 2 (t )− x 4 (t ) dt =
T/4
3T / 4
0
0
T/2
T
T/2
T
0
T/4
3T / 4
2
∫ x1 (t ) − x 2 (t ) dt =
∫
2
∫ 2 dt = 2T
2
∫ 2 dt = 2T
2
2
∫ 2 dt +
2
∫ 2 dt = 2T
2
2
∫ 2 dt + ∫ 2 dt = 2 T
2
2
∫ 2 dt + ∫ 2 dt = 2T
2
∫ x3 (t ) − x 4 (t ) dt =
2
2
∫ 2 dt + ∫ 2 dt = 2T
2.-. Les signaux x1(t),x2(t)x3(t)etx4(
t
) sont-ils orthogonaux deux à deux ?
T
x1 , x 2 = ∫ x1 (t )x 2 (t )dt =
T/2
T
0
T
0
T/4
T/2
3T / 4
0
T
0
T/4
T/4
T/2
3T / 4
3T / 4
T/4
T/2
T/2
3T / 4
T/4
T/2
x1 , x4 = ∫ x1 (t )x 4 (t )dt = − ∫ 1dt +
x 2 , x 4 = ∫ x 2 (t )x 4 (t )dt = − ∫ 1dt +
0
T
0
T/4
0
0
x 3 , x 4 = ∫ x3 (t )x4 (t )dt =
T
T/2
T
0
T
0
T/2
T/2
T
0
0
T/2
x 2 , x 3 = ∫ x 2 (t )x 3 (t )dt = − ∫ 1dt −
∫ 1dt − ∫ 1dt = 0
∫ 1dt −
T
x1 , x3 = ∫ x1 (t )x 3 (t )dt = − ∫ 1dt +
∫ 1dt − ∫ 1dt = 0
∫ 1dt +
T
∫ 1dt = 0
3T / 4
T
∫ 1dt − ∫ 1dt + ∫ 1dt − ∫ 1dt = 0
3T / 4
∫ 1dt = 0
∫ 1dt = −T
1
2
Module A21 : Introduction au signal déterministe. Y. Delignon. ENIC
3.-. Commenter les résultats des questions 1 et 2.
Les signaux x2,x3 etx4 sont orthogonaux à x1,
x2 etx3 sont orthogonaux à x4,
x2 etx3 sont en opposition de phase.
Les signaux les plus distants sont ceux qui sont en opposition de phase.
Exercice 2
Etudier l'orthogonalité et l'orthonormalité des fonctions suivantes :
1.-. Ψk (t ) = sin 2 . k .π . t k entier
la période est ici T=1
1
11
∫ cos 2.(k − l ).π .t − cos 2.(k + l ).π .tdt
20
0
1
1
Ψ k (t ),Ψ l (t ) = (sin c 2.(k − l ) − sin c 2.(k + l )) = 0 si k ≠l
Ψ k (t ),Ψ l (t ) =
2
2
Ψ k (t ),Ψ l (t ) = ∫ sin 2.k .π .t sin 2.l .π .tdt =
si k = l
Les Ψk (t ) = sin 2 . k .π . t sont orthogonaux deux à deux pour k ∈ IN et de norme Ψ k (t ) =
t
j.2.k .π .
T
Ψk (t ) = e
2.-.
Le période est T
T / 2 2 j .k .π . t
T
e
t
− 2 j .l .π .
T
T / 2 2 j .(k −l ).π . t
T
e
1
T
Ψ k (t ),Ψ l (t ) =
e j .(k −l ).π . − e − j .(k −l ).π
sin(k − l ).π
=
= sin c(k − l )
2 j (k − l ).π .
(k − l ).π .
Les { Ψk (t ) = e
∫
e
−T / 2
dt =
1
T
t
T
∫
dt
−T / 2
Ψ k (t ),Ψ l (t ) = 1
sik ≠ l
j.2.k .π .
2
k entier relatif
Ψ k (t ),Ψ l (t ) =
Ψ k (t ),Ψ l (t ) = 0
1
sik=l
, k entier relatif} sont orthogonaux deux à deux pour k ∈ IN et de norme unité.
Exercice 3
 t
Soit x(t)= A rect  
et
y(t)= ∑ x(t+ kT )
∆
k∈Z
a - Calculer l'autocorrélation C x(τ). Représenter graphiquement x(t) et C x(τ)
C x (τ ) = x(t ), x(t − τ ) =
+∞
+∞
t −τ
2
2
∫ A rect( ∆ )rect( ∆ )dt = A ∫ 1I  − ∆ ,∆  (t )1I  − ∆ , ∆  (t − τ )dt
 2 2
 2 2
−∞
−∞
t

C x (τ ) = A 2



+∞
∫ 1I  − ∆ ,∆  ∩ − ∆ +τ , ∆ +τ  (t )dt
−∞
 2 2  2

 
2


∆
 ∆ ∆  ∆

,  ∩ − + τ , + τ 
2
2
2
2

 

∆
∆
∆
∆
Si + τ < − ou − + τ > soit τ > ∆ ou τ <- ∆, Ι=∅ Cx(τ) = 0
2
2
2
2
Posons I = −
τ <- ∆
x(t)
x(t-τ)
τ>∆
x(t-τ)
t
τ+∆
-∆
∆
τ-∆
Module A21 : Introduction au signal déterministe. Yves Delignon. ENIC
∆ ∆
∆
 ∆ ∆

Si − ≤ + τ < soit τ ∈ [− ∆ ,0[ , I = − , + τ  et C x (τ ) = A 2
2 2
2
 2 2

∆
+τ
2
2
∫ dt = A (∆ + τ )
−
∆
2
C x(τ)
x(t)
x(t-τ)
3
t
Si −
τ
-∆
-∆ τ+∆∆
∆
2
∆
∆
∆
∆
 ∆
≤ − +τ <
soit τ ∈ [0 , ∆[ , I = − + τ ,  et C x (τ ) = A 2 ∫ dt = A 2 (∆ − τ )
2
2
2
2
2

∆
− +τ
2
C x(τ)
x(t)
x(t-τ)
-∆ τ-∆ ∆

Soit C x (τ ) = A 2 ∆ 1 −

t
∆
τ

τ 
 = A 2 ∆trian 
∆

τ
∆
C x(τ)
A 2∆
∆
-∆
τ
b -Calculer l'autocorrélation de y(t). Représenter graphiquement x(t) et C y(τ )pour 0<∆<T/2 puis T/2<
∆ <T.
C y (τ ) = y (t ), y (t − τ ) =
1
T
C y (τ ) = y (t ), y (t − τ ) =
1
T
T/2
∫ y( t ) y( t − τ )dt
−T / 2
+∞
∫ 1I − T ,T  (t )y( t ) y( t − τ )dt
−∞
 2 2


or 1I[-T/2,T/2](t)y(t)=x(t) donc C y (τ ) =
+∞
et y (t ) = ∑ x( t − kT ) donc C y (τ ) =
k = −∞
soit C y (τ ) =
1
T
1
T
1
T
+∞
∫ x( t ) y( t − τ )dt
−∞
+∞
∫
+∞
x( t )
∑ x( t − τ − kT )dt =
k = −∞
−∞
1
T
+∞ +∞
∑ ∫ x( t )x( t − τ − kT )dt
k = −∞ − ∞
+∞
∑ C x (τ + kT )
k = −∞
0<∆<T/2
C x(τ)
-∆
∆
Τ
τ
4
Module A21 : Introduction au signal déterministe. Y. Delignon. ENIC
T/2< ∆ <T
C x(τ)
∆
-∆
Τ
τ
c - A partir des résultats précédents, calculer l'énergie de x et la puissance moyenne de y.
E x = Cx(0) = A2∆
Py = Cy(0) = A 2∆/Τ
Exercice 4 QROC 96
Soit un émetteur-récepteur dont le signal émis a pour expression :
x(t) = a.e− at .1I[0,+∞ [ (t) avec a réel positif.
1- Montrer que x(t) est un signal à énergie finie.
+∞
+∞
E x = ∫−∞ x( t ) dt = ∫0 a 2 e − 2 at dt =
2
a
fini, donc x(t) signal à énergie finie
2
2- Après émission, ce signal est réfléchi par une cible distante de d de l’émetteur-récepteur.
A la réception, le signal a pour expression y(t)=e-a(t-5)1I[0,+∞[(t-5).
Calculer l’intercorrélation C yx(τ) = <y(t),x(t-τ)> entre les signaux yet x.
Tracer C yx(τ) et commenter.
Remarquons que y(t)=x(t-5)/a, on a alors
C yx (t) = < y(t), x(t - τ ) >=<
Calcul de C x(τ)
C x (τ ) =
+∞
1
1
x(t - 5), x(t - τ ) >= C x (τ − 5 )
a
a
+∞
∫ x( t )x( t − τ )dt = a ∫ e
2
−∞
− a( 2 t −τ )
−∞
+∞
1I [0 ,+∞[ (t )1I [τ ,+∞[ (t )dt = a 2 ∫ e −a( 2t −τ ) 1I [0 ,+∞[∩[τ ,+∞ [(t )dt
−∞
+∞
+∞
Si τ est négatif C x (τ ) = a 2 ∫ e − a( 2t −τ ) 1I [0 ,+∞[ (t )dt = a 2 e aτ ∫ e − 2 at dt =
−∞
0
+∞
+∞
−∞
τ
Si τ positif C x (τ ) = a 2 ∫ e − a( 2 t −τ ) 1I [τ ,+∞[(t )dt = a 2 e aτ ∫ e − 2 at dt =
a aτ
e
2
a − aτ
e
2
a −a τ
1 − a τ −5
soit C x (τ ) = e
et C yx (τ ) = e
2
2
a/2 C x(τ)
C yx(τ)
5
τ
L'intercorrélation du signal émis avec le signal reçu permet de détecter le signal émis et d'estimer le
retard de propagation qui correspond au maximum de l'intercorrélation.
Module A21 : Introduction au signal déterministe. Yves Delignon. ENIC
5
3- Sachant que le signal se propage à la vitesse de 300m.s-1, calculer la distance entre la cible et le système
d’émission réception.
Puisque C x est maximal en 0, C yx est maximal en τ=5 s ce qui est aussi le retard de propagation aller
et retour de l'onde émise. La distance séparant la cible de l'émetteur récepteur est donc de
300*5/2=750 m
Exercice 5 QROC 97
Un signal x(t) est émis vers un récepteur à travers un canal de transmission. Le signal reçu par le récepteur
est y(t)=ax(t-t0)+bx(t-t1)avec 0 < b << a et t1 >t0 >0 ,t0 le retard dû au canal et x(t-t1) un écho du signal
x(t) émis.
1. Le canal est modélisé par un filtre linéaire et invariant dans le temps.
Déterminer la réponse impulsionnelle et la fonction de transfert de ce canal.
y(t)=ax(t-t0)+bx(t-t1)=(aδ(t-t0)+bδ(t-t1))*x(t).
On a donc comme réponse impulsionnelle h(t)=aδ(t-t0)+bδ(t-t1)
et fonction de transfert H(f) = TF[h(t)]=ae-2jπft0+ ae-2jπft1
2. Supposons que le signal x(t) soit une impulsion rectangulaire, x(t)=rect(t)
a. Calculer l’autocorrélation de x(t). Représenter graphiquement Cx(τ)
C x (τ ) = x(t ), x(t − τ ) =
C x (τ ) =
+∞
+∞
−∞
−∞
∫ rect( t )rect( t − τ )dt = ∫ 1I  − 1 , 1  (t )1I  − 1 , 1  (t − τ )dt
 2 2


 2 2


+∞
∫ 1I  − 1 , 1  ∩ − 1 +τ , 1 +τ  (t )dt
−∞
 2 2  2

 
 1 1


2
 1
1

Posons I = − ,  ∩ − + τ , + τ 
2
 2 2  2

Si
1
1
1
1
+ τ < − ou − + τ > soit τ > 1 ou τ <- 1, Ι=∅ Cx(τ) = 0
2
2
2
2
τ <- 1
x(t)
x(t-τ)
τ>1
x(t-τ)
t
τ + 1/2
Si −
- 1/2
1/2
τ - 1/2
1 1
1
 1 1

≤ + τ < soit τ ∈ [− 1,0[ , I = − , + τ  et C x (τ ) =
2 2
2
2
2


x(t-τ)
1
+τ
2
∫ dt = (1 + τ )
−
1
2
C x(τ)
x(t)
t
- 1/2 τ + 1/2 1/2
τ
-1
1
2
1
1
1
1
 1
Si − ≤ − + τ < soit τ ∈ [0 ,1[ , I = − + τ ,  et C x (τ ) = ∫ dt = 1 − τ
2
2
2
2
 2
1
− +τ
2
6
Module A21 : Introduction au signal déterministe. Y. Delignon. ENIC
C x(τ)
x(t)
x(t-τ)
- 1/2 τ - 1/2 1/2
t
τ
1
Soit C x (τ ) = 1 − τ = trian(τ )
1
-1
C x(τ)
1
τ
b. En déduire l’intercorrélation entre x et y,Cxy(τ)=<x(t),y(t-τ)>.
Représenter graphiquement C xy(τ)
.
C xy(τ)=<x(t),y(t-τ)> =<x(t), ax(t-τt0)+bx(t- τ t1)> =a<x(t),x(t-τt0)>+b<x(t),x(t- τ t1)>
C xy(τ) = aCxy(τ+t0) + bCxy(τ+t1)
C x(τ)
1
t
-1
t
-0
-1
1
τ
c. Que proposez-vous pour estimer le retard du canal?
Filtrer le signal réçu par un filtre de réponse impulsionnelle x(-t), ce qui revient à faire une
intercorrélation du signal en sortie de canal par le signal en entrée du canal, puis détecter les pics
d'intercorrélation. Ces pics correspondent en effet aux retards t0 ett1 des trajets multiples du canal.
Exercice 6 (Simon Haykin)
Considérons un ensemble de n fonctions réelles φ1(t), φ2 (t),…, φn (t) orthonormales sur [0,T]:
T
∫0 φ i(t)φ j(t)dt = δ K (i− j) =1 si i=j et 0 autrement
Soit g(t) une fonction quelconque que l’on cherche à approcher sur l’intervalle [0,T] par une combinaison
linéaire des fonctions (φk)k∈{1,…, n}.
On définit l’erreur moyenne quadratique de l’approximation par:
2
n

1 T
g(t)− ∑ gkφ k (t) d
t

∫
0
T 
k =1

1. Le critère d’approximation est la minimisation de l’erreur quadratique moyenne ε. Montrer que les
coefficients gk de la combinaison linéaire vérifient:
ε=
gk = ∫ g(t)φ k (t)d
t k=1, 2, …, n
T
0
Module A21 : Introduction au signal déterministe. Yves Delignon. ENIC
7
D'après le principe d'orthogonalisation, la fonction approchant au mieux g(t) au sens de l'erreur moyenne
quadratique minimale est telle que l'erreur d'approximation est orthogonale aux signaux la composant,
c'estàdire:
g( t ) −
n
∑ g k φ k (t ),φ j (t ) = 0
k =1
n
On a donc g( t ),φ j (t ) = ∑ g k φ k (t ),φ j (t )
k =1
Puisque(φk)k∈{1,…, n} est une base orthonormale, φ k ,φ j = 0 ∀k ≠ j et φ k ,φ k = 1
et g( t ),φ j (t ) = g j soit g j = ∫0 g( t )φ j ( t )dt j=1, 2, …, n
T
2
. Calculer la valeur minimale de l’erreur quadratique moyenne ε. Que se passe t’il si le nombre de
termes n tend vers l’infini.
2
n

1 T
ε = ∫  g(t)− ∑ gkφ k (t) d
t
0
T 
k =1

ε=
n
n
n
1
1
g (t ) − ∑ g k φ k , g (t ) − ∑ g k φ k =  g ( t ), g ( t ) − g (t ), ∑ g k φ k −
T
T
k =1
k =1
k =1
ε=
n
n n
1

 g ( t ), g ( t ) − 2 ∑ g k φ k (t ), g (t ) + ∑ ∑ g k' g k φ k (t ),φ k' (t ) 
T
k =1
k = 1k ' = 1

or
et
n
n
n

k =1
k =1
k =1

∑ g k φ k , g (t ) + ∑ g k φ k , ∑ g k φ k 
φ k (t ),φ k' (t ) = 0 si ∀k ≠ k' et φ k (t ),φ k' (t ) = 1 sik=k'
g ( t ),φ k (t ) = g k
On a donc ε =
1
 g( t )
T 
2
n
− 2 ∑ g k2 +
k =1
n

k =1

∑ g k2  =
1
 g( t )
T 
2
−
n

k =1

∑ g k2 
Lorque n tend vers l'infini, l'espace engendré par les φk coïncide avec l'espace des siganux réels à énergie
finie. L'approximation dévient alors une décomposition d'une signal dans la base des φk et l'erreur tend
vers zéro.
Exercice 7 QROC TTV98
Soient A et B deux émetteurs et C un récepteur.
Pour A, le signal associé au symbole a∈{-1,1} s’écrit xA (t)=a.cA (
t
) avec
t− 1/ 4
t− 3/ 4 

cA (t)=  rect (
)− rect (
)
1/ 2
1/ 2 

Pour B, le signal associé au symbole b∈{-1,1} s’écrit xB(t)=b.cB(
t
) aveccB(t)=rect(t-1/2)
1
. a. Représentez graphiquement xA (
t
) et xB(
t
).
cA (
t
)
cB(
t
)
1
1/2
t
1
t
b. xA (
t
) et xB(
t
) sont-ils des signaux à énergie finie, à puissance moyenne finie?
xA et xB sont des signaux à énergie finie car ils sont bornés en temps et en amplitude, c'est à dire
transitoire
8
Module A21 : Introduction au signal déterministe. Y. Delignon. ENIC
2
. Un récepteur C reçoit le signal x(t) = xA (t)+xB(t) (le retard dû à la transmission est supposé
négligeable).
a
. Calculez le produit scalaire entre x(t) et cA (
t
) et celui entre x(t) et cB(t).
<x(t),cA (t)>
= <xA (t)+xB(t),cA (t)> = <xA (t),cA (t)>+ <xB(t),cA (t)>
= a <cA (t),cA (t)>+ b<cB(t),cA (t)>
+∞
1
+∞
1/ 2
1/ 2
or < c A (t), c A (t) >= ∫−∞ c 2A ( t )dt = ∫0 1dt =1 et < c B (t), c A (t) >= ∫−∞ c A ( t )c B ( t )dt = ∫0 1dt − ∫0 1dt = 0
cA etcB sont orthogonaux et de norme 1.
On obtient <x(t),cA (t)> =a
de même, on a <x(t),cB(t)> = b
b. Que proposez-vous pour retrouver à la réception les symboles a et b à partir de x(t),cA (
t
) et cB(
t
).
Pour retrouver les symboles émis par A ( et B), il suffit de corréler le signal reçu par le code cA (t)
affecter à A ( respectivement cB(t) affecter à B) puisque les signaux sont codés par des codes
normés et orthogonaux. C'est le principe de l'accès multiple à répartition par code utilisé
notamment sur les systèmes de communications avec les mobiles de troisième génération
(UMTS, CDMA2000).
Ecole Nouvelle d’Ingénieurs en Communication
Année 2000
IN T R O D U C T I O N
AU
SIGNAL D ETERMINISTE
Exercices
Corrections
Chapitre 3
Yves DELIGNON
Module A21 : Introduction au signal déterministe. Yves Delignon. ENIC.
3. SERIE DE FOURIER ET TRANSFORMEE DE FOURIER
Exercice 1
Développer en série de Fourier la fonction représentée dans la fig. 1.
x(t)
A
0
2.T
T
3.T
t
-A
fig.1.
x( t ) =
2 A  T  +∞
 t −  ∗ ∑ δ (t − kT )
T 
2  k = −∞
x(t) est périodique de période T. Son développement en série de Fourier s'écrit :
x(t ) =
+∞
∑ X ke
2 jπ
k =∞
kt
T
kt
− 2 jπ
1T
T dt
avec X k = ∫ x( t )e
T0
kt
Xk =
ku
T
− 2 jπ
2 A T  T  − 2 jπ T
2A
T du après changement de variable u = t-T/2
dt = 2 e − jπk ∫ ue
 t − e
2 ∫
2
T 0
T
0
Intégration par parties. Posons f(u) = u et g' (u ) = e
−j
2π
ku
T
−j
2π
ku
e T
on a f'(u) = 1 et g' (u ) = T
− j 2πk
soit
Xk =
2A
T2
e
T


ku 
ku
− 2 jπ

A
T
T T − 2 jπ T
T
e
u +
e
du  soit X k = −
sik ≠ 0et X 0 = 0

∫
jπk
2 jπk 0

  − 2 jπk

0


− jπk 
On a finalement x(t ) =
kt
jA + ∞ 1 2 jπ T
∑ e
π k =∞ k
k ≠0
Xk
Arg(Xk)
π/2
k
−π/2
k
1
2
Module A21 : Introduction au signal déterministe. Yves Delignon. ENIC.
Exercice 2
1.-. Développer en série de Fourier la fonction f(t) =
+∞
∑ 1IkT ,kT + T  (t) .
k= ∞


2 
f(t) étant un signal périodique de période T, décomposer f(t) en série de Fourier revient à calculer
f (t ) =
+∞
∑ Xke
2 jπ
k =∞
kt
T
kt
avec X k =
− 2 jπ
1T
T dt
x( t )e
∫
T0
kt
Xk =
kt
T / 2 − 2 jπ
− 2 jπ t
1T
T dt = 1
T dt
x( t )e
∫
∫ e
T0
T 0
=
1 e − jπk − 1 1 − e − jπk
=
k
T
2 jπk
− 2 jπ
T
si k différent de 0
si k pair Xk = 0
si k impair X k =
=
on a donc f (t ) =
1
jπk
1 T/2
1T 1
∫ dt = T 2 = 2 pour k=0
T 0
kt
+∞
1
+ ∑
2 k =∞
1 2 jπ T −
e
jπk
k impair
Remarquons en posant k = 2k'+1 que cette expression s'écrit aussi
f (t ) =
2 jπ
1 +∞
1
+ ∑
e
2 k' =∞ jπ (2 k' +1)
(2 k' +1)t −
T
+∞
1
.
k + 1)2
k= 0 (2.
2.-. En déduire la somme S = ∑
+∞
Relation de Parseval ∑ X k
2
k = −∞
soit Px =
1
1
+
4 π2
en conséquence
+∞
∑
k' =∞
2
π2
8
1T
1
2
f (t ) dt = = Px
∫
T0
2
+∞
1
(2k' +1)
S=
=
or ∑
k' = ∞
1
(2k' +1)2
= 2S
Module A21 : Introduction au signal déterministe. Yves Delignon. ENIC.
Exercice 3
1.-. Après avoir exprimé un signal périodique sous forme de série de Fourier, calculer sa transformée de
Fourier.
Considérons un signal x(t) périodique de période T. x(t) se décompose en série de Fourier comme suit :
x( t ) =
+∞
∑ X ke
2 jπ
kt
T
avec X k =
k = −∞
1
T
T/2
∫
x( t )e
− 2 jπ
kt
T dt
−T / 2
La transformé de Fourier d'un signal périodique s'écrit :
TF [x( t )] =
+∞

k = −∞

∑ X k TF e
2 jπ
kt
T

+∞
k

 = ∑ X kδ  f − 
T
 k =−∞

2.-. Calculer la série de Fourier d'un signal rectangulaire
y(t)=
+∞
A .1I θ
(t) . θ<T et k entier relatif.

T ,θ +k.T 
 − + k.
∑
k= −∞
y( t ) =
+∞

∑ Yk
kt
2 jπ
e T
k = −∞
+∞
soit y( t ) = ∑
k = −∞
2
2

1
avec Yk =
T
T/2
∫ y( t )e
− 2 jπ
kt
T dt
−T / 2
kt
A θ / 2 − 2 jπ T
Aθ
kθ
=
dt =
sin c
∫ e
T −θ / 2
T
T
kt
Aθ
kθ 2 jπ T
sin c
e
T
T
3.-. En déduire la transformée de Fourier de y(t).
TF [y( t )] =
+∞

k = −∞

∑ Yk TF e
2 jπ
kt
T

+ ∞ Aθ
kθ 
k
= ∑
sin c
δ f − 
T 
T
 k = −∞ T
4.-. Calculer la transformée de Fourier d'une impulsion rectangulaire
yT (t)= A .1I θ θ  (t)
− , 

2 2
t
yT ( t ) = A.1I  θ θ  (t )= Arect  
θ 
− , 
 2 2 
puisque TF[rect(t)]=sinc(f) ona YT ( f ) = Aθ sin c(θf )
5.-.Soit xT(
t
) un signal défini sur la période T. A l’aide du peigne de Dirac, exprimer le signal périodique
x(t) (de période T) construit à partir de xT(
t
).
x( t ) =
+∞
+∞
k = −∞
k = −∞
∑ xT (t − kT ) = xT ( t ) ∗ ∑ δ (t − kT )
6.-. Déduire des questions 1 et 5 une relation entre transformée de Fourier de yT(
t
) et coefficients de la
série de Fourier de y(t).
Yk =
1
T
T/2
∫
−T / 2
y( t )e
− 2 jπ
kT
t
T dt
kt
=
− 2 jπ t
1 +∞
1
T dt =
1I  T T  (t )y( t )e
∫
T −∞  − , 
T
 2 2
ce résultat est vérifié puisque YT ( f ) = Aθ sin c(θf ) et Yk =
+∞
∫
−∞
yT ( t )e
Aθ
kθ
sin c
T
T
− 2 jπ
kt
T dt
=
1
k
YT ( )
T
T
3
4
Module A21 : Introduction au signal déterministe. Yves Delignon. ENIC.
Exercice 4 QROC 95
1
.1I[− ∆ ,∆ [ (t)
2∆
1
. Calculer la transformée de Fourier X(f) de x(t)
Soit le signal x(t) défini par x(t)=
X( f ) =
∆
+∞
− 2 jπft
dt =
∫ x( t )e
−∞
X ( f ) = sin c( 2 ∆f )
2.Soit x p (t) = x(t)∗
a
.
1 ∆ −2 jπft
1  e − 2 jπft 
1
e
dt =

 =
∫
2∆ −∆
2 ∆  − 2 jπf 
2 ∆πf
−∆
 e 2 jπf∆ − e − 2 jπf∆  sin( 2πf∆ )

=
2j
2 ∆πf


+∞
∑ δ (t− k.T ) avec T ≥ 2.∆.
k= −∞
Calculer la transformée de Fourier X p(
f
) de xp(
t
) en fonction de celle de x(t). Tracer xp(
t
) et X p(f).
Commenter.
1
X p (f ) = X (f )
T
+∞

∑ δ f −
k = −∞

k. 1
=
T T
k  1 +∞
k
 k. 
 2 ∆k .  
δ  f − 
∑ X  δ  f −  = ∑ sin c
+∞
k = −∞
T  
T T
k = −∞
 T  
T
xp(
t
)
−∆
-T
1
∆
X p(
f
)
t
T
1/T
1/∆
2/∆
f
La périodisation en temps d'un signal revient à discrétiser le support de son spectre.
b. Que se passe t’il lorsque ∆ → 0.
+∞
∆ →0
Les impulsions rectangulaires xp(t) tendent vers le peigne de Dirac. x p (t )
→ ∑ δ (t − k .T )
k = −∞
De même, la support du lobe principal devient IR, Xp(f) tend aussi vers le peigne de Dirac.
→0
X p (t ) ∆
→
1
T
+∞
k

∑ δ f − 
k = −∞

T
Exercice 5
Un signal x(t) à énergie finie,de bande spectrale limitée à [-B,B] est élevé au carré. Le signal résultant est
noté y(t)(y(t)=x2(t)). Montrer que y(t) est a bande spectrale limitée sur [-2B,2B].
On peut écrire Y ( f ) = X ( f ) ∗ X ( f )
Puisque le support de X(f) est [-B,B], celui de Y(f) est inclus dans le support de
1I [− B ,B ]( f ) ∗ 1I [− B ,B ]( f ) = trian( f / 2 B ) qui est de support [-2B,2B].
y(t) est donc a bande spectrale limitée sur [-2B,2B].
Module A21 : Introduction au signal déterministe. Yves Delignon. ENIC.
Exercice 6 QROC TTV98
Système de transmission duplex (émission de A vers B et de B vers A en même temps) sur la
bande des 800kHz-1000kHz.
Soient xA etxB les signaux à émettre simultanément.
+∞
+∞
t− kT
t− kT
yA (t)= ∑ ak rect (
) yB (t)= ∑ bkrect (
) avec ak∈{-1,1} bk∈{-1,1} ∀k entier relatif
T
T
k= −∞
k = −∞
1. En supposant négligeable TF[rect(t/T)] à partir du troisième lobe (inclus), quelle est la largeur du
spectre de yA (t)etyB(t)?
Sinc(f)
négligeable
négligeable
f
t − kT
 t  +∞
) = rect   ∗ ∑ a k δ ( t − kT )
T
 T  k = −∞
k = −∞
+∞
+∞

t − kT

 t   +∞
Y A ( f ) = ∑ a k rect(
) = TF rect  TF  ∑ a k δ ( t − kT ) = T sin c( Tf ) ∑ a k e −2 jπfkT
T
 T  k = −∞
k = −∞
k = −∞


y A( t ) =
+∞
∑ a k rect(
Le support de YA (f) est donné par :

+∞

supp(YA (f))=supp(Sinc(Tf))∩ supp  ∑ a k e − 2 jπfkT 
 k =−∞

puisque les deux principaux lobes du sinus cardinal sont conservés uniquement, on a
supp(Sinc(Tf))=[-2/T,2/T]

+∞

De plus  ∑ a k e − 2 jπfkT  est un signal périodique, de support IR.
 k =−∞

On a finalement supp(YA (f))= [-2/T,2/T] ∩IR=[-2/T,2/T]
et la largeur du spectre de 4/T.
2.Divisionenfréquence.
La bande de fréquence alloué au système est 800kHz-1000kHz.
a
. Quelles sont les fréquences porteuses fA etfB pour que A émette dans la bande des 800kHz880kHz et B émette dans la bande des 920kHz-1000kHz.
La fréquence porteuse est la fréquence centrale.
Pour A, fA = 840kHz et pour B fB = 960 kHz
b. En tenant compte de la question 1, que vaut T maximisant le débit de A et B?
Donnez les débits binaires de A et de B.
Pour avoir un débit le plus important possible, la durée des impulsions doit être la plus petite
possible et donc sa réprésentation en fréquence aussi large que possible.
5
6
Module A21 : Introduction au signal déterministe. Yves Delignon. ENIC.
Sinc(Tf)
négligeable
négligeable
fA
800kHz
On a donc :
f
880kHz
4
1
= 80.10 3 soit T= 50µs
. Débit binaire =
= 20 kbits / s
T
T
Le duplex en fréquence est notamment utilisé dans la norme de communication mobile GSM.
3. Division temporelle
Toute la bande de fréquence est utilisée pour émettre de A vers B et pour émettre de B vers A. Le
temps est subdivisé en trames de 100 intervalles de temps (IT) de durée T. Les 6 premiers IT sont
réservés à l’entête, les 40 suivants pour l’émission de A vers B, suivent 14 intervalles de temps de
garde puis 40 IT pour l’émission de B vers A.
a
.
Comment émettre yA (t) et yB(
t
) dans la bande de fréquence 800kHz-1000kHz.
Que vaut la fréquence porteuse de A et B?
L'idée de la division temporelle est de transmettre simultanément de A vers B puis de B vers A
etc…. A et B doivent donc être synchronisés, ils utilisent toutes la bande de fréquence sur
l'intervalle de temps où ils émettent.
La fréquence porteuse de A est identique à celle de B. Elle vaut fA =fB = 900kHz.
b. En tenant compte de la question 1, que vaut T pour assurer un débit de transmission maximal.
Donnez le débit binaire de A et B. Comparer le à ceux obtenus en 2.b.
4
= 200.10 3 puisque toute la bande est disponible à l'émission.
T
On a alors des impulsion de durée T = 20 µs
.
Cette fois
Pendant la phase d'émission, le débit vaut 50kbits.s-1
Puisqu'il faut partager ce débit avec l'autre sens de communication et tenir compte des temps de
garde et des enêtes, on a comme débit
0,4*50=20kbits.s-1, résultat identique à celui obtenu par division en fréquence.
Le duplex en temps est notamment utilisé dans la norme de communication sans fil numérique
DECT (Digital Enhanced Cordless Telecommunication).
Entête
6 IT
Transmission A vers B
40 IT
Garde
14 IT
Transmission B vers A
40 IT
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7
Exercice 8 QROC TTV00
1.Soit x( t ) = e 2 jπt rect( t )
a
. x(t) est-il un signal à énergie finie, à puissance moyenne finie.
x(t) est borné en temps supp ( x( t )) = [ −1 / 2 ,1 / 2 ] et en amplitude ( x( t ) < 1 , x(t) est donc un
signal à énergie finie
b. Calculer sa transformée de Fourier et représentez la graphiquement
X(f)=TF[rect(t)](f-1) = sinc(f-1) propriété de la modulation de la transformée de Fourier
X(f) 1
f
1 2
2. Considérons deux stations mobiles émettant les signaux x0 ( t ) = a0 e 2 jπt rect( t ) et
x1 ( t ) = a1 e 4 jπt rect( t ) où a0 eta1 sont les symboles de valeur ±1.
a. Sur deux graphiques, représenter les parties réelles et les parties imaginaires de x0(t) et
x1(t).
1
1
real(x0(t))
real(x1(t))
-1/2
Im(x1(t))
Im(x0(t)
)
-1/2
1/2 t
1/2 t
b. Calculer < x0(t), e4jπt > puis < x1(t), e2jπt > < x0(t), e2jπt > et < x1(t), e4jπt >.
x0 (t ), e 4 jπt =
+∞
∫ x0 (t )e
−4 jπt
−∞
dt = a0
1/ 2
∫e
2 jπt − 4 jπt
e
−1 / 2
dt = a0
1/ 2
∫e
− 2 jπt
dt
−1 / 2
1/ 2
 e − 2 jπt 
e jπ − e − jπ
= a0 
= a0
=0

2 jπ
 − 2 jπ  −1 / 2
x0 (t ), e 2 jπt = a0
x1 (t ), e 4 jπt =
x1 (t ), e 2 jπt =
+∞
∫ x0 (t )e
− 2 jπt
−∞
+∞
∫ x1 (t )e
− 4 jπt
∫ x1 (t )e
− 2 jπt
−∞
+∞
−∞
dt = a0
dt = a1
dt = a1
1/ 2
∫ 1dt = a0
−1 / 2
1/ 2
∫ 1dt = a1
−1 / 2
1/ 2
∫e
−1 / 2
4 j πt − 2 j πt
e
dt = a1
1/ 2
∫e
−1 / 2
2 j πt
dt
8
Module A21 : Introduction au signal déterministe. Yves Delignon. ENIC.
 e 2 jπt
= a1 
 2 jπ
1/ 2

e jπ − e − jπ
= a1
=0

2 jπ
 −1 / 2
Commentaire :
x0(t) est orthogonal à e4jπt et x1(t) est orthogonal à e2jπt.
c. A la station de base, on reçoit y( t ) = a0 e 2 jπt rect( t ) + a1 e 4 jπt rect( t ) . En vous inspirant de
la question précédente, proposez deux opérations permettant de récupérer a0 et a1.
Pour récupérer les symboles émis, on peut effectuer le produit scalaire de y(t) avec e2jπt et
e4jπt. On a en effet :
y (t ), e 2 jπt = x0 (t ), e 2 jπt + x1 (t ), e 2 jπt = a0
y (t ), e 4 jπt = x0 (t ), e 4 jπt + x1 (t ), e 4 jπt = a1
3. En considérant les lobes secondaires du sinus cardinal négligeables, quelle est la bande occupée par
y(t).
X 0(f) X 1f
)
2
f
3
La bande de fréquence est de largeur 2.
Si les symboles avaient été transmis sur des bandes de fréquences disjointes, quelle aurait été la bande
de fréquence totale occupée. Concluer.
Dans ce cas la bande de fréquence est de largeur 4. Le fait d'utiliser des signaux orthogonaux permet
d'économiser de la bande de fréquence.
X 1f
)
X 0(f)
2
3
4
f
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Année 2000
IN T R O D U C T I O N
AU
SIGNAL D ETERMINISTE
Exercices
Corrections
Chapitre 4
Yves DELIGNON
Module A21 : Introduction au signal déterministe. Yves Delignon. ENIC.
4. DENSITE SPECTRALE
Exercice 1
1.-. Calculer la fonction d'autocorrélation du signal représenté dans la figure suivante:
x(t)
θ
0
θ
t
 θ 
t − 
t
x(t) peut aussi s'écrire x( t ) = θrect  2  . Notons z (t ) = θrect  
 θ 
θ 




θ 
 θ 

t − 
 t −τ − 
2
2  = z  t − θ  , z  t − τ − θ  = C (τ )
 ,θrect 
C x (τ ) = x( t ), x( t − τ ) = θrect 
z
 θ 


θ
2 
2









C x (τ ) = z (t ), z (t − τ ) =
+∞
+∞
t −τ
2
2
∫ θ rect( θ )rect( θ )dt = θ ∫ 1I  −θ ,θ  (t )1I −θ ,θ  (t − τ )dt
 2 2
 2 2
−∞
−∞
t

C x (τ ) = θ 2



+∞
∫ 1I −θ ,θ  ∩ −θ +τ ,θ +τ  (t )dt
−∞
 2 2  2

 
 θ θ
2


 θ
θ

Posons I = − ,  ∩ − + τ , + τ 
2
 2 2  2

Si
θ
θ
θ
θ
+ τ < − ou − + τ > soit τ > θ ou τ <- θ, Ι=∅ Cx(τ) = 0
2
2
2
2
τ <- θ
z(t)
z(t-τ)
τ>θ
z(t-τ)
t
-θ
τ+θ
Si −
θ θ
θ
 θ θ

≤ + τ < , I = − , + τ  et C x (τ ) = θ 2
2 2
2
 2 2

z(t-τ)
τ-θ
θ
θ
+τ
2
2
∫ dt = θ (θ + τ )
−
θ
2
C x(τ)
z(t)
t
-θ τ+θ θ
-θ
τ
1
2
Module A21 : Introduction au signal déterministe. Yves Delignon. ENIC.
θ
2
θ
θ
θ
θ
 θ
Si − ≤ − + τ < , I = − + τ ,  et C x (τ ) = θ 2 ∫ dt = θ 2 (θ − τ )
2
2
2
2
 2
θ
− +τ
2
z(t)
-θ
τ-θ θ

Soit C x (τ ) = θ 3  1 −

τ
θ
C x(τ)
z(t-τ)
t
θ
τ

τ 
 = θ 3 trian 
θ 

θ3
C x(τ)
τ
θ
-θ
2.-. Calculer la fonction d'autocorrélation et la densité spectrale de puissance (DSP) d'un signal
rectangulaire périodique.
y( t ) =
∑ x( t − kT )
k∈Z
C y (τ ) = y (t ), y (t − τ ) =
1
T
C y (τ ) = y (t ), y (t − τ ) =
1
T
T/2
∫ y( t ) y( t − τ )dt
−T / 2
+∞
∫ 1I − T ,T  (t )y( t ) y( t − τ )dt
−∞
 2 2


or 1I[-T/2,T/2](t)y(t)=x(t) donc C y (τ ) =
+∞
et y (t ) = ∑ x( t − kT ) donc C y (τ ) =
k = −∞
1
soit C y (τ ) =
T
1
T
1
T
+∞
∫ x( t ) y( t − τ )dt
−∞
+∞
+∞
1
+∞ +∞
∫ x( t ) ∑ x( t − τ − kT )dt = T ∑ ∫ x( t )x( t − τ − kT )dt
−∞
k = −∞
k = −∞ − ∞
+∞
1 +∞
∑ C x (τ + kT ) ou encore C y (τ ) = ∑ C x (τ − kT )
T k = −∞
k = −∞
La corrélation d'un signal périodique est aussi périodique de même période.
Densité spectrale de puissance
[
]
+∞
+∞


 +∞

k

S y ( f ) = TF C y (τ ) = TF C x (τ )∗ ∑ δ (t − kT ) = S x ( f )TF  ∑ δ (t − kT ) = S x ( f ) ∑ δ  f − 
T
k = −∞
k = −∞ 


k = −∞

+∞
+∞
k
k

k 
S y ( f ) = ∑ S x ( f )δ  f −  = ∑ S x  δ  f − 
T
T
T

 k = −∞   

k = −∞
La densité spectrale de puissance d'un signal périodique a un support discret.
3.-. Calculer les fonctions de corrélation, les densité spectrale de puissance de
a.-. cos(2.π.
f0.
t
) b.-. sin(2.π.
f0.
t
)
a.-. x(t)=cos(2.π.
f0.t) périodique de période T = 1/f0
Module A21 : Introduction au signal déterministe. Yves Delignon. ENIC.
1 T/2
∫ cos(2πf 0 t)cos(2πf 0 (t - τ ))dt
T -T/2
1
cos(2πf 0 t)cos(2πf 0 (t - τ )) = (cos(2πf 0 (2t - τ )) + cos(2πf 0τ ))
2
T/2
T/2

1
1  T/2
 ∫ cos(2πf 0 (2t - τ ))dt + ∫ cos(2πf 0τ )dt 
Cx (τ ) =
cos(2πf 0 (2t - τ )) + cos(2πf 0τ )dt =
∫


2T -T/2
2T  -T/2
-T/2

C x ( τ ) = x(t), x(t - τ ) =
T/2
T/2
-T/2
-T/2
∫ cos(2πf 0 (2t - τ ))dt = 0 et ∫ cos(2πf 0τ )dt = Tcos(2πf 0τ )
1
cos(2πf 0τ )
2
on a donc C x ( τ ) = x(t), x(t - τ ) =
b.-. y(t)=sin(2.π.
f0.
t
)
Remarquons que y(t)=sin(2.π.
f0.
t
) =cos(2.π.
f0.(t-T0/4))
C y ( τ ) = y(t), y(t - τ ) = x(t -
T0
T
1
), x(t - 0 - τ ) = C x ( τ ) = cos(2πf 0τ )
4
4
2
La corrélation est invariante par translation temporelle.
Exercice 2 QROC 96
Soit x(t) = a.e− at .1I[0,+∞ [ (t) avec a réel positif
1- Montrer que x(t) est un signal à énergie finie.
Ex =
+∞
∫
−∞
+∞
x( t ) dt = a 2 ∫ e −2 at dt =
2
0
1
fini donc x(t) signal à énergie finie.
2a
2- Calculer la fonction d'autocorrélation de x(t)
C x (τ ) =
+∞
+∞
+∞
2
− a( 2 t −τ )
1I [0 ,+∞[ (t )1I [τ ,+∞[ (t )dt = a 2 ∫ e −a( 2t −τ ) 1I [0 ,+∞[∩[τ ,+∞ [(t )dt
∫ x( t )x( t − τ )dt = a ∫ e
−∞
−∞
−∞
+∞
+∞
Si τ est négatif C x (τ ) = a 2 ∫ e − a( 2t −τ ) 1I [0 ,+∞[ (t )dt = a 2 e aτ ∫ e − 2 at dt = e aτ
2
−∞
0
+∞
+∞
−∞
τ
Si τ positif C x (τ ) = a 2 ∫ e − a( 2 t −τ ) 1I [τ ,+∞[(t )dt = a 2 e aτ ∫ e − 2 at dt =
a
a − aτ
e
2
a
soit C x (τ ) = e − a τ
2
3- Calculer la densité spectrale d'énergie de x(t).
Sx(f) = TF[Cx(τ)]=X(f)2
X (f ) =
1
a
=
(propriété de la dilatation)
2. j .π . f
a + 2. j .π . f
1+
a
soit le résultat S x ( f ) =
2a 2
a 2 + 4.π 2 . f
2
4- Que se passe-t'il lorsque a tend vers l'infini ?
Lorsque a tend vers l'infini X(f) tend vers 1 et x(t) vers l'impulsion de Dirac.
L'énergie est est uniformément répartie dans le domaine des fréquences.
3
4
Module A21 : Introduction au signal déterministe. Yves Delignon. ENIC.
Module A21 : Introduction au signal déterministe. Yves Delignon. ENIC.
Exercice 3 QROC 97
Soit x(t)=cos(2πf0t+θ) avec θ réelpositif
1- Montrer que x(t) est un signal à puissance moyenne finie.
x(t) est un signal dont l'amplitude est bornée et périodique de période T = 1/f0
C'est en conséquence un signal à puissance moyenne finie.
2- Calculer la fonction d'autocorrélation de x(t).
1 T/2
∫ cos(2πf 0 t + θ )cos(2πf 0 (t - τ ) + θ )dt
T -T/2
1
cos(2πf 0 t + θ )cos(2πf 0 (t - τ ) + θ ) = (cos(2πf 0 (2t - τ ) + 2θ ) + cos(2πf 0τ ))
2
T/2

1 T/2
1  T/2
 ∫ cos(2πf 0 (2t - τ ) + 2θ )dt + ∫ cos(2πf 0τ )dt 
Cx (τ ) =
cos(2πf 0 (2t - τ ) + 2θ ) + cos(2πf 0τ )dt =
∫

2T -T/2
2T  -T/2
-T/2

C x ( τ ) = x(t), x(t - τ ) =
T/2
T/2
-T/2
-T/2
∫ cos(2πf 0 (2t - τ ) + 2θ )dt = 0 et ∫ cos(2πf 0τ )dt = Tcos(2πf 0τ )
on a donc C x ( τ ) = x(t), x(t - τ ) =
1
cos(2πf 0τ )
2
3- Calculer la densité spectrale de puissance de x(t). commenter.
S x ( f ) = TF [C x ( τ )] =
δ ( f − f 0 )+ δ ( f + f 0 )
1
1
TF [cos(2πf 0τ )] = TF e 2jπf0τ + e - 2jπf0τ =
2
4
4
[
]
La puissance de cos(2πf0t+θ)est localisée en f0 et–f0. Ce résultat est naturel puisque la fonction
cos(2πf0t+θ)est périodique de période T=1/f0.
4- Soit y(t) = x(t-T0/2) avec T0 = 1/f0
Que valent la fonction d’autocorrélation et la densité spectrale de puissance de y(t) ?
C y ( τ ) = y(t), y(t - τ ) = x(t -
T0
T
), x(t - 0 - τ ) = C y ( τ )
2
2
On retrouve en conséquence la même densité spectrale de puissance pour y. Décaler un signal dans le
temps ne modifie par la répartition de la puissance dans le domaine des fréquences.
5
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SIGNAL D ETERMINISTE
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Corrections
Chapitre 5
Yves DELIGNON
M odule A21 : Introduction au signal déterministe. Yves Delignon. ENIC.
5. FILTRAGE
Exercice 1 QROC 98
Soit x(t)=e-at 1I[0,+∞[(t),a>0
1 - x(t) est-il un signal à énergie finie, à puissance moyenne finie?
Ex =
+∞
+∞
1
2
2
− 2 at
∫ x( t ) dt = a ∫ e dt = 2a fini donc x(t) signal à énergie finie.
−∞
0
2 - Calculer la densité spectrale (d’énergie ou de puissance suivant le résultat de la question 1) de x(t).
Sx(f) = TF[Cx(τ)]=X(f)2
X (f ) =
1
a
=
(propriété de la dilatation)
2. j .π . f
a + 2. j .π . f
1+
a
soit le résultat S x ( f ) =
2a 2
a 2 + 4.π 2 . f
2
3 - On veut générer le signal y(t) =
+∞
∫ T 1I[0,T ] (u)x(t− u)du
1
−∞
Calculer la réponse impulsionnelle et la fonction de transfert du filtre générant y(t) à partir de x(t).
y(t) s'écrit en fonction de la réponse impulsionnelle h(t) du filtre y(t) = (x*h)(t).
y (t ) =
+∞
∫ 1I [0 ,T ](u )x(t − u )du = T 1I [0 ,T ](t )* x( t ) = h( t ) * x( t )
−∞ T
1
1
Par identification, on a h( t ) =
1
1I [0 ,T ](t )
T
Le filtre est-il causal?
Puisque h(t) est nul pour t < 0, le filtre est causal ( l'effet ne précède pas la cause)
Quelle est la nature de ce filtre (passe bande, passe tout, passe-bas , passe - haut ) ?
La nature spectrale du filtre dépend de la fonction de transfert

T

t −

1
1
2
H ( f ) = TF [ h( t )] = TF 1I [0 ,T ](t ) = TF rect 
 T
T
T




[
]


 = e − jπfT sin c(Tf )



Les fréquences hautes sont aisni attenuées par le filtre, c'est un passe-bas.
4- Calculer la densité spectrale d’énergie de y(t).
Sx(f) = TF[Cx(τ)]=X(f)2
X (f ) =
1
a
=
(propriété de la dilatation)
2. j .π . f
a + 2. j .π . f
1+
a
soit le résultat S x ( f ) =
2a 2
a 2 + 4.π 2 . f
2
1
2
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Exercice 2 QROC 96TTV
Soit x et y l'entrée et la sortie d'un filtre linéaire de reponse impulsionnelle h
avec x( t ) =
+∞
1
1
. I[0 ,τ ] ( t ) ,h( t ) = ∑ δ ( t − k . T ) avec T ≥ τ et y(t)=(h*x)(t)
τ
k =−∞
1.-. Calculer y(t). Représenter x(t),y(t)eth(t).
y( t ) = (x ∗ h )(t ) =
+∞
+∞ 1
1
1 +∞
1I [0 ,τ ](t )∗ ∑ δ (t − kT ) = ∑ 1I [0 ,τ ](t )∗ δ (t − kT ) =
∑ 1I [0 ,τ ](t − kT )
τ
τ k = −∞
k = −∞
k = −∞ τ
1 h(t) x(t)
1/τ
-T
0
y(t)
τ
T
t
2.-. Calculer les spectres X(f) et H(f)etY(f). Représenter X(f),H(f)etY(f).

τ 

 t −  1
1 
2  = e − jπfτ TF rect  t  = 1 e − jπfτ τ sin c( τf ) = e − jπfτ sin c( τf )
X ( f ) = TF rect 


 τ  τ
τ
 τ  τ







 +∞
 1 +∞ 
k
H ( f ) = TF  ∑ δ (t − k .T ) =
∑ δ f − 
T
k = −∞
 T k = −∞ 
+∞


1 +∞ 
k  1 +∞  k  
k
Y ( f ) = X ( f )H ( f ) = X ( f )TF  ∑ δ (t − k .T ) = X ( f ) ∑ δ  f −  =
∑ X  δ  f − 
T k = −∞ 
T  T k = −∞  T  
T
 k = −∞

X(f)
arg(X(f))
1
f
1/τ
f
H(f)
1/T
1/Τ
f
M odule A21 : Introduction au signal déterministe. Yves Delignon. ENIC.
3
Y(f)
1
1/Τ
f
1/τ
3.-. Quel est l'effet de la convolution temporelle de x(t) par le peigne de Dirac sur le spectre Y(f).
Dans le temps, la convolution d'un signal x(t) par un peigne de Dirac a pour effet de le périodiser. Dans le
domaine des fréquences, le spectre X(f) est discrétisé.
4.-. Que se passe t'il lorsque τ → 0 et lorsque τ = T.
lorsque τ → 0, X(f) tend vers la constante 1 et Y(f) vers le peigne de Dirac dans le domaine des
fréquences.
Dans le domaine temporel, x(t) tend vers l'impulsion de Dirac et y(t) converge
vers le peigne de Dirac.
lorsque τ = T, y(t) converge vers la constante 1 et Y(f) tend vers l'impulsion de Dirac δ(f).
Exercice 3 QROC97
Considérons trois signaux x1(t),x2(
t
) et x3(
t
) dont les spectres sont réels et de support
] -B/2;B/2[.
X 1(
f
)
X 2(
f
)
B/2 f
-B/2
X 3(
f
)
B/2 f
-B/2
B/2
-B/2
Soit x(t) = x1(t).ej2πBt +x2(t)+x3(t).e-j2πBt
1 - Calculer le spectre X(f) et représenter le graphiquement.
X(f) = X1f( −Β)+ X2(f)+ X3f+Β)
(
Propriété de la modulation
X(f)
-3B/2 -B -B/2
B/2 B
3B/2
+∞
2-Soit y(t)=x(t). T e
∑ δ (t− k.T e ) l’échantillonnage de x(t)
k = −∞
a
.
Calculer le spectre de Y(f), le représenter graphiquement.
Y( f ) = X ( f ) ∗
+∞
∑ δ( f −
k = −∞
+∞
k
k
) = ∑ X( f −
)
Te
Te
k = −∞
f
f
4
Module A21 : Introduction au signal déterministe. Yves Delignon. ENIC.
Y(f)
-3B/2 -B -B/2
b
.
B/2 B 3B/2 1/Te-3B/2
1/Te
f
Quelle condition doit satisfaire Te pour que l’on puisse restituer x(t) à partir de y(t).
Il ne doit pas y avoir recouvrement entre répétitions des spectres, c'est à dire
1/Te-3B/2 > 3B/2 d'où Te < 1/3B (Théorème de Shannon)
c. Expliquer comment restituer x2(
t
) à partir de y(t).
Pour isoler le specte X2(f), on effectue un filtrage passe-bas de fréquence de coupure B/2, on a
alors:
x̂ 2 (t ) = TF −1 [Y ( f ).1I [ − B / 2 ,B / 2 ] ( f )] siTe < 1/3B alors x̂ 2 (t ) = x2 (t )
Exercice 4 QROC 97
1
 t
Soit x(t) = trian   avec a réel positif
a
 a
1
. Calculer la transformée de Fourier de x(t) sachant que TF[trian(t)] =sinc2(
f
)
1

 t  1
 t  1
X ( f ) = TF  trian  = TF trian  = a sin c 2 (af ) = sin c 2 (af ) (propriété de l'homothétie)
 a  a
 a  a
a

2. a. Calculer la transformée de Fourier des signaux suivants:
+∞
y1(t)=x(t)* δ(t-a/2)
y2(t)=x(t)*
∑ δ (t− kT )
+∞
y3(t)=x(t).T.
k= −∞
∑ δ (t− kT )
k= −∞
Y1 (f) = X(f) . TF [δ (t - a/2)] = e − jπfa X ( f )
 +∞

1 +∞
k
1 +∞
k
k
Y2 (f) = X(f) . TF  ∑ δ (t - kT) = X(f) . ∑ δ (f - ) =
∑ X( )δ (f - )
T
T
T
T
T
k = −∞
k = −∞
 k = −∞

+∞
 +∞

k
1 +∞
k
1
Y3 (f) = X(f) ∗ T.TF  ∑ δ (t - kT) = X(f) ∗ ∑ δ (f - ) =
∑ X(f) ∗ δ (f - ) =
T
T k = −∞
T
T
k = −∞
k = −∞

+∞
k
T
∑ X(f - )
k = −∞
b. Représenter graphiquement et interprêter les résultats dans le domaine temporel et dans le domaine
spectral.
y1(t)
x(t)
-a
1
Y1 ( f ) = sin c 2 (af )
a/2 a
t
Arg( Y1 ( f )) = −πaf
f
1/a
f
M odule A21 : Introduction au signal déterministe. Yves Delignon. ENIC.
5
y2(t)
1/a
-a
t
T
a
Y 2(
f
)
1/T
f
1/T 1/a
T/a
-a
y3(t)
1/T
a
t
Y3 ( f )
1
1/a
f
1/T
3
. Que deviennent x(t),y1(
t
) et y2(
t
) ainsi que leurs spectres respectifs lorsque a tend vers 0?
x(t) et y1(
t
) tendent vers l'impulsion de Dirac alors que y2(
t
) tend vers le peigne de Dirac lorsque a tend
vers zéro.
X(f) et Y 1(
f
) tendent vers la constante 1 et Y 2(
f
) vers le peigne de Dirac en fréquence.
4. Quelle opération proposez-vous pour retrouver x(t) à partir de y3(
t
) (on supposera a quelconque dans
cette question)?
A l'aide d'un filtre passe bas de fréquence de coupure 1/2T, on récupère une partie du spectre de x(t).
Puisque le support de X(f) est infini, ce filtre passe-bas permet seulement d'approcher x(t), approximation
qui sera d'autant meilleurs que T sera petit.
6
Module A21 : Introduction au signal déterministe. Yves Delignon. ENIC.
Exercice 5 QROC 99
Soit x(t)=sinc(t).x(t) est modulé sur la fréquence porteuse f0 pour être émis sur un canal de propagation.
Soit y(t) le signal émis y(t)=x(t).cos2πf0t.
x(t)
y(t)
y(t)
×
z(t)
x(t)
×
CANAL
cos(2πf0)
t
Filtre
cos(2πf0)
t
1
. Calculer les spectres de x(t) et y(t). Représenter-les sur un graphique..
X(f)=TF[x(t)] = TF[sinc(t)]=rect(f)

Y(f) = TF[y(t)] = Y ( f ) = TF  x( t ).

Y( f ) =
[
]
[
e 2 jπf0t + e −2 jπf0t  1
1
2 jπf t
− 2 jπf 0 t
 = TF x( t ).e 0 + TF x( t ).e
2
2
 2
]
1
(X ( f − f 0 ) + X ( f + f 0 )) = 1 (rect ( f − f 0 ) + rect ( f + f 0 ))
2
2
X(f)
Y(f)
1/2
1/2
-1/2
f-0
f
f0
2
. x(t) et y(t) sont t’ils à énergie finie, à puissance moyenne finie?
+∞
2
+∞
2
D'après l'identité de Parseval, E x = ∫ x( t ) dt = ∫ X ( f ) df
−∞
+∞
−∞
2
On a donc E x = ∫ rect( f ) df = 1 fini, x(t) est donc un signal à énergie finie.
−∞
De même, Y(f) est borné en fréquence et en amplitude, y(t) est donc un signal à énergie finie.
3
. Après transmission, on reçoit y(t). On calcule alors z(t)=y(t).cos2πf0t. Calculer le spectre de z(t) puis
représenter le sur un graphique.
[
]
[
]

e 2 jπf0t + e −2 jπf0t  1
1
2 jπf t
− 2 jπf 0 t
Z ( f ) = TF  y( t ).
 = TFy y( t ).e 0 + TF y( t ).e
2
2
2


1
1
1
1
Z ( f ) = (Y ( f − f 0 ) + Y ( f + f 0 )) = rect ( f − 2 f 0 ) + rect ( f + 2 f 0 ) + rect ( f )
2
4
4
2
H(f)
Z(f)
1/2
-2f0
f-0
-1/2
2
Y(f)
1/2
fc
f0
2
f0
4
. Proposer un filtre pour récupérer x(t) à partir de z(t) (spécifier la réponse impulsionnelle ou la
fonction de transfert)
f
M odule A21 : Introduction au signal déterministe. Yves Delignon. ENIC.
Pour retrouver x(t0) à partir de z(t), il suffit d'appliquer un filtre passe -bas de fréquence de coupure
comprise entre ½ et 2f0-1/2 et de gain 2. Voir H(f) sur graphe.
Exercice 6 (Simon Haykin)
Calculer la fonction de transfert du système linéaire représenté par le diagramme suivant:
t
x(t)
+
∫
Σ
-
Retard T
t
+
−∞
Retard T
∫
Σ
y(t)
−∞
-
Considérons tout d'abord le garphe suivant et injectons en entrée une impulsion de Dirac.
δ(
t
)
t
+
-
Retard T
h1 (t ) =
sit<0
∫
Σ
h1(
t
)
−∞
t
∫ δ (u )− δ (u − T )du
−∞
h1(t) = 0
h1 (t ) =
si0≤ t ≤ T
t
∫ δ (u )du = 1
−∞
t
t
−∞
−∞
sit<0 h1 (t ) = ∫ δ (u )du − ∫ δ (u − T )du = 1 − 1 = 0
on a donc h1 (t ) = 1I [0 ,T ](t )
Considérons maintenant le graphe en entier. Ce système est la mise en série de deux filtres linéaires et
invariants dans le temps de réponse impulsionnelle h1(
t
).
On a alors comme réponse impulsionnelle du système :
h(t ) = 1I [0 ,T ](t )∗ 1I [0 ,T ](t ) =
+∞
+∞
+∞
−∞
−∞
−∞
∫ 1I [0 ,T ](u )1I [0 ,T ](t − u )du = ∫ 1I [0 ,T ](u )1I [t −T ,t ](u )du = ∫ 1I [0 ,T ]∩[t −T ,t ](u )du
Si t <0 ou t > 2T
[0,T]∩[t-T,t]=∅ et h(t) = 0
Sit∈[0,T]
[0,T]
∩[t-T,t]= [0,t] et h(t) = t
Sit∈[T,2T]
[0,T]∩[t-T,t]= [t-T,T] et h(t) = 2T-t
t −T 

 T 
d'où h(t ) = Ttrian
Exercice 7 (Simon Haykin)
Soit x(t) un signal que l’on cherche à intégrer en continu sur un intervalle de longueur T.
y(t)= ∫
t
t− T
x(τ )dτ
Montrer que y(t) est la réponse à x(t) d’un filtre de fonction de transfert H(f)=sinc(fT)exp(-jπfT).
y( t ) = ∫−∞ x(τ )1I [t ,t −T ](τ )dτ =
+∞
+∞
∫−∞ x(τ )1I [0 ,T ](t − τ )dτ = (x ∗ h )(t )
7
8
Module A21 : Introduction au signal déterministe. Yves Delignon. ENIC.
T

t −
Par identification, on a h(t ) = 1I [0 ,T ](t ) = rect  2
 T








Sachant que TF[rect(t)]= sinc(f), et à l'aide des propriétés de la translation et de la dilatation, on montre
que H(f)=sinc(fT)exp(-jπfT)
Ecole Nouvelle d’Ingénieurs en Communication
Année 2000
IN T R O D U C T I O N
AU
SIGNAL D ETERMINISTE
Exercices
Corrections
Chapitre 6
Yves DELIGNON
Module A21 : Introduction au signal déterministe. Yves Delignon. ENIC.
1
6. ECHANTILLONNAGE
Exercice 1
I. E CHANTILLONNAGE D'UN SIGNAL SINUSOÏDAL
Un commutateur analogique découpe un signal e(t) sinusoïdal défini par e(t) = E.cos(2.π.
fà.
t
) au rythme d'un
signal d'horloge h(t) de fréquencefe et de rapport cyclique α.=τ/Te.
e*(t)
e(t)
h(t)
H or
loge
Te
t
Il en résulte un signal e*(t) appelé signal échantillonné.
I.1. Etude dans le domaine temporel.
On donne fe = 10kHz
I.1.1. Représenter, e(t) et e*(t) pour quatre fréquence de e(t) : f0 = 3,3 kHz ;f0 = 5kHz ;f0 = 6,6kHz
etf0 = 10kHz.
f0 = 3,3 kHz
e(t)
e*(t)
t
f0 = 5kHz
e(t)
e*(t)
t
f0 = 6,6kHz
e(t)
e*(t)
t
2
Module A21 : Introduction au signal déterministe. Yves Delignon. ENIC.
f0 = 10kHz
e(t)
e*(t)
t
I.1.2. Déduire de ces représentations graphiques la fréquence apparente fa du signal échantillonné
et son expression en fonction de f0 dans les quatre cas. Conclure.
f0
f0
f0
f0
= 3,3 kHz
= 5kHz
= 6,6kHz
= 10kHz
fa=3,3 kHz
fa=5 kHz
fa=3,3 kHz
fa=0 kHz
fa =f0 si f0 <fe/2
fa =fe-f0 si f0 >fe/2
I.2. Etude dans le domaine des fréquences
L’échantillonnage est obtenu en multipliant e(t) par le signal m(t) suivant:
m (t)
1
α.Te
Te
t
I.2.1. Développer en série de Fourier m(t).
m(t) étant périodique de période Te, il peut se décomposer en série de Fourier
m(t ) =
+∞
∑ mk e
2 jπ
kt
Te
k = −∞
1
avec m k =
Te
Te / 2
∫ m( t )e
− 2 jπ
kt
Te
dt
−Te / 2
On montre que m k = α sin c( αk )
+∞
Le développement en série de Fourier s'écrit alors m(t ) = α ∑ sin c( kα )e
2 jπ
kt
Te
k = −∞
Puisque m(t) est une fonction paire
kt
kt

2 jπ
2 jπ
1
+∞

m(t ) = α  1 + ∑ sin c( kα )e Te + ∑ sin c( kα )e Te

k = −∞
k =1

1
on a ∑ sin c( kα )e
k = −∞
2 jπ
kt
Te
=
+∞
∑ sin c( kα )e
− 2 jπ




kt
Te
k =1
kt

 2 jπ kt
2 jπ
+∞


Te
Te
et m(t ) = α  1 + ∑ sin c( kα ) e
+e

k =1




+∞


kt  


  = α  1 + 2 ∑ sin c( kα ) cos 2π T  
k =1

e 



I.2.2. En déduire le spectre de e*(t). (On le représentera en se limitant aux trois premières
composantes).
On a e*(t) = Ecos(2πf0t)m(t)
Module A21 : Introduction au signal déterministe. Yves Delignon. ENIC.
3
+∞


e * (t ) = Eα  cos(2πf 0 t ) + 2 ∑ sin c( kα ) cos(2πkf e t )cos(2πf 0 t )
k =1


+∞


e * (t ) = Eα  cos(2πf 0 t ) + ∑ sin c( kα )(cos(2π ( f 0 + kf e )t ) + cos(2π ( f 0 − kf e )t ))
k =1


spectre de e*(t)
Eα
Eαsinc(α)
f0
fe-f0 fe fe +f0
f
II. R ESTITUTION D'UN SIGNAL ECHANTILLONNE.
II.1. On souhaite restituer e(t) par filtrage passe-bas de e*(t). Si la fréquence d'échantillonnage feest
fixée, quelle est la valeur maximale admissible de la fréquence f0 de e(t)?
Pour restituer par filtrage passe-bas les raies en en f0 et–f0,ilfautquef0 <fef0,soitf0 <fe/2
II.2. Quelle est alors la fréquence de coupure du filtre passe bas idéal qui permet de restituer une
image de e(t)?
Pour restituer uniquement les raies en f0 et –f0,on applique un filtre passe bas de fréquence de
coupure comprise entre f0 etfef0. La restitution de e(t) est donc possible si et seulement si
f0 <fef0 soitfe>2f0.
II.3. Montrer que l'on retrouve les résultats de la question I.1.2.
Si la condition f0 <fe/2 =5kHz est vérifiée, on récupère un signal de fréquence fa =f0
Si ce n'est pas le cas, on récupère la raie fa =fe-f0
Ainsi on retrouve les résultats de la question I.1.2
f0
f0
f0
f0
= 3,3 kHz
= 5kHz
= 6,6kHz
= 10kHz
fa=3,3 kHz
fa=5 kHz
fa=3,3 kHz
fa=0 kHz
III. E CHANTILLONNAGE D'UN SIGNAL PERIODIQUE NON SINUSOÏDAL
Le signal e(t) découpé par le commutateur analogique est maintenant de la forme e(t) = Ecos2πf0t avecf0
= 1kHz
III.1. Quelle est la fréquencef1 de e(t)?
La période de e(t) est moitié plus petite que celle de cos2πf0t,c'estàdire T1 = T0/2. On a donc f1=2f0=2kHz
III.2. A partir de quel rang n l'amplitude des harmoniques est-elle au moins 100 fois plus faible
que celle du fondamental?
Calcul des harmoniques
4
Module A21 : Introduction au signal déterministe. Yves Delignon. ENIC.
e(t) = Ecos2πf0t
Xk =
1
T1
T1 / 2
∫
e( t ) =
+∞
∑ Xke
2 jπf 1 kt
k = −∞
+∞
= X 0 + 2 ∑ X k cos(2πf 1kt ) car e(t) est paire
k =1
T1 / 2

f 1 E  T1 / 2 − 2 jπ (kf1 − f0 )t
e
dt
+
e − 2 jπ (kf1 + f0 )t dt 
∫
∫


2  −T1 / 2
−T1 / 2

e( t )e −2 jπf1kt dt =
−T1 / 2
T /2
 e − 2 jπf0 (2 k −1)t  1
e jπf0 (2 k −1)T1 + e − jπf0 (2 k −1)T1
− 2 jπf 0 (2 k −1)t
e
dt
=
=


∫
2 jπf 0 (2 k − 1)
−T1 / 2
 − 2 jπf 0 (2 k − 1) −T1 / 2
T1 / 2
T1 / 2
∫ e
− 2 jπf 0 (2 k −1)t
j
dt =
−T1 / 2
e
π
(2 k −1)
2
π
− j (2 k −1)
(− 1)k
−e 2
− 2 j (− 1)k
=
=
2 jπf 0 (2 k − 1)
2 jπf 0 (2 k − 1) πf 0 (1 − 2 k )
T1 / 2
De même ∫ e − 2 jπ (kf1 + f0 )t dt =
j
e
−T1 / 2
Xk =
π
(2 k +1)
2
π
− j (2 k +1 )
−e 2
(− 1)k
=
2 jπf 0 (2 k + 1)
πf 0 (1 + 2 k )
Ef 1  (− 1)k
(− 1)k  = 2 E (− 1)k
+
2  πf 0 (1 − 2 k ) πf 0 (1 + 2 k ) π 1 − 4 k 2
(
+∞
soit e( t ) = ∑ X k e 2 jπf 1 kt =
k = −∞
+ ∞ (− 1)k

2 E 
1+ 2 ∑
cos(2πf 1kt )
2


π 
k =1 1 − 4 k

On cherche n tel que X n ≤
or X 1 =
)
(
)
X1
100
4E
(− 1)k ≤ 1 soit 100 ≤ 1 − 4 k 2 ou encore
on a alors
3π
1 − 4 k 2 300
k≥
299
= 8 ,64
4
On peut alors négliger les harmoniques d'ordre supérieurs ou égal à 8 et ainsi ne conserver que les
huit premières harmoniques.
En déduire la fréquence fm ,à partir de laquelle on peut considérer qu'il n'y a plus de raies
spectrales pour e(t).
fm= 8f1 = 16kHz
III.3. Quelle est alors la valeur minimale de la fréquence d'échantillonnagefequ'il faut choisir?
D'après Shannon, la fréquence d'échantillonnage doit être supérieur à 2fm =32kHz
Donner alors le nombre d'échantillons nécessaires et représenter e*(t) dans les conditions limites.
Pour une fréquunec d'échantillonnage de 32kHz, on a 16 (=32/2) échantillons par périodes.
e(t)
e*(t)
Te
T1
t
Module A21 : Introduction au signal déterministe. Yves Delignon. ENIC.
Exercice 2 QROC 98
Soit le signal x(t) = 2αsinc(2αt
)
1. X(f)= TF[x(t)](f) est-il à support borné ? Quelle est la fréquence minimale d’échantillonnage?
 f 

 2α 
En appliquant la propriété de l'homothétie, on a X ( f ) = rect 
La fréquence maximale de x(t) étant,la fréquence minimale d'échantillonnage est 2α.
2. Soit un échantillonneur moyenneur de x(t) défini par:
x(t ) = T
+∞
1
θ
t
θ
∑ y ( kT )δ (t − kT ) avec y(t ) = x (t ) * rect ( ) et θ << T , θ <1/α
k =−∞
Montrer que x(t ) peut se mettre sous la forme x(t ) =
+∞
+∞
k = −∞
k = −∞
T
θ

 +∞
t
(
)
rect


*
x
t

. ∑ δ (t − kT )
θ 

 k =−∞
+∞
On peut écrire x̂(t ) = T ∑ y( kT )δ (t − kT ) = T ∑ y( t )δ (t − kT ) = Ty( t ) ∑ δ (t − kT )
1
t
or y(t ) = x (t ) * rect ( ) ,d'où x(t ) =
θ
θ
k = −∞
 +∞
T
t
rect   * x(t ). ∑ δ (t − kT )
θ
θ
 k =−∞
3. En déduire le spectre Xˆ( f) de x (
t
) et représenter le graphiquement.
Que se passe t’il lorsque θ tend vers 0?
T 
 1

 +∞
 T 
t
 t 
X̂ ( f ) = TF  rect   * x(t )  ∗ TF . ∑ δ (t − kT ) = TF rect   X ( f ) ∗
θ 
 θ 
k = −∞
 θ  

θ 
 T

 t 
TF rect   = θ sin c(θf )
 θ 

+∞
k

∑ δ f − 
k = −∞

T
et
X̂ ( f ) = sin c( θf ) X ( f )∗
+∞
+∞



 

∑ δ  f −  = ∑ sin c( θ  f −  ) X  f − 
k
T
k
T
k
T



k = −∞
1
t
Lorsque θ tend vers 0 , rect( ) tend vers une impulsion de Dirac et sinc(θf
) tend vers 1.
θ
θ
k = −∞
L'échantillonnage tend vers l'idéal.
 1 1
4. Sachant que sinc(θf
) peut être considéré comme constant pour f∈ −
,
, quelle condition doit
 3θ 3θ 
vérifier θ pour que x(t) puisse être récupéré par filtrage passe-bas?
Pour que l'on puisse retrouver x(t) à partir d'un filtrage passe-bas du signal échantillonné, sinc(θf
) ne doit apporter
aucune distorsion sur le support en fréquence de x(t), c'estàdire
α<
1
3θ
5
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