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Ecole Nouvelle d’Ingénieurs en Communication
Année 2000
INTRODUCTION
AU
SIGNAL DETERMINISTE
Exercices
Corrections
Chapitre 1
Yves DELIGNON

Module A21 : Introduction au signal déterministe. Yves Delignon. ENIC
1
1. INTRODUCTION
Exercice 1
Classez les signaux suivants (énergie, support temporel)
1. Arect(t/T)
signal à temps continu, transitoire d'amplitude A et de support temporel [-T/2,T/2] donc à
énergie finie
2. Asin2 πft
Signal à temps continu, périodique d'amplitude A de période 1/f donc à puissance moyenne finie
3. ramp(t)
Signal à temps continu
Energie et puissance moyenne infinie
4.
t
-
exp
t entier relatif
signal à temps discret et énergie finie car
(
)
∑
∑
∑
∑
+∞
=
−
−
−∞
=
+∞
−∞
=
−
+∞
−∞
=
+
=
=
=
0
k
k
2
1
k
k
2
k
k
2
k
2
x
e
e
e
t
x
E
(
)
∑
∑
+∞
=
−
+∞
=
−
=
0
k
k
2
0
k
k
2
e
e
série géométrique de raison e -2 ,
2
0
k
k
2
e
1
1
e
−
+∞
=
−
−
=
∑
(
)
1
e
1
1
1
e
e
e
2
0
k
'
k
2
1
'
k
'
k
2
1
k
k
2
−
−
=
−
=
=
−
+∞
=
−
+∞
=
−
−∞
−
=
∑
∑
∑
soit
+∞
<
−
−
=
−
1
e
1
2
E
2
x
, x(t) est donc un signal à énergie finie.
5. e-at 1I [0,+ ∞[(t) a > 0
signal à temps continu et énergie finie car
(
)
a
2
1
dt
e
dt
t
x
E
0
at
2
2
x
=
=
=
∫
∫
+∞
−
+∞
∞
−
6.
∑
∈
−
Z
k
)
kT
t
(
*
)
t
(
trian
δ
∑
∑
∈
∈
−
=
−
Z
k
Z
k
)
kT
t
(
trian
)
kT
t
(
*
)
t
(
trian
δ
signal à temps continu, c'est la périodisation du signal
triangle à la période T.
7. trian(k/N) , k entier relatif
Signal à temps discret borné en temps et en amplitude donc à énergie finie.

Module A21 : Introduction au signal déterministe. Y. Delignon. ENIC
2
Exercice 2
Soit x(t) = trian(t).
1. Soit y(t) le signal x(t) retardé de t 0. Exprimer y(t) en fonction de x(t) et représentez le graphiquement.
2. Soit z(t) le signal x(t) dilaté. Exprimez z(t) en fonction de x(t) et représentez le graphiquement.
Exercice 3
Soit
[
]
)
(
)
(
,
0
t
ramp(t).1I
t
x
T
ε
=
a - x est-il un signal à énergie finie, puissance moyenne finie, autre ?
(
)
3
T
dt
t
dt
t
x
E
3
2
T
0
2
2
2
x
ε
ε
=
=
=
∫
∫
+∞
∞
−
donc x(t) signal à energie finie
b - Calculer
∫
+∞
∞
−
dt
t
-
(t
t
x
0
)
)
(
δ
(
)
)
(
*
)
(
0
t
t
t
x
−
δ
−
α
δ
0
*
)
(
t
t
t
x
α∈
IR
+
)
t
(
x
dt
)
t
-
(t
)
t
(
x
dt
)
t
-
(t
)
t
(
x
dt
)
t
-
(t
)
t
(
x
0
0
0
0
0
0
=
=
=
∫
∫
∫
+∞
∞
−
+∞
∞
−
+∞
∞
−
δ
δ
δ
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0
0
0
0
0
t
t
x
du
u
t
t
t
t
x
du
u
t
t
u
x
)
t
t
(
*
)
t
(
x
−
=
−
−
−
=
−
−
=
−
∫
∫
+∞
∞
−
+∞
∞
−
δ
δ
δ
(
)
(
)
(
)
(
)
∫
∫
∫
+∞
∞
−
+∞
∞
−
+∞
∞
−
−
=
−
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
0
0
0
0
0
0
t
t
x
dv
v
t
t
t
t
x
dv
v
t
t
v
x
du
u
t
t
u
x
t
t
*
)
t
(
x
α
α
δ
α
α
δ
α
α
α
δ
α
δ
par changement de variable v = u/ α
c - Calculer et tracer
(
)
∑
+∞
−∞
=
−
∗
k
kT
t
t
x
δ
)
(
(
)
(
)
∑
∑
+∞
−∞
=
+∞
−∞
=
−
=
−
∗
k
k
kT
t
x
kT
t
)
t
(
x
δ
Exercice 4
Soient x, y et z trois signaux.
1. Montrer les propriétés suivantes :
(x ∗y)(t)=(y ∗x)(t) commutativité de la convolution
x(t)
t
-1
1
t0
y(t) = x(t-t 0)
x(t)
t
z(t)=x(at), 0<a<1
-1
1
1/a
-1/a
1
(
)
∑
+∞
−∞
=
−
∗
k
kT
t
t
x
δ
)
(
εT
T
t

Module A21 : Introduction au signal déterministe. Yves Delignon. ENIC
3
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)
t
(
x
*
y
dv
v
y
v
t
x
du
u
t
y
u
x
)
t
(
y
*
x
=
−
=
−
=
∫
∫
+∞
∞
−
+∞
∞
−
par changement de variable v = t-u
x∗(y+z))(t)= (x ∗y)(t)+ (x ∗z)(t) distributivité
Porpriété immédiate en tenant compte de la linéarité de l'intégrale
2. Calculer (x ∗δ)(t). Commenter le résultat.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
t
x
du
u
t
t
x
du
u
t
u
x
)
t
(
*
)
t
(
x
=
−
=
−
=
∫
∫
+∞
∞
−
+∞
∞
−
δ
δ
δ
3. Soit x(t) = rect(t) et y(t) = e -t 1I IR+(t). Calculer (x ∗y)(t)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
]
]
(
)
∫
∫
∫
+∞
∞
−
−
∩
∞
−
−
−
+∞
∞
−
+
−
−
+∞
∞
−
=
−
=
−
=
du
u
I
1
e
du
u
t
I
1
e
u
rect
du
u
t
y
u
x
)
t
(
y
*
x
2
1
,
2
1
t
,
u
t
IR
u
t
si t < -1/2
(
)
0
du
0
)
t
(
y
*
x
=
=
∫
+∞
∞
−
si –½ ≤ t < ½
(
)
(
)
2
/
1
t
2
/
1
t
t
t
2
1
u
t
e
1
e
e
e
du
e
e
)
t
(
y
*
x
−
−
−
−
−
−
−
=
−
=
=
∫
si ½ ≤ t
(
)
(
)
2
/
1
2
/
1
t
2
1
2
1
u
t
e
e
e
du
e
e
)
t
(
y
*
x
−
−
−
−
−
=
=
∫
Exercice 5
Soit x(t)=rect(t)e 2j πf0t, f 0 >>1
1. Représenter graphiquement la partie réelle et la partie imaginaire de x(t)
2. Représenter graphiquement le module et l’argument de x(t)
3. Soit y(t) = x(t) ∗δ(t-5) . Représenter graphiquement x(t) et y(t).
0,7
0
t
(x*y)(t)
-0,5
0,5

Module A21 : Introduction au signal déterministe. Y. Delignon. ENIC
4
1.
2.
3. y(t) = x (t-5). y(t) est la réplique de x(t) retardée de 5.
Exercice 6
Soit
ft
i
e
t
x
π
2
)
(
=
f ∈ IR
Calculer
∫
+∞
∞
−
dt
t
t
x
)
(
)
(
δ
puis
x
t
(
)
)
(t
-
t
dt
0
δ
−∞
+∞
∫
et
∫
+∞
∞
−
dt
t
+
(t
t
x
0
)
)
(
δ
)
0
(
x
dt
)
t
(
)
0
(
x
dt
)
t
(
)
0
(
x
dt
)
t
(
)
t
(
x
=
=
=
∫
∫
∫
+∞
∞
−
+∞
∞
−
+∞
∞
−
δ
δ
δ
)
t
(
x
dt
)
t
-
(t
)
t
(
x
dt
)
t
-
(t
)
t
(
x
dt
)
t
-
(t
)
t
(
x
0
0
0
0
0
0
=
=
=
∫
∫
∫
+∞
∞
−
+∞
∞
−
+∞
∞
−
δ
δ
δ
)
t
(
x
dt
)
t
+
(t
)
t
(
x
dt
)
t
+
(t
)
t
(
x
dt
)
t
+
(t
)
t
(
x
0
0
0
0
0
0
−
=
−
=
−
=
∫
∫
∫
+∞
∞
−
+∞
∞
−
+∞
∞
−
δ
δ
δ
En déduire
∫
+∞
∞
−
+
dt
t
x
t
+
(t
t
-
(t
0
0
)
(
2
)
)
δ
δ
(
)
2
)
(-t
x
)
(t
x
dt
)
t
(
x
)
t
(t
dt
)
t
(
x
)
t
-
(t
2
1
dt
)
t
(
x
2
)
t
+
(t
)
t
-
(t
0
0
0
0
0
0
+
=
+
+
=
+
∫
∫
∫
∞
+
∞
−
∞
+
∞
−
∞
+
∞
−
δ
δ
δ
δ
t
f
2
cos
2
e
e
dt
)
t
(
x
2
)
t
+
(t
)
t
-
(t
0
t
f
j
2
t
f
j
2
0
0
0
0
π
δ
δ
π
π
=
+
=
+
−
∞
+
∞
−
∫
Exercice 7
Soient x1(t) = exp(2j πf0t) , x2(t) = rect(t), f0 >>1.
t
Re(x(t))
t
Im(x(t))
t
)
t
(
rect
)
t
(
x
=
-1/2
1/2
)
t
(
rect
)
t
(
x
=
Arg(x(t)) = 2 πf0t
t
-1/2
1/2
)
t
(
rect
)
t
(
x
=
5
)
5
t
(
rect
)
t
(
y
−
=
t
Arg(x(t)) = 2 πf0t
t
5
Arg(y(t)) = 2 πf0(t-5)