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SÉRIES À TERMES RÉELS POSITIFS
SOMMAIRE
SOMMAIRE
Rappels
Condition nécessaire mais non suffisante de convergence
2
Séries géométriques
2
Série harmonique
2
Série de terme général
1
3
n2
1. Comparaison de séries à termes positifs
3
1.1. Test de comparaison. Exemple : divergence de
n 2
1
.
ln n
3
1.2. Test de comparaison logarithmique.
4
2. Comparaison séries-intégrales
4
2.1. Critère intégral de Cauchy. Exemple : séries de Bertrand
n 2
1
nα (ln n )β
dans le cas α = 1.
4
2.2. Conséquence 1 : convergence de la différence entre la série et l'intégrale. Exemple : constante d'Euler
2.3. Conséquence 2 : étude des séries de Riemann. Exemple : séries de Bertrand
n 2
1
nα (ln n )β
dans le cas α ≠ 1.
3. Critères usuels de convergence
6
6
7
3.1. Lemme. Critère de l'équivalent.
7
3.2. Critère de Riemann.
8
3.3. Règle de D'Alembert.
9
3.4. Règle de Cauchy.
10
3.5. Comparaison entre la règle de D'Alembert et la règle de Cauchy. Contre-exemple : un =
3.6. Règle de Raabe-Duhamel. Exemple : un =
Séries à termes réels positifs
(2 n )!
( n !)2 22 n
Page 1
2
( −1)n − n
11
12
G. COSTANTINI
Notation : on utilisera le symbole abusif
Un =
n
un pour désigner la série de terme général un et on notera
∞
uk la suite des sommes partielles et, en cas de convergence, Rn =
u k la suite des restes.
k = n +1
k = n0
Quelques rappels :
On dit que la série de terme général un converge lorsque la suite des sommes partielles Un converge, c'est-à-dire :
∃ ∈
∗
+,
, ∀ε ∈
∃N ∈
, ∀n ∈
, (n
N
n
uk −
ε)
k = n0
Ce critère est peu pratique pour prouver une convergence. Un des objectifs de cette leçon est d'en établir d'autres.
Remarquons qu'une condition nécessaire, mais non suffisante, pour qu'une série converge est que son terme
général tende vers 0. En effet :
lim Un =
lim Un−1 =
n→+∞
lim (Un − Un−1) = 0
n→+∞
n→+∞
lim un = 0
n→+∞
Cette condition est évidemment non suffisante.
(Voir, par exemple, la divergence de la série harmonique, ci-dessous)
On rappelle également les résultats sur les séries géométriques et la série harmonique :
Séries géométriques :
n
∞
La série de terme général q est convergente si et seulement si |q| < 1 et dans ce cas :
k =0
qk =
1
.
1− q
Série harmonique :
La série de terme général
1
diverge (vers +∞).
n
Preuve :
• Pour les séries géométriques :
Si q = 1 alors la série géométrique diverge trivialement.
+ ∞ si q > 1
1 − q n +1
Si q ≠ 1, on a Un =
qk =
. Or, q n +1 →
1
−
q
k =0
n
De plus, lorsque |q| < 1 : Rn =
∞
∞
qk =
k = n +1
qk −
k =0
0 si q < 1
n
d'où le résultat.
diverge si q ≤ − 1
qk =
k =0
1
1 − q n+1 q n+1
−
=
.
1− q
1− q
1− q
• Pour la série harmonique :
U2n − Un =
2n
1
−
k
k =1
n
1
1
1
=
+ ... +
k
n
+
1
2n
k =1
n
1
1
=
2n 2
La suite (Un) ne peut donc pas être convergente car si l'on avait lim Un = , cela entraînerait lim U2n = et
n→+∞
donc lim (U2n − Un) = 0 ce qui est impossible puisque U2n − Un
n→+∞
n→+∞
1
. (Ou plus simplement, la suite (Un) ne
2
satisfait pas le critère de Cauchy ...)
Et comme (Un) est croissante, on a bien
Séries à termes réels positifs
+∞
1
= +∞. (Attention, ceci est un abus d'écriture)
n
n =1
Page 2
G. COSTANTINI
Une autre démonstration est possible en comparant avec une intégrale :
1
sur ]0 ; +∞[ on a immédiatement :
t
n +1 1
1
1
*
,
dx
(Illustrer)
n
n
n +1
x
D'après la décroissance de l'application t
∀n ∈
N
En sommant, pour n allant de 1 à N :
1
n
n =1
ln(N + 1)
0
D'où la divergence de la série harmonique.
Remarque : dans le cadre des séries à termes un positifs, la suite (Un) est croissante. Donc la série
un est
convergente si et seulement si la suite des sommes partielles (Un) est majorée. De plus, dans ce cadre, le seul
cas de divergence est la limite infinie.
Donnons, à titre d'exemple une justification de la convergence de la série de terme général
n
1
Un =
=1+
2
k =1 k
n
1
2
k =2 k
La suite des sommes partielles est majorée, donc
1+
n
k =2
1
:
n2
1
1
1
−
=2− .
n
k −1 k
∞
1
converge vers un réel
2
k =1 k
2.
Dans ce qui suit, les résultats sont données pour des suites (un) définies en général sur
résultats s'adaptent (sauf mention contraire) au cas où l'indice appartient à n0, +∞ , n0 ∈
. Il va de soi que les
*
.
1. Comparaison de séries à termes positifs
1.1. Test de comparaison
Soient deux séries de termes généraux respectifs un et vn positifs tels que : ∀n ∈
1. Si
vn est convergente, il en est de même de
2. Si
un est divergente, il en est de même de
,0
un
vn. Alors :
un.
vn.
Preuve :
On a donc Un
Vn. Si la suite (Vn) converge, elle est majorée donc la suite (Un) aussi. Ainsi la suite (Un)
converge d'où 1. De plus,
un
v n.
2 est la contraposée de 1.
Remarque : comme précisé plus haut le résultat subsiste si l'on a un
nécessairement
un
vn, ∀n
n0. Mais alors on a plus
v n.
Exemples :
ln n
et
n
2
•
n
•
∞
e−
n
n
1
divergent, par comparaison avec la série harmonique
ln n
2
converge puisque pour n
n =0
Séries à termes réels positifs
N, on a : e −
n
n
1
.
n
2
1
1
et la série de terme général 2 converge.
2
n
n
Page 3
G. COSTANTINI
Remarque : le théorème ne s'applique pas si les séries sont à termes de signe non constant. Considérer les séries
1
(−1) n
de terme général :
un = −
et vn =
n
n
On a : un vn, ∀n ∈ *.
On a :
un qui diverge (série harmonique, au signe près)
Et pourtant,
vn converge (voir le théorème spécial à certaines séries altérnées)
1.2. Conséquence Test de comparaison logarithmique
Soient deux séries de termes généraux respectifs un et vn strictement positifs tels que :
∀n ∈
un +1
un
,
vn +1
.
vn
Alors :
1. Si
vn est convergente, il en est de même de
2. Si
un est divergente, il en est de même de
un.
vn.
Preuve :
Puisque un et vn sont strictement positifs, on a :
En posant λ =
Si la série
u0
, il vient un
v0
un+1
v n+1
un
u
et par récurrence immédiate : n
vn
vn
u0
.
v0
λvn.
vn est convergente, il en va de même de λ
vn et 1.1. permet de conclure d'où 1.
2. est la contraposée de 1.
Ce critère de comparaison sera utile dans la démonstration de la règle de d'Alembert et celle de Raabe-Duhamel.
Remarque : ce résultat reste encore valable avec la condition :
∃n0∈
, ∀n ∈
, (n
un +1
un
n0
vn +1
)
vn
2. Comparaison séries-intégrales
Rappelons ici que toute fonction monotone sur un intervalle compact [a, b] est Riemann-intégrable.
2.1. Critère intégral de Cauchy
Soit n0 ∈
. Soit ƒ une fonction définie, positive et décroissante sur [n0, +∞[.
Alors la série
ƒ(n) est convergente si et seulement si ƒ est intégrable sur [n0, +∞[.
En cas de convergence, on a :
+∞
n 0 +1
+∞
ƒ (t ) dt
+∞
ƒ ( n)
n0
n = n 0 +1
ƒ (t ) d t
Preuve :
Puisque ƒ est décroissante sur [n0, +∞], on a :
∀k ∈ n0, +∞ ,∀ t ∈ [k, k + 1] :
En intégrant sur [k, k + 1], il vient :
Séries à termes réels positifs
ƒ(k + 1)
ƒ(k + 1)
ƒ(t)
k +1
k
ƒ(k)
ƒ (t ) dt
Page 4
ƒ(k)
G. COSTANTINI
n
En sommant pour k = n0 à n :
n +1
ƒ (k + 1)
n0
k = n0
n +1
C'est-à-dire :
n0
k = n 0 +1
n
En notant Un =
n
ƒ (t ) d t
ƒ (k )
k = n0
n +1
ƒ (k ) , on a :
ƒ (k )
k = n0
n +1
ƒ (k )
n
ƒ (t ) d t
Un+1 − ƒ(n0)
n0
k = n0
ƒ (t ) d t
Un
Supposons ƒ intégrable sur [n0, +∞[.
Alors, ƒ étant positive :
n +1
n0
ƒ (t ) d t
n0
D'où :
ƒ(n0) +
Un+1
+∞
+∞
n0
ƒ (t ) d t
ƒ (t ) d t
Ainsi, la suite (Un) (qui est croissante car ƒ est positive) est majorée donc converge.
ƒ(n) est convergente.
Donc la série
Réciproquement, si la suite (Un) converge, alors elle est majorée par un réel M
n +1
∀n ∈ n0, +∞ ,
Posons F(x) =
Donc
+∞
x
n0
n0
ƒ (t ) d t
0. Donc :
M
ƒ (t ) dt . F est croissante (car ƒ positive) et majorée par M donc admet une limite finie en +∞.
ƒ (t ) dt est convergente.
n0
Enfin, en cas de convergence, en passant à la limite dans les inégalités suivantes :
n+ 2
n 0 +1
ƒ (k )
+∞
n 0 +1
+∞
ƒ (t ) dt
n +1
n0
k = n 0 +1
On obtient :
n +1
ƒ (t ) dt
n
ƒ (t ) d t
ƒ (k )
k = n0
ƒ ( n)
+∞
n0
n = n 0 +1
ƒ (t ) d t
Cette dernière inégalité permet, dans certains cas d'expliciter un encadrement du reste dans le cas de séries
convergentes.
Exemples :
1
diverge puisque
n ln n
2
•
n
a
1
dt = [ ln(ln(a )) − ln(ln(2))] a→+∞
→ +∞.
2 t ln(t )
Au passage, ceci prouve également que l'on peut avoir nun → 0 sans pour autant que la série
• Et plus généralement, les séries de Bertrand
n
•
∞
e−
a
1
dt
2 t (ln t )β
n
=
u = ln t
ln a
ln 2
converge puisque
n =0
Séries à termes réels positifs
1
dans le cas α = 1 :
α
n
(ln
n) β
2
1
du , d'où il apparaît que si β > 1, la série converge et si β
uβ
+∞
0
e − t dt = 2
t=x
un converge.
+∞
0
1 elle diverge.
2 xe − x dx = 2.
IPP
Page 5
G. COSTANTINI
2.2. Conséquence 1
Avec les conditions de 2.1, la suite (vn) définie par vn =
n
ƒ (k ) −
k =1
n
1
ƒ (t ) dt converge.
Preuve :
n
On a vu ci dessus que
n +1
ƒ (k )
1
k =1
ƒ (t ) dt . Et comme ƒ est positive :
n +1
1
ƒ (t ) dt
n
1
ƒ (t ) dt .
Donc (vn) est positive.
En outre, vn+1 − vn = un+1 −
n +1
n
Et comme ƒ est décroissante,
ƒ (t ) dt .
n +1
n
En conclusion (vn) converge (dans
ƒ (t ) dt
+
ƒ(n+1) = un+1 donc vn+1 − vn
0 et, par suite, (vn) est décroissante.
)
Illustration :
La somme de ces aires converge vers
une quantité finie.
......
ƒ(1)
ƒ(2)
Cƒ
Noter qu'on a nul
ƒ(k)
besoin que ƒ ait une
ƒ(n)
limite nulle en +∞.
1
t
2
k
n
Application : constante d'Euler
En choisissant ƒ(t) =
n
1
−
k
k =1
1
, les conditions de II.2 sont vérifiées et on obtient la convergence de la suite :
t
n1
1
t
dt = 1 +
1 1
1
+ + ... + − ln n vers un réel γ
2 3
n
0. (Constante d'Euler
0,577)
2.3. Conséquence 2 Séries de Riemann
Soit α ∈
. La série de terme général un =
1
(n
nα
1) est convergente si et seulement si α > 1.
Preuve :
• Si α < 0 alors un → +∞
Si α = 0 alors un = 1.
Dans ces deux cas, la série
Séries à termes réels positifs
un est trivialement divergente.
Page 6
G. COSTANTINI
1
= x −α (pour x
xα
• Si α > 0 alors posons ƒ(x) =
ƒ est dérivable et ƒ '(x) = −
1).
α
< 0, donc ƒ est décroissante sur [1, +∞[.
x α +1
Appliquons le critère intégral :
x
1
1
dt =
tα
ln x si α = 1
+∞
donc
1 1
− 1 si α ≠ 1
α −1
1− α x
1
1
dt =
tα
+ ∞ si α ≤ 1
1
si α > 1
α −1
un est convergente si et seulement si α > 1.
Bilan : la série
Exemple :
∞
ln(n)
ln(n)
converge car
2
n2
n =1 n
n
n
2
=
1
n
3/ 2
.
3. Critères usuels de convergence
3.1. Lemme
Soient deux séries de termes généraux respectifs un et vn strictement positifs.
∃m, M ∈
Si
Alors
∗
+ ,∀n
∈
, 0<m
un
vn
M.
les deux séries sont de même nature.
En particulier, si la suite
un
admet une limite finie non nulle, alors les deux séries sont de même nature.
vn n ∈
Et plus particulièrement encore : si un ~ vn alors les deux séries sont de même nature (critère d'équivalence)
Preuve :
On a donc : ∀n ∈
D'après 1.1 si
, m vn
un converge, alors m
aussi. Ainsi, les séries
En particulier, si
M vn (car vn > 0)
un
un
vn
un et
→ > 0 alors : ∀ε ∈
∗
+,
∃n0 ∈
2
vn aussi. Et si
un diverge, alors M
vn aussi donc
vn
vn sont de même nature.
En choisissant ε =
vn aussi donc
> 0, il vient :
tel que ∀n
n0 :
un
− < ε.
vn
2
<
un
3
<
2
vn
Donc il existe deux réels m et M strictement positifs tels que : ∀n
n0, 0 < m
un
vn
précède (la nature d'une série ne dépendant pas de ses premiers termes) les séries
M. Donc, d'après ce qui
un et
vn sont de même
nature.
On obtient le critère de l'équivalent dans le cas où = 1.
Séries à termes réels positifs
Page 7
G. COSTANTINI
Exemples :
•
∞
n +1
n =1
•
n
converge car
n + ln(n)
3
n +1
1
~
n + ln(n) +∞ n 2
3
.
1
1
2
n
− 1 → 1 et la série harmonique diverge.
diverge car
n→∞
2n − 1
1
2
1
n
Remarque : l'hypothèse de positivité est fondamentale dans ce théorème. En effet, sans cette hypothèse le
théorème peut être mis en défaut comme le montre les deux contre-exemples suivants :
( − 1) . On a bien u ~ v mais
(−1) n
• un =
et vn = un 1 +
n
n
+∞
n+1
ln(n + 1)
n
altérnées) tandis que
un converge (voir théorème des séries
vn diverge puisque somme de
un qui converge et de
n
• un =
(−1) n
+
n
En outre,
1
(−1) n
u
(−1) n
(−1) n n + n
+
et vn =
. On a n =
=
n
n
vn
n
(−1) n n + (−1) n n
1
qui diverge vers +∞.
n
ln
n
2
n + (−1) n
n +1
→ 1, donc un ~ vn .
+∞
un diverge (comme somme d'une série convergente (relevant du TSCSA) et de la série
harmonique) et
un converge (comme somme de deux séries convergentes (relevant du TSCSA))
Cependant le résultat reste vrai si seule la série de terme général vn est supposée positive.
3.2. Critère de Riemann
Soit une série de terme général un positif :
( )
1 tel que la suite (n u )
1. S'il existe un réel α > 1 tel que la suite n α un
2. S'il existe un réel α
n∈
α
n
n∈
un est convergente.
soit majorée, alors la série
soit minorée par m > 0, alors la série
un est divergente.
3. En particulier, s'il existe un réel α tel que n α un ait une limite finie alors :
( > 0 et α
α>1
1)
la série
la série
un est diverge
un converge
Preuve :
1. Soit M tel que : ∀n ∈
2. On a : ∀n ∈
, un
(
)
3. Si la suite n α un
: un
m
n
α
M
n
α
. Comme α > 1, la série de terme général
> 0. Comme α
1, la série de terme général
m
nα
M
nα
converge donc
diverge donc
un aussi.
un aussi.
n∈
Supposons > 0 et α
Séries à termes réels positifs
admet une limite finie , alors elle est bornée.
1. On a :
Page 8
G. COSTANTINI
n α un
0<m
m
C'est-à-dire :
nα
un
m
n α un
un diverge.
Donc
Supposons α > 1. On a :
0
un
0
M
m
nα
un converge.
Donc
Exemples :
•
∞
n =0
e − n converge. En effet, la suite ( n 2e − n ) est bornée puisque n 2e − n n
→ 0 d'où le résultat d'après 1.
→∞
2
2
• Séries de Bertrand :
un où un =
n 2
1
n (ln(n))β
α
2
avec n
2, (α, β) ∈
2
.
Si α = 1, voir étude faite au paragraphe 2.
Si α > 1, on pose γ =
1+ α
> 1. On a : n γ un = n
2
Si α < 1, on a : lim nun = lim
n → +∞
n → +∞
1
n α −1 (ln(n) )β
1− α
2
(ln n)−β
1
(ln(2) )β
→ 0 donc la série converge.
= +∞ donc la suite positive ( nun ) est minorée par m > 0 à
partir d'un certain rang donc la série diverge.
3.3. Règle de d'Alembert
Soit une série de terme général un strictement positif :
1) S'il existe un réel q < 1 tel que : ∀n ∈
,
u n +1
un
q, la série
un est convergente.
1 tel que : ∀n ∈
,
u n +1
un
q, la série
un est divergente.
2) S'il existe un réel q
3) En particulier, si
u n +1
a une limite ∈
un
• Si < 1, la série
• Si > 1, la série
• Si
∪ {+∞} alors :
un est convergente.
un est divergente.
= 1, on ne peut pas conclure (sauf si ∀n
n0, un
un+1 auquel cas la série est trivialement
divergente)
Séries à termes réels positifs
Page 9
G. COSTANTINI
Preuve :
1) Posons vn = q n (q < 1). Ainsi
D'après 1.2 la série
vn est convergente. Or
vn + 1
.
vn
un est donc convergente.
2) Idem mais cette fois-ci (q
vn diverge et on a
1)
Donc toujours d'après 1.2 la série
u
vn + 1
= q. On a donc n+1
vn
un
u n +1
un
vn + 1
.
vn
un est divergente.
3) • Si < 1 alors soit q tel que < q < 1. Pour n
• Si > 1 alors soit q tel que 1 < q < . Pour n
n0, on a :
u n +1
un
q, d'où le résultat d'après 1.
n0, on a :
u n +1
un
q, d'où le résultat d'après 2.
u
• Si = 1. Considérons la série de Riemann de terme général un = α . On a lim n+1 = lim
n
→+∞
n→+∞
un
n
1
Or, la série donnée converge si α > 1 et diverge si α
n
n+1
α
= 1.
1. On ne peut donc pas conclure.
Exemples :
• un =
u
xn
x
(x > 0). On a n+1 =
un
n!
n +1
→ 0 donc
un converge. Et donc
1
< 1 si x > 1 donc
x
u
x 2 n +1 + x
• un =
(x > 0). On a n+1 = 2 n+ 2
1
un
x
+1
xn + n
x
1
• un =
nn
u
(n > 0). On a n+1 =
un
n
n +1
n
x < 1 si x < 1 donc
1
e
3.4. Règle de Cauchy
Soit une série de terme général un strictement positif :
,
1 tel que : ∀n ∈
,
2) S'il existe un réel q
3) En particulier, si a une limite ∈
• Si < 1, la série
• Si > 1, la série
n
n
1
donc
2
u n diverge
u n converge
un converge. Et donc
n!
nn
→0 !
On évitera de parler de "critère de Cauchy" par risque
de confusion avec le critère de convergence de
Cauchy de la série vue comme une suite...
un
q, la
un est convergente.
un
q, la
un est divergente (trivialement).
∪ {+∞} alors :
un est convergente.
un est divergente.
• Si = 1, on ne peut pas conclure (sauf si ∀n
Séries à termes réels positifs
un converge
→ 1 si x = 1 mais alors un =
→ < 1 donc
1) S'il existe un réel q < 1 tel que : ∀n ∈
→0 !
n!
xn
n!
n0, un
Page 10
1 auquel cas la série est trivialement divergente)
G. COSTANTINI
Preuve :
Pour 1 (resp. 2), on a
n
un
q (resp.
n
un
q n (resp. un
q) qui équivaut à un
q n ) d'où le résultat.
Pour 3, on procède comme en 3.3. :
• Si < 1 alors soit q tel que < q < 1. Pour n
• Si > 1 alors soit q tel que 1 < q < . Pour n
n0, on a :
n
un
q, d'où le résultat d'après 1.
n0, on a :
n
un
q, d'où le résultat d'après 2.
1
• Si = 1. Considérons la série de Riemann de terme général un =
Or, la série donnée converge si α > 1 et diverge si α
Exemples :
• un =
2
• un =
• un =
( n)
=
n
nk
(k ∈
n
n
n +1
n
un
n
. On a
n
. On a
n
un =
un =
n
n +1
ln( n )
n n
ln(n)
n
. On a lim
n→+∞
un = lim
n→+∞
1
n
α /n
= 1.
1. On ne peut donc pas conclure.
k
1
< 1 donc
2
→
2
n2
ln( n )
( ln(n))
n
). On a
n
α
n
un converge
1
e
→ < 1 donc
un converge
(ln( n ) )2
=
e
n
→ 0 donc
ln(n)
un converge
3.5. Proposition
Soit (un)n∈ une suite de nombres réels strictement positifs.
Si
u n +1
a une limite alors
un
n
un admet la même limite .
Moralité : si la règle de d'Alembert conduit au cas = 1, il en sera de même pour la règle de Cauchy.
Cependant, la réciproque est fausse, comme le montre le contre-exemple suivant :
un = 2 ( −1)
Considérer la série de terme général :
n
On a :
Mais : si n est pair :
Donc
un =
n
−n
( −1) n
−1
2 n
→
1
2
un+1
un+1
2 −1−( n +1) 1
21−( n +1)
=
=
et
si
n
est
impair
:
=
=2
8
un
un
21− n
2 −1− n
un+1
n'admet pas de limite.
un
Preuve de la proposition 3.5. :
On a donc :
∀ε ∈
∗
+,
∃N ∈
, ∀n ∈
, (n
N
−ε
un+1
un
+ ε)
Supposons > 0.
Séries à termes réels positifs
Page 11
G. COSTANTINI
Pour ε < , on a :
∃N ∈
, ∀n ∈
, (n
Comme un > 0, ∀n ∈
∃N ∈
D'où :
, ∀n ∈
, ∀n ∈
∃N ∈
n → +∞
uN
Donc : ∃N' ∈
(
u p +1
(produit de n − N facteurs)
up
p=N
− ε)
, ∀n ∈
n− N
n
, ∀n ∈
n
n → +∞
| n uN
N'
(
0 < uN ( − ε )n − N
un
uN
∗
+,
n
0<
= − ε et lim
, (n
un
uN
0) sur
, (n > N
(
0<
, (n > N
(
− ε)
n− N
n
(
+ ε)
n− N
n
(
− ε)
n− N
n
− ( − ε)|
En faisant tendre ε vers 0, il vient :
+ ε )n − N )
1
):
n
n
un
= + ε (car
(
uN
lim e n
uN
(
n− N
n
)
= 1)
n → +∞
ε et | n u N
+ ε)
+ ε)
n− N
n
− ( + ε)|
ε)
+ 2ε
un
un =
n
lim
(
1
uN
n
n
+ ε )n − N )
nous avons (avec α =
uN
− 2ε
Pour n > max(N, N'), on a alors :
Enfin, si
+ ε)
− ε )n − N
, (n > N
tα (α
Par croissance de l'application t
n
∏
, on peut écrire :
∃N ∈
Or, lim
n −1
un
=
uN
En remarquant que, pour n > N :
un+1
un
0< −ε
N
n → +∞
= 0, on reprend le même raisonnement en remplaçant, dans les encadrements ci-dessus, le membre de
gauche par 0.
3.6. Règle de Raabe-Duhamel
Soit (un)n ∈ une suite de nombres réels strictement positifs telle que :
∃(α, β) ∈
1. Si α
1 alors la série
2. Si α > 1 alors la série
u
α
1
]1, +∞[ tels que : n+1 = 1 −
+ O β
un
n
n
∗
+×
un diverge.
un converge.
Preuve :
Posons, pour n ∈
*
α
vn = n un
:
α
Pour tout n ∈
*
, on a :
vn +1
1
= 1+
vn
n
α
1
1− + O β
n
n
vn +1
α
1
= 1+ + O 2
vn
n
n
α
1
1− + O β
n
n
vn +1
1
=1+ O γ
vn
n
Séries à termes réels positifs
où γ = min(2, β)
Page 12
G. COSTANTINI
v
1
ln n +1 = O γ
vn
n
Par conséquent, pour tout n ∈
*
, on a :
∃C ∈
C'est-à-dire :
∗
+,
∃N ∈
, ∀n∈
v
ln n +1
vn
C
)
nγ
, (n
N
v
Or, γ ∈ ]1, +∞[, donc la série de terme général ln n +1
vn
converge absolument donc converge.
n
Mais, par télescopage :
ln
p =1
v p +1
= ln(vn+1) − ln(v1)
vp
Donc la suite (ln(vn))n∈ converge. Notons sa limite. La suite (vn)n∈ converge donc vers e .
K
(où K = e )
nα
un ~
Par conséquent :
+∞
D'où le résultat cherché. (En utilisant le critère de l'équivalent avec une série de Riemann)
Remarque : si α
0 alors,
un+1
un
∗
+.
1, donc (un) croissante et à valeurs dans
Donc la suite (un) ne tend pas
vers 0 et la série diverge grossièrement.
3.6. bis Règle de Raabe-Duhamel (variante)
Soit (un)n ∈ une suite de nombres réels strictement positifs telle que :
∃(α, β) ∈
∗
+×
u
α
1
]1, +∞[ tels que : n+1 = 1 −
+ o
un
n
n
1. Si α < 1 alors la série
un diverge. (Inégalité stricte et non plus large...)
2. Si α > 1 alors la série
un converge.
Une démonstration analogue à la précédente serait vouée à l'échec. En effet, on obtiendrait la condition :
v
1
ln n +1 = o
n
vn
v
Ce qui ne permettrait pas d'affirmer la convergence de la série de terme général ln n +1 .
vn
En effet, un terme un peut être égal à o
1
n
sans être le terme d'une série convergente. (Prendre un =
1
)
n ln n
Démonstration :
β=
Posons
α +1
1
> 0 et vn = β
2
n
−β
v n +1
1
= 1+
vn
n
On a alors :
β
1
=1− +O 2
n
n
Supposons α < 1 :
Posons γ =
α
α+β
.
2
On a donc :
Séries à termes réels positifs
γ
β
1
α<γ<β<1
Page 13
G. COSTANTINI
1−
Donc :
Il existe donc N ∈
tel que ∀n
α
γ
β
>1−
>1−
n
n
n
N, on ait :
un+1
un
Or,
1−
γ
n
v n +1
vn
vn diverge (car β < 1). Donc, d'après le critère de comparaison logarithmique,
un diverge.
Supposons α > 1 :
β
1
α+β
Posons γ =
.
2
α
1<β<γ<α
On a donc :
1−
Donc :
Il existe donc N ∈
tel que ∀n
β
γ
α
>1−
>1−
n
n
n
N, on ait :
v n +1
vn
Or,
γ
γ
n
1−
un+1
un
vn converge (car β > 1). Donc, d'après le critère de comparaison logarithmique,
un converge.
Exemples :
2 × 4 × ... × (2n)
3 × 5 × ... × (2n + 1)
1) On considère la série de terme général : un =
un+1
2n + 2
=
→1
un
2n + 3
On a :
Le critère de D'Alembert ne permet pas de conclure.
un+1
=
un
Mais :
1
n = 1+ 1
3
n
1+
2n
1+
3
1
1−
+O
2n
n
1
1
=1−
+ O 2
2n
n
D'après le critère de Raabe-Duhamel avec α =
2) On considère la série de terme général :
1
, on déduit que la série diverge.
2
un =
(2n)!
(n ! ) 2 2 2 n
un+1 (2n + 2)(2n + 1)
=
→1
un
4(n + 1) 2
On a :
Le critère de D'Alembert ne permet pas de conclure.
Mais :
3
1
1+
+ 2
un+1
2n 2n = 1 + 3 + 1
=
2
1
un
2n 2n 2
1+ + 2
n n
D'après le critère de Raabe-Duhamel avec α =
Séries à termes réels positifs
2
1
1− + O 2
n
n
1
1
=1−
+ O 2
2n
n
1
, on déduit que la série diverge.
2
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