cesaro

THÉORÈMES DE CESARO
Théorème 1 version "suite convergente"
Soit (un) une suite de réels convergeant vers un réel l.
Alors la suite (vn) définie, pour n Î *, par :
1
n
vn =
n
åu
Autrement dit, le théorème de Cesàro
k
affirme que la convergence entraîne la
k =1
convergence en moyenne.
converge également vers l.
(On dit que (un) converge en moyenne vers l ou converge au sens de Cesàro)
Démonstration :
Fixons e Î  *+ .
Comme (un) converge vers l :
$N Î , "k Î , (k  N Þ |uk - l|  e)
vn - l =
Pour n > N, on a :
|vn - l| 
Posons An =
Il est clair An
1
n
N
å| u
k =1
¾¾¾¾
®
n®¥
k
1
n
n
å| u
k
k =1
n
1
n
å (u
1
n
å| u
-l |
k
k =1
N
k
k =1
- l)
-l |+
1
n
n
å
k = N +1
| uk - l |
-l |.
$N' Î *, "n Î , (n  N' Þ |An|  e)
0 donc :
Pour n > max(N, N'), on a alors :
|vn - l|  An +
1
n
n
å
k = N +1
| uk - l |  e +
n-N
e  2e
n
Ce qui prouve bien que (vn) converge vers l.
Remarque :
Une suite qui converge en moyenne ne converge pas nécessairement. Autrement dit, la réciproque du théorème
de Cesàro est fausse. Voici un contre-exemple :
un = (-1)n
(un) diverge tandis que la suite (vn) définie par vn =
(-1)n
converge vers 0.
n
Théorème 2 version "suite divergente vers +¥"
Soit (un) une suite divergente vers +¥.
Alors la suite (vn) définie, pour n Î *, par :
vn =
1
n
n
åu
k
k =1
diverge également vers +¥.
Théorème de Cesàro
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Démonstration :
Fixons A Î  *+ .
$N0 Î , "n Î , (n  N0 Þ un  3A)
Par hypothèse :
Pour n > N0, on a :
vn =
Posons An =
1
n
1
n
N0
å
uk +
k =1
N0
åu
n
å
uk 
k = N 0 +1
1
n
k =1
0, donc :
N0
åu
k
+3
k =1
n - N0
A
n
N0
A
n
vn  An + 3A - 3
, ainsi :
k
1
n
$N1 Î *, "n Î , (n  N1 Þ -A  An  A)
Il est clair An
¾¾¾¾
®
n®¥
De même, -3
N0
A ¾¾¾¾
® 0, donc :
n®¥
n
$N2 Î *, "n Î , (n  N2 Þ -A  -3
N0
A  A)
n
Si bien que pour n  max(N0, N1, N2), on a :
vn  -A + 3A - A
vn  A
Ce qui prouve bien que (vn) diverge vers +¥.
Remarque : contre-exemple à la réciproque du théorème de Cesàro, version "divergence vers +¥"
ì n si n est pair
un = í
î0 si n est impair
Il est clair que (un) diverge (considérer les suites extraites (u2p) et (u2p+1))
Montrons, cependant, que (un) diverge vers +¥ au sens de Cesàro :
Posons, pour n Î * :
vn =
n
1
n
åu
=
1
2p
k
k =1
On a, pour tout p Î * :
v2p =
v2p+1 =
1
2 p +1
1
2p
2p
åu
k =1
2 p +1
å
k =1
uk =
k
=
1
2p
1
2 p +1
2p
åu
k
k =1
k pair
2 p +1
å
k =1
k pair
uk =
p
åu
2j
j =1
1
2 p +1
=
1
2p
p
å
j =1
u2 j =
p
å2j =
j =1
1
2 p +1
p +1
2
p
å2j =
j =1
p( p + 1)
2p +1
Les suites extraites (v2p) et (v2p+1) divergent toutes deux vers +¥, donc la suite (vn) aussi.
Théorème de Cesàro
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Hypothèse supplémentaire pour obtenir la réciproque du théorème de Cesàro
Soit (un) une suite monotone.
Soit (vn) la suite définie pour n Î * par :
vn =
1
n
n
åu
k
k =1
On suppose que (vn) tend vers l Î ¡ .
Alors (un) tend aussi vers l.
Démonstration :
Comme (un) est monotone, elle converge ou diverge (vers +¥ ou -¥). Mais alors, d'après le théorème direct de
Cesàro, (vn) aura le même comportement. Donc (un) se comporte bien comme (vn).
Théorème de Cesàro
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