Théorèmes de Cesàro : Suites Convergentes et Divergentes

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THÉORÈMES DE CESARO
Théorème 1 version "suite convergente"
Soit (un) une suite de réels convergeant vers un réel l.
Alors la suite (vn) définie, pour n Î *, par : vn = 1
n1
n
k
k
u
=
å
converge également vers l.
(On dit que (un) converge en moyenne vers l ou converge au sens de Cesàro)
Démonstration :
Fixons e Î +
*.
Comme (un) converge vers l : $N Î , "k Î , (k  N Þ |uk - l|  e)
Pour n > N, on a : vn - l = 1
n1
()
n
k
k
u
=
-
ål
|v
n
- l|  1
n1
||
n
k
k
u
=
-
å
l
1
n
1
||
N
k
k
u
=
-
å
l+
1
n
1
||
n
k
kN
u
=+
-
ål
Posons An = 1
n1
||
N
k
k
u
=
-
å
l.
Il est clair An n ¾¾¾¾®
®¥ 0 donc : $N' Î *, "n Î , (n  N' Þ |An|  e)
Pour n > max(N, N'), on a alors :
|vn - l|  An + 1
n1
||
n
k
kN
u
=+
-
ål e +
nN
n
-e  2e
Ce qui prouve bien que (vn) converge vers l.
Remarque :
Une suite qui converge en moyenne ne converge pas nécessairement. Autrement dit, la réciproque du théorème
de Cesàro est fausse. Voici un contre-exemple :
un = (-1)n
(un) diverge tandis que la suite (vn) définie par vn = (1)n
n
- converge vers 0.
Théorème 2 version "suite divergente vers +¥"
Soit (un) une suite divergente vers +¥.
Alors la suite (vn) définie, pour n Î *, par : vn = 1
n1
n
k
k
u
=
å
diverge également vers +¥.
Autrement dit, le théorème de Cesàro
affirme que la convergence entraîne la
convergence en moyenne.

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Démonstration :
Fixons A Î +
*.
Par hypothèse : $N0 Î , "n Î , (n  N0 Þ un  3A)
Pour n > N0, on a :
vn = 1
n
0
1
N
k
k
u
=
å+ 1
n01
n
k
kN
u
=+
å
1
n
0
1
N
k
k
u
=
å+ 3 0
nN
n
-A
Posons An = 1
n
0
1
N
k
k
u
=
å, ainsi : vn  An + 3A - 3 0
N
nA
Il est clair An n ¾¾¾¾®
®¥ 0, donc : $N1 Î *, "n Î , (n  N1 Þ -A  An  A)
De même, -30
N
nAn
¾¾¾¾®
®¥ 0, donc :
$N2 Î *, "n Î , (n  N2 Þ -A  -30
N
nA  A)
Si bien que pour n  max(N0, N1, N2), on a :
vn  -A + 3A - A
vn  A
Ce qui prouve bien que (vn) diverge vers +¥.
Remarque : contre-exemple à la réciproque du théorème de Cesàro, version "divergence vers +¥"
un = si est pair
0 si est impair
nn
n
ì
í
î
Il est clair que (un) diverge (considérer les suites extraites (u2p) et (u2p+1))
Montrons, cependant, que (un) diverge vers +¥ au sens de Cesàro :
Posons, pour n Î * : vn = 1
n1
n
k
k
u
=
å
On a, pour tout p Î * :
v2p = 1
2p
2
1
p
k
k
u
=
å= 1
2p
2
1
pair
p
k
k
k
u
=
å= 1
2p2
1
p
j
j
u
=
å= 1
2p1
2
p
j
j
=
å= 1
2
p+
v2p+1 = 1
21p+
21
1
p
k
k
u
+
=
å= 1
21p+
21
1
pair
p
k
k
k
u
+
=
å= 1
21p+2
1
p
j
j
u
=
å=
1
21p+1
2
p
j
j
=
å=
(1)
21
pp
p
+
+
Les suites extraites (v2p) et (v2p+1) divergent toutes deux vers +¥, donc la suite (vn) aussi.

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Hypothèse supplémentaire pour obtenir la réciproque du théorème de Cesàro
Soit (un) une suite monotone.
Soit (vn) la suite définie pour n Î * par : vn = 1
n1
n
k
k
u
=
å
On suppose que (vn) tend vers l Î ¡.
Alors (un) tend aussi vers l.
Démonstration :
Comme (un) est monotone, elle converge ou diverge (vers +¥ ou -¥). Mais alors, d'après le théorème direct de
Cesàro, (vn) aura le même comportement. Donc (un) se comporte bien comme (vn).