MP
2 Endomorphismes orthogonaux de l’Espace
Soit ~
Eun espace vectoriel euclidien de dimension 3 orient´e rapport´e `a une base orthonorm´ee directe
B0= (
~
i,~
j, ~
k).
Soit O(~
E) le groupe des endomorphismes orthogonaux,
SO(~
E) le sous-groupe des rotations et SO−(~
E) l’ensemble des isom´etries vectorielles n´egatives.
SO(~
E) = {f∈O(~
E),det(f) = 1},SO−(~
E) = {f∈O(~
E),det(f) = −1}.
Soit f∈ L(~
E) de matrice Mdans la base B0.M= (aij )1≤i≤3
1≤j≤3
et soit C1, C2, C3les vecteurs colonnes de M,
Cj=
a1j
a2j
a3j
pour j∈ {1,2,3}
2.1 Rotations
f∈SO(~
E) si et seulement si f(
~
i), f(~
j), f(~
k)est une base orthonorm´ee directe de ~
E
f∈SO(~
E) si et seulement si tC1C1=tC2C2= 1,tC1C2= 0 et C1∧C2=C3.
•Si tM=MAlors f= id~
Eou fest un demi-tour d’axe ~
D(rotation d’angle plat)
et ~u
a11 + 1
a12
a13
est un vecteur directeur de ~
D
Dans une base orthonorm´ee adapt´ee `a ~
E=~
D⊕~
D⊥fadmet la matrice r´eduite :
1 0 0
0−1 0
0 0 −1
•Si tM6=Met M−tM=
0−c b
c0−a
−b a 0
alors fest la rotation d’axe ~
Dorient´e par le vecteur ~u
a
b
c
et d’angle de mesure principale θ∈]0, π[ avec 1 + 2 cos θ= trM
Dans une base orthonorm´ee directe adapt´ee `a ~
E=~
D⊕~
D⊥
fadmet la matrice r´eduite :
1 0 0
0 cos θ−sin θ
0 sin θcos θ
2.2 El´ements de SO−(~
E)
f∈SO−(~
E) si et seulement si f(
~
i), f(~
j), f(~
k)est une base orthonorm´ee indirecte de ~
E
(SO−(~
E) se note aussi O−(~
E))
f∈SO−(~
E) si et seulement si tC1C1=tC2C2= 1,tC1C2= 0 et C1∧C2=−C3.
2.2.1 R´eflexion
Si tM=MAlors fest la r´eflexion par rapport au plan ~
Pd’´equation (a11 −1)x+a12y+a13 z= 0
Dans une base orthonorm´ee adapt´ee `a ~
E=~
P⊕~
P⊥
fadmet la matrice r´eduite :
1 0 0
0 1 0
0 0 −1
L’ensemble des r´eflexions engendre O(~
E)
2.2.2 Sym´etries gauches
Si tM6=MAlors fest une sym´etrie gauche c’est `a dire que −fest une rotation d’axe ~
D,fadmet alors une
d´ecomposition unique de la forme : f=rθ◦s~
P=s~
P◦rθavec ~
P=~
D⊥,s~
Pest la r´eflexion par rapport au plan
~
Pet rθest une rotation d’axe ~
D(l’angle de −fest ´egal `a b
θ+po`u pest l’angle plat et b
θest l’angle de rθ).
Dans une base orthonorm´ee directe adapt´ee `a ~
E=~
D⊕~
P f admet la matrice r´eduite :
−1 0 0
0 cos θ−sin θ
0 sin θcos θ
o`u θest une mesure de l’angle de fpour une orientation de ~
D.
LGT Baimbridge 2 C.Susset