Endomorphismes orthogonaux en dimension 2 et 3 1

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Endomorphismes orthogonaux en dimension 2 et 3
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Endomorphismes orthogonaux du Plan
Soit P~ un plan vectoriel euclidien orienté rapporté à une base orthonormée directe (~i, ~j).
Soit O(P~ ) le groupe des endomorphismes orthogonaux,
SO(P~ ) le sous-groupe des rotations et SO− (P~ ) l’ensemble des isométries vectorielles négatives.
SO(P~ ) = {f ∈ O(P~ ), det(f ) = 1}, SO− (P~ ) = {f ∈ O(P~ ), det(f ) = −1}
1.1
Rotations
Soit f ∈ L(P~ ), f ∈ SO(P~ ) si et seulement si la matrice de f dans (~i, ~j) est de la forme :
a −b
R=
avec (a, b) ∈ R2 , a2 + b2 = 1.
b
a
cos θ
Il existe un unique θ ∈] − π, π] tel que : a = cos θ, b = sin θ, f a pour matrice : R =
sin θ
f est la rotation d’angle de mesure principale θ
Si θ = 0 alors f = Id et si θ = π alors f = −Id
1.2
− sin θ
cos θ
Réflexions
Soit f ∈ L(P~ ), f ∈ SO− (P~ ) si et seulement si la matrice de f dans (~i, ~j) est de la forme :
a
b
S=
avec (a, b) ∈ R2 , a2 + b2 = 1.
b −a
cos θ
sin θ
Il existe un unique θ ∈] − π, π] tel que : a = cos θ, b = sin θ, f a pour matrice : S =
sin θ − cos θ
~ de vecteur directeur ~u avec mes([
~i, ~u) = θ
f est alors la réflexion par rapport à la droite D
2
Proposition 1
Soit r ∈ SO(P~ ) une rotation d’angle de mesure θ,
[
~u, ~v deux vecteurs unitaires avec mes(~
u, ~v ) =
s~u (resp. s~v ) la réflexion par rapport à la droite de vecteur directeur ~u (resp. ~v ). On a :
θ
et
2
r = s~v ◦ s~u
L’ensemble des réflexions engendre O(P~ )
1.3
Matrice orthogonales
M ∈ M2 (R) est orthogonale si et seulement si t M M = I2 où I2 est la matrice identité de M2 (R).
Proposition 2 M ∈ M2 (R) est orthogonale si et seulement si l’endomorphisme f de matrice M dans la base
(~i, ~j) est un endomorphisme orthogonal.
Soit O2 (R) l’ensemble des matrices orthogonales : O2 (R) est un sous-groupe de GL2 (R).
Groupe spécial orthogonal : c’est le sous-groupe de O2 (R) des matrices des rotations :
a −b
SO2 (R) = {
∈ M2 (R), (a, b) ∈ R2 , a2 + b2 = 1}
b
a
Si M ∈ SO2 (R), det M = 1
On définit aussi :
a
b
SO2− (R) = {
∈ M2 (R), (a, b) ∈ R2 , a2 + b2 = 1}
b −a
Si M ∈ SO2− (R), det M = −1
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Endomorphismes orthogonaux de l’Espace
~ un espace vectoriel euclidien de dimension 3 orienté rapporté à une base orthonormée directe
Soit E
B0 = (~i, ~j, ~k).
~ le groupe des endomorphismes orthogonaux,
Soit O(E)
~
~ l’ensemble des isométries vectorielles négatives.
SO(E) le sous-groupe des rotations et SO− (E)
− ~
~
~
~ det(f ) = −1}.
SO(E) = {f ∈ O(E), det(f ) = 1}, SO (E) = {f ∈ O(E),
~ de matrice M dans la base B0 . M = (aij ) 1≤i≤3 et soit C1 , C2 , C3 les vecteurs colonnes de M ,
Soit f ∈ L(E)
1≤j≤3


a1j
Cj =  a2j  pour j ∈ {1, 2, 3}
a3j
2.1
Rotations
~ si et seulement si f (~i), f (~j), f (~k) est une base orthonormée directe de E
~
f ∈ SO(E)
~ si et seulement si t C1 C1 =t C2 C2 = 1, t C1 C2 = 0 et C1 ∧ C2 = C3 .
f ∈ SO(E)
t
~ (rotation d’angle plat)
• Si M = M
Alors f = 
idE~ ou f estun demi-tour d’axe D
a11 + 1
~
et ~u  a12  est un vecteur directeur de D
a13


1
0
0
~ =D
~ ⊕D
~ ⊥ f admet la matrice réduite :  0 −1
0 
Dans une base orthonormée adaptée à E
0
0
−1


0 −c
b
0 −a 
• Si t M 6= M et M − t M =  c
−b
a
0


a
~ orienté par le vecteur ~u  b 
alors
f est la rotation d’axe D
c
et d’angle de mesure principale θ ∈]0, π[ avec 1 + 2 cos θ = trM
~ =D
~
~⊥
Dans une base orthonormée directe
adaptée à E
 ⊕D

1
0
0
f admet la matrice réduite :  0 cos θ − sin θ 
0 sin θ
cos θ
~
Eléments de SO− (E)
2.2
~ si et seulement si f (~i), f (~j), f (~k) est une base orthonormée indirecte de E
~
f ∈ SO− (E)
~ se note aussi O− (E))
~
(SO− (E)
− ~
f ∈ SO (E) si et seulement si t C1 C1 =t C2 C2 = 1, t C1 C2 = 0 et C1 ∧ C2 = −C3 .
2.2.1
Réflexion
Si t M = M Alors f est la réflexion par rapport au plan P~ d’équation (a11 − 1)x + a12 y + a13 z = 0
~ = P~ ⊕ P~ ⊥
Dans une base orthonormée adaptée
à E


1 0
0
0 
f admet la matrice réduite :  0 1
0 0 −1
~
L’ensemble des réflexions engendre O(E)
2.2.2
Symétries gauches
~ f admet alors une
Si M 6= M Alors f est une symétrie gauche c’est à dire que −f est une rotation d’axe D,
~ ⊥ , s ~ est la réflexion par rapport au plan
décomposition unique de la forme : f = rθ ◦ sP~ = sP~ ◦ rθ avec P~ = D
P
~ (l’angle de −f est égal à θb + p où p est l’angle plat et θb est l’angle de rθ ).
P~ et rθ est une rotation d’axe D


−1
0
0
~ =D
~ ⊕ P~ f admet la matrice réduite :  0 cos θ − sin θ 
Dans une base orthonormée directe adaptée à E
0 sin θ
cos θ
~
où θ est une mesure de l’angle de f pour une orientation de D.
t
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