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Endomorphismes orthogonaux en dimension 2 et 3
1 Endomorphismes orthogonaux du Plan
Soit ~
Pun plan vectoriel euclidien orient´e rapport´e `a une base orthonorm´ee directe (
~
i,~
j).
Soit O(~
P) le groupe des endomorphismes orthogonaux,
SO(~
P) le sous-groupe des rotations et SO(~
P) l’ensemble des isom´etries vectorielles n´egatives.
SO(~
P) = {fO(~
P),det(f) = 1},SO(~
P) = {fO(~
P),det(f) = 1}
1.1 Rotations
Soit fL(~
P), fSO(~
P) si et seulement si la matrice de fdans (
~
i,~
j) est de la forme :
R=ab
b a avec (a, b)R2, a2+b2= 1.
Il existe un unique θ]π, π] tel que : a= cos θ, b = sin θ,fa pour matrice : R=cos θsin θ
sin θcos θ
fest la rotation d’angle de mesure principale θ
Si θ= 0 alors f= Id et si θ=πalors f=Id
1.2 R´eflexions
Soit fL(~
P), fSO(~
P) si et seulement si la matrice de fdans (
~
i,~
j) est de la forme :
S=a b
baavec (a, b)R2, a2+b2= 1.
Il existe un unique θ]π, π] tel que : a= cos θ, b = sin θ,fa pour matrice : S=cos θsin θ
sin θcos θ
fest alors la r´eflexion par rapport `a la droite ~
Dde vecteur directeur ~u avec mes [
(
~
i, ~u) = θ
2
Proposition 1
Soit rSO(~
P)une rotation d’angle de mesure θ,~u,~v deux vecteurs unitaires avec mes [
(~u, ~v) = θ
2et
s~u (resp. s~v ) la r´eflexion par rapport `a la droite de vecteur directeur ~u (resp. ~v). On a :
r=s~v s~u
L’ensemble des r´eflexions engendre O(~
P)
1.3 Matrice orthogonales
MM2(R) est orthogonale si et seulement si tMM =I2o`u I2est la matrice identit´e de M2(R).
Proposition 2 MM2(R)est orthogonale si et seulement si l’endomorphisme fde matrice Mdans la base
(
~
i,~
j)est un endomorphisme orthogonal.
Soit O2(R) l’ensemble des matrices orthogonales : O2(R) est un sous-groupe de GL2(R).
Groupe sp´ecial orthogonal : c’est le sous-groupe de O2(R) des matrices des rotations :
SO2(R) = {ab
b a M2(R),(a, b)R2, a2+b2= 1}
Si MSO2(R),det M= 1
On d´efinit aussi :
SO
2(R) = {a b
baM2(R),(a, b)R2, a2+b2= 1}
Si MSO
2(R),det M=1
LGT Baimbridge 1 C.Susset
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2 Endomorphismes orthogonaux de l’Espace
Soit ~
Eun espace vectoriel euclidien de dimension 3 oriene rapport´e `a une base orthonorm´ee directe
B0= (
~
i,~
j, ~
k).
Soit O(~
E) le groupe des endomorphismes orthogonaux,
SO(~
E) le sous-groupe des rotations et SO(~
E) l’ensemble des isom´etries vectorielles n´egatives.
SO(~
E) = {fO(~
E),det(f) = 1},SO(~
E) = {fO(~
E),det(f) = 1}.
Soit f∈ L(~
E) de matrice Mdans la base B0.M= (aij )1i3
1j3
et soit C1, C2, C3les vecteurs colonnes de M,
Cj=
a1j
a2j
a3j
pour j∈ {1,2,3}
2.1 Rotations
fSO(~
E) si et seulement si f(
~
i), f(~
j), f(~
k)est une base orthonorm´ee directe de ~
E
fSO(~
E) si et seulement si tC1C1=tC2C2= 1,tC1C2= 0 et C1C2=C3.
Si tM=MAlors f= id~
Eou fest un demi-tour d’axe ~
D(rotation d’angle plat)
et ~u
a11 + 1
a12
a13
est un vecteur directeur de ~
D
Dans une base orthonorm´ee adapt´ee `a ~
E=~
D~
Dfadmet la matrice r´eduite :
1 0 0
01 0
0 0 1
Si tM6=Met MtM=
0c b
c0a
b a 0
alors fest la rotation d’axe ~
Dorient´e par le vecteur ~u
a
b
c
et d’angle de mesure principale θ]0, π[ avec 1 + 2 cos θ= trM
Dans une base orthonorm´ee directe adapt´ee `a ~
E=~
D~
D
fadmet la matrice r´eduite :
1 0 0
0 cos θsin θ
0 sin θcos θ
2.2 El´ements de SO(~
E)
fSO(~
E) si et seulement si f(
~
i), f(~
j), f(~
k)est une base orthonorm´ee indirecte de ~
E
(SO(~
E) se note aussi O(~
E))
fSO(~
E) si et seulement si tC1C1=tC2C2= 1,tC1C2= 0 et C1C2=C3.
2.2.1 R´eflexion
Si tM=MAlors fest la r´eflexion par rapport au plan ~
Pd’´equation (a11 1)x+a12y+a13 z= 0
Dans une base orthonorm´ee adapt´ee `a ~
E=~
P~
P
fadmet la matrice r´eduite :
1 0 0
0 1 0
0 0 1
L’ensemble des r´eflexions engendre O(~
E)
2.2.2 Sym´etries gauches
Si tM6=MAlors fest une sym´etrie gauche c’est `a dire que fest une rotation d’axe ~
D,fadmet alors une
d´ecomposition unique de la forme : f=rθs~
P=s~
Prθavec ~
P=~
D,s~
Pest la r´eflexion par rapport au plan
~
Pet rθest une rotation d’axe ~
D(l’angle de fest ´egal `a b
θ+po`u pest l’angle plat et b
θest l’angle de rθ).
Dans une base orthonorm´ee directe adapt´ee `a ~
E=~
D~
P f admet la matrice r´eduite :
1 0 0
0 cos θsin θ
0 sin θcos θ
o`u θest une mesure de l’angle de fpour une orientation de ~
D.
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