MP Endomorphismes orthogonaux en dimension 2 et 3 — 1 Endomorphismes orthogonaux du Plan Soit P~ un plan vectoriel euclidien orienté rapporté à une base orthonormée directe (~i, ~j). Soit O(P~ ) le groupe des endomorphismes orthogonaux, SO(P~ ) le sous-groupe des rotations et SO− (P~ ) l’ensemble des isométries vectorielles négatives. SO(P~ ) = {f ∈ O(P~ ), det(f ) = 1}, SO− (P~ ) = {f ∈ O(P~ ), det(f ) = −1} 1.1 Rotations Soit f ∈ L(P~ ), f ∈ SO(P~ ) si et seulement si la matrice de f dans (~i, ~j) est de la forme : a −b R= avec (a, b) ∈ R2 , a2 + b2 = 1. b a cos θ Il existe un unique θ ∈] − π, π] tel que : a = cos θ, b = sin θ, f a pour matrice : R = sin θ f est la rotation d’angle de mesure principale θ Si θ = 0 alors f = Id et si θ = π alors f = −Id 1.2 − sin θ cos θ Réflexions Soit f ∈ L(P~ ), f ∈ SO− (P~ ) si et seulement si la matrice de f dans (~i, ~j) est de la forme : a b S= avec (a, b) ∈ R2 , a2 + b2 = 1. b −a cos θ sin θ Il existe un unique θ ∈] − π, π] tel que : a = cos θ, b = sin θ, f a pour matrice : S = sin θ − cos θ ~ de vecteur directeur ~u avec mes([ ~i, ~u) = θ f est alors la réflexion par rapport à la droite D 2 Proposition 1 Soit r ∈ SO(P~ ) une rotation d’angle de mesure θ, [ ~u, ~v deux vecteurs unitaires avec mes(~ u, ~v ) = s~u (resp. s~v ) la réflexion par rapport à la droite de vecteur directeur ~u (resp. ~v ). On a : θ et 2 r = s~v ◦ s~u L’ensemble des réflexions engendre O(P~ ) 1.3 Matrice orthogonales M ∈ M2 (R) est orthogonale si et seulement si t M M = I2 où I2 est la matrice identité de M2 (R). Proposition 2 M ∈ M2 (R) est orthogonale si et seulement si l’endomorphisme f de matrice M dans la base (~i, ~j) est un endomorphisme orthogonal. Soit O2 (R) l’ensemble des matrices orthogonales : O2 (R) est un sous-groupe de GL2 (R). Groupe spécial orthogonal : c’est le sous-groupe de O2 (R) des matrices des rotations : a −b SO2 (R) = { ∈ M2 (R), (a, b) ∈ R2 , a2 + b2 = 1} b a Si M ∈ SO2 (R), det M = 1 On définit aussi : a b SO2− (R) = { ∈ M2 (R), (a, b) ∈ R2 , a2 + b2 = 1} b −a Si M ∈ SO2− (R), det M = −1 LGT Baimbridge 1 C.Susset MP 2 Endomorphismes orthogonaux de l’Espace ~ un espace vectoriel euclidien de dimension 3 orienté rapporté à une base orthonormée directe Soit E B0 = (~i, ~j, ~k). ~ le groupe des endomorphismes orthogonaux, Soit O(E) ~ ~ l’ensemble des isométries vectorielles négatives. SO(E) le sous-groupe des rotations et SO− (E) − ~ ~ ~ ~ det(f ) = −1}. SO(E) = {f ∈ O(E), det(f ) = 1}, SO (E) = {f ∈ O(E), ~ de matrice M dans la base B0 . M = (aij ) 1≤i≤3 et soit C1 , C2 , C3 les vecteurs colonnes de M , Soit f ∈ L(E) 1≤j≤3 a1j Cj = a2j pour j ∈ {1, 2, 3} a3j 2.1 Rotations ~ si et seulement si f (~i), f (~j), f (~k) est une base orthonormée directe de E ~ f ∈ SO(E) ~ si et seulement si t C1 C1 =t C2 C2 = 1, t C1 C2 = 0 et C1 ∧ C2 = C3 . f ∈ SO(E) t ~ (rotation d’angle plat) • Si M = M Alors f = idE~ ou f estun demi-tour d’axe D a11 + 1 ~ et ~u a12 est un vecteur directeur de D a13 1 0 0 ~ =D ~ ⊕D ~ ⊥ f admet la matrice réduite : 0 −1 0 Dans une base orthonormée adaptée à E 0 0 −1 0 −c b 0 −a • Si t M 6= M et M − t M = c −b a 0 a ~ orienté par le vecteur ~u b alors f est la rotation d’axe D c et d’angle de mesure principale θ ∈]0, π[ avec 1 + 2 cos θ = trM ~ =D ~ ~⊥ Dans une base orthonormée directe adaptée à E ⊕D 1 0 0 f admet la matrice réduite : 0 cos θ − sin θ 0 sin θ cos θ ~ Eléments de SO− (E) 2.2 ~ si et seulement si f (~i), f (~j), f (~k) est une base orthonormée indirecte de E ~ f ∈ SO− (E) ~ se note aussi O− (E)) ~ (SO− (E) − ~ f ∈ SO (E) si et seulement si t C1 C1 =t C2 C2 = 1, t C1 C2 = 0 et C1 ∧ C2 = −C3 . 2.2.1 Réflexion Si t M = M Alors f est la réflexion par rapport au plan P~ d’équation (a11 − 1)x + a12 y + a13 z = 0 ~ = P~ ⊕ P~ ⊥ Dans une base orthonormée adaptée à E 1 0 0 0 f admet la matrice réduite : 0 1 0 0 −1 ~ L’ensemble des réflexions engendre O(E) 2.2.2 Symétries gauches ~ f admet alors une Si M 6= M Alors f est une symétrie gauche c’est à dire que −f est une rotation d’axe D, ~ ⊥ , s ~ est la réflexion par rapport au plan décomposition unique de la forme : f = rθ ◦ sP~ = sP~ ◦ rθ avec P~ = D P ~ (l’angle de −f est égal à θb + p où p est l’angle plat et θb est l’angle de rθ ). P~ et rθ est une rotation d’axe D −1 0 0 ~ =D ~ ⊕ P~ f admet la matrice réduite : 0 cos θ − sin θ Dans une base orthonormée directe adaptée à E 0 sin θ cos θ ~ où θ est une mesure de l’angle de f pour une orientation de D. t LGT Baimbridge 2 C.Susset