Endomorphismes orthogonaux : Cours de mathématiques

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Endomorphismes orthogonaux en dimension 2 et 3
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1 Endomorphismes orthogonaux du Plan
Soit ~ Pun plan vectoriel euclidien orient´e rapport´e `a une base orthonorm´ee directe (
~
i,~ j).
Soit O(~ P) le groupe des endomorphismes orthogonaux,
SO(~ P) le sous-groupe des rotations et SO−(~ P) l’ensemble des isom´etries vectorielles n´egatives.
SO(~ P) = {f∈O(~ P),det(f) = 1},SO−(~ P) = {f∈O(~ P),det(f) = −1}
1.1 Rotations
Soit f∈L(~ P), f∈SO(~ P) si et seulement si la matrice de fdans (
~
i,~ j) est de la forme :
R=a−b
b a avec (a, b)∈R2, a2+b2= 1.
Il existe un unique θ∈]−π, π] tel que : a= cos θ, b = sin θ,fa pour matrice : R=cos θ−sin θ
sin θcos θ
fest la rotation d’angle de mesure principale θ
Si θ= 0 alors f= Id et si θ=πalors f=−Id
1.2 R´eflexions
Soit f∈L(~ P), f∈SO−(~ P) si et seulement si la matrice de fdans (
~
i,~ j) est de la forme :
S=a b
b−aavec (a, b)∈R2, a2+b2= 1.
Il existe un unique θ∈]−π, π] tel que : a= cos θ, b = sin θ,fa pour matrice : S=cos θsin θ
sin θ−cos θ
fest alors la r´eflexion par rapport `a la droite ~ Dde vecteur directeur ~u avec mes [ (
~
i, ~u) = θ
2
Proposition 1
Soit r∈SO(~ P)une rotation d’angle de mesure θ,~u,~v deux vecteurs unitaires avec mes [ (~u, ~v) = θ
2et
s~u (resp. s~v ) la r´eflexion par rapport `a la droite de vecteur directeur ~u (resp. ~v). On a :
r=s~v ◦s~u
L’ensemble des r´eflexions engendre O(~ P)
1.3 Matrice orthogonales
M∈M2(R) est orthogonale si et seulement si tMM =I2o`u I2est la matrice identit´e de M2(R).
Proposition 2 M∈M2(R)est orthogonale si et seulement si l’endomorphisme fde matrice Mdans la base
(
~
i,~ j)est un endomorphisme orthogonal.
Soit O2(R) l’ensemble des matrices orthogonales : O2(R) est un sous-groupe de GL2(R).
Groupe sp´ecial orthogonal : c’est le sous-groupe de O2(R) des matrices des rotations :
SO2(R) = {a−b
b a ∈M2(R),(a, b)∈R2, a2+b2= 1}
Si M∈SO2(R),det M= 1
On d´efinit aussi :
SO−
2(R) = {a b
b−a∈M2(R),(a, b)∈R2, a2+b2= 1}
Si M∈SO−
2(R),det M=−1
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2 Endomorphismes orthogonaux de l’Espace
Soit ~ Eun espace vectoriel euclidien de dimension 3 orient´e rapport´e `a une base orthonorm´ee directe
B0= (
~
i,~ j, ~ k).
Soit O(~ E) le groupe des endomorphismes orthogonaux,
SO(~ E) le sous-groupe des rotations et SO−(~ E) l’ensemble des isom´etries vectorielles n´egatives.
SO(~ E) = {f∈O(~ E),det(f) = 1},SO−(~ E) = {f∈O(~ E),det(f) = −1}.
Soit f∈ L(~ E) de matrice Mdans la base B0.M= (aij )1≤i≤3
1≤j≤3
et soit C1, C2, C3les vecteurs colonnes de M,
Cj=
a1j
a2j
a3j
pour j∈ {1,2,3}
2.1 Rotations
f∈SO(~ E) si et seulement si f(
~
i), f(~ j), f(~ k)est une base orthonorm´ee directe de ~ E
f∈SO(~ E) si et seulement si tC1C1=tC2C2= 1,tC1C2= 0 et C1∧C2=C3.
•Si tM=MAlors f= id~
Eou fest un demi-tour d’axe ~
D(rotation d’angle plat)
et ~u 
a11 + 1
a12
a13
est un vecteur directeur de ~
D
Dans une base orthonorm´ee adapt´ee `a ~ E=~ D⊕~ D⊥fadmet la matrice r´eduite : 
1 0 0
0−1 0
0 0 −1
•Si tM6=Met M−tM=
0−c b
c0−a
−b a 0
alors fest la rotation d’axe ~ Dorient´e par le vecteur ~u 
a
b
c
et d’angle de mesure principale θ∈]0, π[ avec 1 + 2 cos θ= trM
Dans une base orthonorm´ee directe adapt´ee `a ~ E=~ D⊕~ D⊥
fadmet la matrice r´eduite : 
1 0 0
0 cos θ−sin θ
0 sin θcos θ
2.2 El´ements de SO−(~ E)
f∈SO−(~ E) si et seulement si f(
~
i), f(~ j), f(~ k)est une base orthonorm´ee indirecte de ~ E
(SO−(~ E) se note aussi O−(~ E))
f∈SO−(~ E) si et seulement si tC1C1=tC2C2= 1,tC1C2= 0 et C1∧C2=−C3.
2.2.1 R´eflexion
Si tM=MAlors fest la r´eflexion par rapport au plan ~ Pd’´equation (a11 −1)x+a12y+a13 z= 0
Dans une base orthonorm´ee adapt´ee `a ~ E=~ P⊕~ P⊥
fadmet la matrice r´eduite : 
1 0 0
0 1 0
0 0 −1
L’ensemble des r´eflexions engendre O(~ E)
2.2.2 Sym´etries gauches
Si tM6=MAlors fest une sym´etrie gauche c’est `a dire que −fest une rotation d’axe ~ D,fadmet alors une
d´ecomposition unique de la forme : f=rθ◦s~
P=s~ P◦rθavec ~
P=~ D⊥,s~
Pest la r´eflexion par rapport au plan
~
Pet rθest une rotation d’axe ~ D(l’angle de −fest ´egal `a b θ+po`u pest l’angle plat et b θest l’angle de rθ).
Dans une base orthonorm´ee directe adapt´ee `a ~ E=~ D⊕~ P f admet la matrice r´eduite : 
−1 0 0
0 cos θ−sin θ
0 sin θcos θ
o`u θest une mesure de l’angle de fpour une orientation de ~ D.
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