Lyon 1 Semestre de printemps 2012-2013 Math IV - PMI

Universit´e Claude Bernard - Lyon 1 Semestre de printemps 2012-2013
Math IV - PMI - Alg`ebre
Feuille d’exercices num´ero 3
Angles obtus - Gram - Espaces euclidiens de polynˆomes - Applications des projections orthogonales
Exercice 1
Dans tout l’exercice, on se place dans E, espace euclidien de dimension finie n.
On dira qu’une famille (v0, v1,...,vp) de vecteurs de Eest obtusangle lorsque pour tous i6=jdans
{0,...,p}:
hvi|vji<0.
1) Dessiner une famille obtusangle form´ee de trois vecteurs d’un mˆeme plan.
2) Soit (v0, v1,...,vp) une famille obtusangle de vecteurs de E. Montrer que pour tous r´eels α0, α1,...,αp:
k
p
X
i=0
|αi|vik2≤ k
p
X
i=0
αivik2.
3) L’objectif de la question est de montrer que pour tous vecteurs v0, v1...,vpde E:
(v0, v1, . . . , vp) est obtusangle ⇒(v1,...,vp) est libre.
Pour montrer cet ´enonc´e, on prend λ1,...,λpdes r´eels tels que λ1v1+···+λpvp= 0.
On note A={i|λi>0},B={j|λj≤0}et u=X
i∈A
λivi.
a) Montrer que u=−X
j∈B
λjvj.
b) En ´ecrivant que :
kuk2=−hX
i∈A
λivi|X
j∈B
λjvji,
montrer que u= 0.
c) En calculant hv0|ui, montrer que λ1=...=λp= 0 et conclure.
4) Soit (v0, v1,...,vn) une famille obtusangle form´ee de n+ 1 vecteurs de E(on rappelle que nd´esigne la
dimension de l’espace E).
a) En utilisant le 3), montrer que (v1,...,vn) est une base de E.
b) On note µ1,...,µnles coordonn´ees de v0dans la base (v1,...,vn).
En appliquant le 2) `a α0=−1, α1=µ1,...,αn=µn, montrer que pour tout ientre 1 et nle r´eel µi
est n´egatif ou nul.
Exercice 2
(Cet exercice prolonge et compl`ete le 5 de la fiche 1).
On travaille dans Eespace euclidien. Pour (v1,...,vk) famille dans E, le d´eterminant de Gram est par
d´efinition le d´eterminant de la matrice :
G(v1,···, vk) = 
< v1, v1> . . . < v1, vk>
.
.
..
.
.
< vk, v1> . . . < vk, vk>
On rappelle avoir montr´e il y a quelques semaines que si la famille est li´ee, alors son Gram est nul.
1) On suppose (v1,...,vk) libre. Montrer que son Gram est strictement positif.
Dans la suite, on supposera que (v1,...,vk) est libre, et on notera Fle sous-espace vectoriel de Equ’ils
engendrent, et pFla projection orthogonale sur F.

2) Soit xun vecteur de E, et Ala matrice-colonne (k, 1) des coordonn´ees de pF(x) dans F. Montrer que :
G(v1,···, vk)×A=
< x, v1>
< x, v2>
.
.
.
< x, vk>
.
3) En d´eduire que pour tout xde E:
d2(x, F ) = det G(v1,...,vk, x)
det G(v1,...,vk).
4) Soit (u1,···, ul) une famille de vecteurs de E. Montrer que :
det G(u1,···, ul)≤ ku1k2· ku2k2···kulk2.
(On fera une r´ecurrence sur l≥1 et on utilisera la question pr´ec´edente).
Exercice 3
1) Soit Eun espace vectoriel de dimension n,e= (e1,...,en) et f= (f1,...,fn) deux bases de Eet
u= (u1,...,un) une famille de nvecteurs de E. Montrer que :
det
e(u1,...,un) = det
e(f1,...,fn)·det
f(u1,...,un).
2) Dans cette question et toutes celles qui suivent, on suppose que Eest un espace vectoriel euclidien de
dimension n. Soit e= (e1,...,en) et f= (f1,...,fn) deux bases orthonorm´ees de E. En remarquant que la
matrice de passage de l’une `a l’autre est une matrice orthogonale, montrer que :
det
e(f1,...,fn) = ±1.
3) Soit u= (u1,...,un) une famille de nvecteurs de Eet e= (e1,...,en) une base orthonorm´ee. Montrer :
Vol(u1,...,un) = |det
e(u1,...,un)|
(le “volume” du parall´el´epip`ede construit sur u) est ind´ependant de la base orthonorm´ee eutilis´ee.
4) Soit (u1,...,un) une famille de nvecteurs d’un espace euclidien de dimension n. Montrer que :
det G(u1,...,un) = Vol2(u1,...,un).
Exercice 4
Dans cet exercice, on note Cl’espace vectoriel des fonctions continues de [−1,1] vers R.
Pour uet vdans C, on pose :
hu|vi=Z1
−1
u(t)v(t)p1−t2dt.
1) Montrer que h | i est un produit scalaire (d´efini positif) sur C.
2) a) Montrer que pour tout m≥0 et tout ϕr´eel :
sin[(m+ 2)ϕ] = 2 cos ϕsin[(m+ 1)ϕ]−sin(mϕ).
b) Expliciter un polynˆome constant U0et un polynˆome U1de degr´e 1 tels que pour tout ϕ∈R\πZ:
U0(cos ϕ) = sin ϕ
sin ϕet U1(cos ϕ) = sin(2ϕ) sin ϕ.

c) Montrer, en effectuant une r´ecurrence forte sur n≥0 que pour tout n≥0, il existe un polynˆome Un
de degr´e ntel que, pour tout ϕ∈R\πZ:
Un(cos ϕ) = sin[(n+ 1)ϕ]
sin ϕ.
3) a) Montrer que pour i6=j,Uiet Ujsont orthogonaux pour le produit scalaire h | i.
Indication : dans l’int´egrale `a calculer, on effectuera le changement de variables ϕ= Arccos t.
b) Par le mˆeme changement de variable, calculer kUnk.
Exercice 5
Soit fcontinue de [−π, π] vers R. En d´efinissant sur un espace `a bien choisir un produit scalaire par la
formule :
< u, v >=Zπ
−π
u(t)v(t)dt
puis une projection judicieuse, orthogonale vis-`a-vis de ce produit scalaire, ´etablir des formules calculant `a
partir de fles r´eels a,bet cpour lesquels
Zπ
−π
(f(t)−a−bsin t−ccos t)2dt est minimal.
Application num´erique : d´eterminer Inf
a, b, c∈RZπ
−π
(t−a−bsin t−ccos t)2dt.
Exercice 6
Soit Eun espace euclidien de dimension finie not´ee n+ 1 et Fun sous-espace de E.
1) Pour x´el´ement de E, on pose q(x) = d2(x, F )
n+ 1 . Montrer que qest une forme quadratique positive sur E
et qu’elle est d´efinie positive si et seulement si Fest r´eduit `a {0}.
2) Dans cette question E=Rn+1 avec le produit scalaire usuel et Fest la droite engendr´ee par (1,...,1).
On note Var la forme quadratique d´ecrite `a la question pr´ec´edente et Cov la forme bilin´eaire associ´ee.
Pour x= (x0,...,xn) dans Rn+1, expliciter des formules fournissant sa projection orthogonale sur Fpuis
le r´eel positif Var(x).
3) On note πla projection orthogonale sur F⊥. En remarquant que Var(x) = kπ(x)k2et en appliquant
intelligemment le cas d’´egalit´e de Cauchy-Schwarz (cf. fiche 2 exercice 5), montrer que pour tous x,ypas
dans F:
−1≤Cov(x, y)
pVar(x)pVar(y)≤1
et que le quotient ci-dessus vaut ±1 si et seulement si (x, y, (1,...,1)) est li´e, c’est-`a-dire si et seulement si
il existe aet br´eels tels que pour tout i∈ {0,...,n},yi=axi+b.
Exercice 7
On fixe n+ 1 points Pi= (ui, vi) de R2(0 ≤i≤n) o`u on suppose les uideux `a deux distincts et les videux
`a deux distincts.
1) Dans Rn+1 on note :
Π = {(t0, t1,...,tn)∈Rn+1 |((u0, t0),(u1, t1),...,(un, tn)) align´es}.
Montrer que Π est un sous-espace de Rn+1 et qu’une base de Π est (e0, e1) o`u e0= (1,1,...,1) et e1=
(u0, u1,...,un).
2) On appelle droite de r´egression de Yen Xpour les points Pila droite (non verticale) ∆ d’´equation
y=ax +bqui minimise la quantit´e :

n
X
i=0
(vi−aui−b)2.
Expliquer pourquoi trouver ∆ revient `a d´eterminer la projection orthogonale de (v0, v1,...,vn) sur Π dans
Rn+1 (muni de son produit scalaire usuel).
3) Expliciter la base orthonorm´ee (ǫ0, ǫ1) obtenue par application `a (e0, e1) du proc´ed´e de Gram-Schmidt.
4) ` A partir des formules de la question pr´ec´edente, ´ecrire une expression de la projection orthogonale de
(v0, v1,...,vn) sur Π, et conclure en constatant que l’´equation de ∆ est :
y−v=Cov(u, v)
Var(u)(x−u)
dans laquelle formule Var et Cov sont d´efinies `a l’exercice pr´ec´edent, uet vsont les moyennes arithm´etiques
respectives des composantes de (u0, u1,...,un) et (v0, v1,...,vn).
5) On appelle droite de r´egression de Xen Ypour les points Pila droite (non horizontale) ∆ d’´equation
x=αy +βqui minimise la quantit´e :
n
X
i=0
(ui−αvi−β)2.
Quelle est l’´equation de ∆′?
En utilisant l’exercice pr´ec´edent, montrer que ∆ = ∆′si et seulement si les points Pisont align´es, et que
lorsque les points Pine sont pas align´es, les deux droites ∆ et ∆′se rencontrent en un point. Lequel ?
Exercice 8
Soit Eet E′deux espaces vectoriels de dimension finie et soit iune application lin´eaire injective de Edans
E′. On notera F⊂E′l’image de i.
1) a) Montrer qu’il existe au moins une application lin´eaire sde E′vers Etelle que s◦i= IdE.
b) Montrer que i◦sest un projecteur, d’image F.
c) Dans cette sous-question, on suppose dim E < dim E′. Montrer que sn’est pas unique.
2) Dans cette question on suppose l’espace E′euclidien.
a) Montrer qu’il existe un et un seul squi v´erifie s◦i= IdEet pour lequel le projecteur i◦sest un
projecteur orthogonal. On l’appelle le pseudo-inverse (ou inverse g´en´eralis´e) de l’injection i.
b) Montrer que ce sremarquable peut ˆetre caract´eris´e comme suit : “Pour tout yde E′,s(y) est l’unique
ant´ec´edent de ypar is’il existe ; `a d´efaut c’est le xde Epour lequel i(x) est le plus proche possible de
y”.
3) Dans cette question, on suppose les deux espaces Eet E′euclidiens et munis de bases orthonorm´ees. On
note nla dimension de E,mla dimension de E′, et Ala matrice (m, n) de idans les bases orthonorm´ees de
r´ef´erence.
a) Pour Xmatrice-colonne (n, 1), montrer que AX 6= 0 et en d´eduire que t X(t AA)X > 0. En d´eduire
que t AA peut ˆetre interprˆet´ee comme la matrice d’une forme quadratique d´efinie positive, puis que t AA
est inversible.
b) Montrer qu’un projecteur de E′est un projecteur orthogonal si et seulement si sa matrice (dans la
base orthonorm´ee de r´ef´erence) est sym´etrique.
c) On note B= (t AA)−1×t A.
V´erifier que BA =I, que (AB)2=AB et que AB est une matrice sym´etrique. En d´eduire que Best la
matrice du pseudo-inverse de i.
4) Soit (y1,...,yn) un syst`eme libre de nvecteurs de Rm,Fle sous-espace vectoriel qu’ils engendrent et A
la matrice (m, n) dont la j-`eme colonne est form´ee des composantes de yj.
On munit Rmdu produit scalaire usuel. ´ Ecrire une formule, d´eduite de la question pr´ec´edente, qui fournit
la matrice de la projection orthogonale sur F`a partir de la matrice A.