TD 2 Analyse 4

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SERIE N2 Intégrales dépendants d'un paramètre.
2018/2019
1
ENSA-ALHOCEIMA CP II
ANALYSE 4
SEMESTRE 2
Exercice 1 :
Calculer les limites des suites suivantes :
=
, =


, =


=


, =
 
, =

=

.
Exercice 2 :
Soit :→ ℝ une fonction continue bornée.
Etudier les limites des intégrales suivantes:
=()
, =()

et =()


.
Exercice 3 :
1- Montrer que: → 


=


.
2- En déduire que: →

=


Exercice 4 :
Pour (,)]0,1[×, on pose:
()=
 , =()
et ()=
.
1- Montrer que est intégrable sur ]0,1[ .
2- En déduire que pour tout ℕ , est intégrable sur ]0,1[ .
3- Montrer que la suite ()ℕ est convergente.
4- Etablir l'égalité suivante:
∀  =1
4
et en déduire que: =


Exercice 5 :
Considérons la fonction f définie sur
(
[
0
,
+
[
)
par :
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(,)=(1 + )
1 +
1) Etudier la dérivabilité de f par rapport à y sur [0,+[
et calculer 
(,).
2) Posons ()=(,)
a- Montrer que I est dérivable sur [0,+[ et calculer ′().
b- Montrer que :
I′()=(1 + )
2(1 + )+
(1 + )
3) En utilisant une intégration par parties, montrer que :

1 +  =
1
2(1 + )1
2(1 + )
(1 + )
4) En déduire ()
5) Donner la valeur de ()

.
Exercice 6 :
Soit :ℝ → définie par:
()=

.
1) Montrer que f est dérivable sur et calculer ′().
2) Calculer (0)
et déterminer lim→ () et lim→ ().
3) Posons ()=()
a- Montrer que g est dérivable sur et que:
′()=2
.
b- En déduire que:
∀ℝ: ()+
=
.
c- Conclure que:



=
.
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