SERIE N2 Intégrales dépendants d'un paramètre.
2018/2019
1
ENSA-ALHOCEIMA CP II
ANALYSE 4
SEMESTRE 2
Exercice 1 :
Calculer les limites des suites suivantes :
=∫
, =∫
, =∫
=∫
, =∫
, =∫
=∫
.
Exercice 2 :
Soit :ℝ→ ℝ une fonction continue bornée.
Etudier les limites des intégrales suivantes:
=∫()
, =∫()
et =∫()
.
Exercice 3 :
1- Montrer que: → ∫
=∫
.
2- En déduire que: →∫
=∫
Exercice 4 :
Pour (,)]0,1[×ℕ, on pose:
()=
, =∫()
et ()=
.
1- Montrer que est intégrable sur ]0,1[ .
2- En déduire que pour tout ℕ , est intégrable sur ]0,1[ .
3- Montrer que la suite ()ℕ est convergente.
4- Etablir l'égalité suivante:
∀ℕ∗ ∶ −=1
4
et en déduire que: =
∑
Exercice 5 :
Considérons la fonction f définie sur
(
[
0
,
+
∞
[
)
par :
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(,)=(1 + )
1 +
1) Etudier la dérivabilité de f par rapport à y sur [0,+∞[
et calculer
(,).
2) Posons ()=∫(,)
a- Montrer que I est dérivable sur [0,+∞[ et calculer ′().
b- Montrer que :
I′()=(1 + )
2(1 + )+
(1 + )
3) En utilisant une intégration par parties, montrer que :
1 + =
1
2∗(1 + )−1
2(1 + )
(1 + )
4) En déduire ()
5) Donner la valeur de ∫()
.
Exercice 6 :
Soit :ℝ → ℝ définie par:
()=∫
.
1) Montrer que f est dérivable sur ℝ et calculer ′().
2) Calculer (0)
et déterminer lim→ () et lim→ ().
3) Posons ()=()
a- Montrer que g est dérivable sur ℝ et que:
′()=−2∫
.
b- En déduire que:
∀ℝ: ()+∫
=
.
c- Conclure que:
∫
=
√
.
1
/
2
100%
