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TD 2 Analyse 4

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SERIE N2
Intégrales dépendants d'un paramètre. 2018/2019
ENSA-ALHOCEIMA
ANALYSE 4
CP II
SEMESTRE 2
Exercice 1 :
Calculer les limites des suites suivantes :
=∫
=∫
,
=∫
=
,
=∫
=∫
,
=∫
,
∫
.
Exercice 2 :
Soit : ℝ → ℝ une fonction continue bornée.
Etudier les limites des intégrales suivantes:
=∫
(
)
( )
=∫
,
( )
=∫
et
Exercice 3 :
1- Montrer que:
→
2- En déduire que:
=∫
∫
=∫
∫
→
.
Exercice 4 :
Pour ( , ) ]0,1[ × ℕ, on pose:
( )=
,
=∫
( )
et
( )=
.
1- Montrer que
est intégrable sur ]0,1[ .
2- En déduire que pour tout
ℕ,
est intégrable sur ]0,1[ .
3- Montrer que la suite ( ) ℕ
est convergente.
4- Etablir l'égalité suivante:
1
∀ ℕ∗ ∶
− =
4
et en déduire que:
= ∑
Exercice 5 :
Considérons la fonction f définie sur ([0, +∞[) par :
1
.
SERIE N2
Intégrales dépendants d'un paramètre. 2018/2019
(1 +
1+
( , )=
)
1) Etudier la dérivabilité de f par rapport à y sur [0, +∞[
et calculer ( , ).
( )=∫
2) Posons
( , )
a- Montrer que I est dérivable sur [0, +∞[ et calculer ′( ).
b- Montrer que :
(1 + )
I′( ) =
+
(1 + )
2(1 + )
3) En utilisant une intégration par parties, montrer que :
1+
=
1
2
∗
(1 +
(
)
)−
1
2
4) En déduire ( )
5) Donner la valeur de
∫
.
Exercice 6 :
Soit : ℝ → ℝ définie par:
( )=∫
.
1) Montrer que f est dérivable sur ℝ et calculer ′( ).
(0)
2) Calculer
( ) et lim →
( ).
et déterminer lim →
( )= ( )
3) Posons
a- Montrer que g est dérivable sur ℝ et que:
′( ) = −2
.
∫
b- En déduire que:
∀
c- Conclure que:
ℝ:
∫
( )+ ∫
=
2
√
= .
.
(1 + )
(1 + )
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