Analyse 4 : Intégrales dépendant d'un paramètre - Exercices

Université de Sousse A.U. 2021/2022
ESSTHS LMI2
Dépt. de Mathématiques Analyse 4
Série d’exercices 5
Intégrale dépendant d’un paramètre
On rappelle qu’en utilisant le cours et les exemples traités au cours, les étudiants devraient
savoir faire les exercices en TD.
Exercice 1
Pour x∈R, on pose F(x) = Z+∞
0
sin(xt)e−t2dt.
1. Montrer que Fest défnie sur R.
2. Montrer que Fest continue sur R.
Exercice 2
Pour x≥1, on pose F(x) = Zπ
0px+ cos(t)dt.
1. Vérifer que Fest bien défnie sur [1,+∞[.
2. Calculer F(1).
3. Montrer que Fest continue sur [1,+∞[.
Exercice 3
Montrer que la fonction Fdéfnie par F(x) = Z+∞
−∞
e−t2
x+t2dt est de classe C1sur ]0,+∞[.
Exercice 4
Montrer que la fonction Fdéfnie par F(x) = Z+∞
0
sin(xt)
et−1dt est de classe C1sur R.
1

Exercice 5
Pour x∈R, on pose F(x) = Z1
0
e−x2(1+t2)
1 + t2dt et G(x) = Zx
0
e−t2dt2 .
1. Montrer que Fest de classe C1sur Ret calculer F0.
2. Montrer que Gest de classe C1sur Ret calculer G0.
3. Montrer que la fonction F+Gest constante sur R.
4. Déterminer lim
x→+∞
F(x).
5. En déduire la valeur de l’intégrale de Gauss I=Z+∞
0
e−t2dt.
Exercice 6
Soit F(x) = Z+∞
0
arctan(tx)
t(1 + t2)dt.
1. Montrer que Fest définie sur R. Calculer F(0).
2. Montrer que Fest de classe C1sur R. Calculer F0(x)pour x∈[0,+∞[.
3. En déduire que pour tout x∈[0,+∞[,F(x) = π
2ln(x+ 1). Exprimer F(x)pour x∈R
.
4. En déduire que Z+∞
0arctan(t)
t2
dt =πln(2) .
Exercice 7
Pour x > −1, on pose F(x) = Zπ
2
0
ln(1 + xsin2t)dt.
1. Montrer que Fest continue sur ]−1,+∞[.
2. Établir que Fest dérivable sur ]−1,+∞[et donner l’expression de sa dérivée.
On pourra utiliser le changement de variable u= tan t.
3. En déduire que F(x) = π[ln(1 + √1 + x)−ln 2], x ∈]−1,+∞[.
Exercice 8
Soit F:x7→ Z+∞
1
e−xt
1 + t5dt.
1. Montrer que Fest de classe C1sur [0,+∞[et donner l’expression F0.
2. Préciser le sens de variations de F.
3. Montrer que lim
x→+∞
F(x) = 0.
2