Circuits monophasés : Grandeurs alternatives et sinusoïdales

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Chapitre 1
Etude des circuits monophasés
1- Grandeurs alternatives et sinusoïdales
1-1 Définitions des grandeurs périodiques – Alternatives –
sinusoïdales
A/ Grandeur périodique :
Une tension u est dite périodique, si sa valeur u à l’instant t est telle que
On appel :T la période de la tension u son unité est la second (s)
F=1/T est la fréquence ou le nombre de période par seconde, son unité
est le hertz (Hz).
B/ Grandeur alternative:
Une grandeur périodique est alternative, si la valeur instantanée u(t) est
tantôt positive, tantôt négative.
Si u(t) ne s’annule que deux fois par période, on appelle alternance
positive la partie de la période où elle est positive, alternance négative
celle ou est négative.
C/ Grandeur sinusoïdale :
Une tension u est sinusoïdale si elle a pour expression :
Um est l’amplitude maximale (volts) et est la pulsation en (rd/s) et
t+
u est la phase instantanée en (rd)
u est initiale en (rd). La pulsation
(rd/s) est relié à la période T(s) et
à la fréquence f(hz) par : =2. .f = 2. /T
1-2 Valeur efficace d’une grandeur périodique
On caractérise une grandeur périodique par sa valeur efficace : c’est la
racine carrée du carrée moyen
 dttu
T
tuU moyeff )(
1
))(( 22
Dans le cas particulier ou la forme du signal est sinusoïdal, la valeur
efficace est égale à l’amplitude maximale divisée par
2
. Donc si
u(t)=Umcos( .t + u ) alors :
2
m
eff U
U
Donc on peut écrire :
)cos(..2)( u tUtu
ou
)sin(..2)( u tUtu
t(s)
T
u
u(t)=u(t+T
).
u(t) =Umcos( .t + u ) où u(t)=Umsin( .t + u )
).
u
t(s)
u(V)
+Umax
-Umax

2
Remarque :
La notion de valeur efficace est directement liée à celle de puissance
moyenne. Si l’on considère, par exemple la puissance instantanée
dissipée par effet de joule dans une résistance R soumise à un courant
sinusoïdal i(t) : p(t)=R.i2(t).
La puissance moyenne est :
22 )()1()()1( RIdttiTRdttpTP   
On retrouve ainsi une formule identique à celle obtenue en considérant
un courant continu. On obtient donc la même puissance moyenne
dissipée dans une résistance R avec un courant continu I ou un courant
sinusoïdal de valeur efficace I
Exemple : On veut calculer l’amplitude (valeur de crête) de la tension
du réseau industriel de 220 Volts (valeur efficace), les valeurs de crête
et efficace du courant fourni à un radiateur électrique constitué par une
résistance de 40 et la puissance dissipée par effet de joule
- Amplitude max de la tension : Um =
2
. U  1, 41 .220 =311 V.
- Amplitude max du courant : Im =Um /R =7.78 A
- Valeur efficace du courant : Ieff = U/R = 220/40 =5.5 A
- Puissance : P = R .I2 = 40. 5.52= 1210 W.
1-3 Représentations des grandeurs sinusoïdale
1-3-1 Définition du déphasage et représentions graphique
Soit deux grandeurs sinusoïdales u(t) et u’(t) (par exemple deux
tensions) intervenant dans un même circuit avec :
U(t) = Um cos( .t + u) et U’(t) = U’m cos( .t + ’u).
Les valeurs des deux phases dépendent de l’origine des temps choisis.
En d’autres termes : l’origine des temps peut changer, à ce moment les
valeurs u et ’ u changent. Ce qui n’est pas intéressant. Par contre le
déphasage entre les deux tensions u et u’ est indépendant de l’origine
des temps choisis. Il reste toujours constant. Ce qui est important.
En électrotechnique la notion du déphasage est la différence entre la
phase de la tension et du courant.
On prend u comme origine des phases en comptant le temps à partir
d’un passage de u par Um :
On aura : u(t) = Um cos( t) et u’(t) = U’m cos( t+ )
Avec : = ‘u - u
On appelle  le déphasage de u par rapport à u’.
- Si  < 0  u’ est en retard de u (fig I.1).
- Cas particuliers ou  = -/2 ou /2 Arr  u’ est quadrature arrière
sur u (Fig I.2).
- Si  > 0  u’ est en avance de u ( Fig I.3).
- Cas particuliers ou  = /2 Av  u’ est quadrature avant sur u (Fig
I.4).
- Si  =   u et u’ sont en opposition de phase (Fig I.5).
- Si  = 0  u et u’ sont en phase (Fig I.6).
Fig I-1
Fig I-2
Fig I-3
Fig I-4
Fig I-5
Fig I-6

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1-3-2 Représentions vectorielle
Les deux grandeurs sinusoïdales u et u’ sont données par la projection
sur l’axe x’ox des
OM
et
ON
ayant pour longueurs Um et U’m. Ces
deux vecteurs sont déphasés entre eux de et tournent tous deux à la
même vitesse . Cette représentation est instantanée.
Puisque en générale la pulsation est constante. On peut faire
abstraction sur la vitesse, car elle ne modifie pas la figure que forment
OM
et
ON
. On représente à l’instant t =t0 par exemple par
0
OM
et
0
ON
Généralement en électrotechnique on définit les grandeurs par leur
valeur efficace. On donne aux vecteurs représentatif de u et u’ les
longueurs U et U’et on les notes
U
et
'U
. Les figures suivantes
présentent les deux cas ou le vecteur
'U
est en avance (respectivement en
arrière) par rapport au vecteur
U
.
Cas particulier :
1/ = /2 Av (quadrature avant) 2/ = /2 Arr(quadrature
arrière)
3/ = (Opposition de phase) 4/ = 0 (en phase)
1-3-3 Représentation complexe
Les vecteurs
OM
et
ON
peuvent être définis par les coordonnées de
leurs extrémités dans le plan complexe où x’ox est l’axe des réels, y’oy
l’axe des imaginaires comme le montre la figure suivante :
N
M
O
X
+
N0
M0
O
+
X
X’
O
U
'U
+ Avant
U
'U
X
X’
ARR
X
X’
O
/2
U
'U
X
X’
O
/2
U
'U
'U
U
=
U
'U
O
.
X

4
Les cordonnées du vecteur
OM
:
tU
tU
m
m
sin
cos
Les cordonnées du vecteur
ON
:
)sin(
)cos(
tU
tU
m
m
En grandeurs complexes instantanés, on définit les deux tensions par les
expressions suivantes :
)sin(cos)(
~tjtUtu m
u(et
))sin()(cos(')('
~
 tjtUtu m
or :
)(
)sin()cos(
sincos
tj
tj
etjt
etjt
donc
tj
m
tj
m
eUtu
eUtu
)('
~)(
~
Puisque la pulsation est constante, on peut faire abstraction sur la
rotation. Par conséquent, le facteur
tj
e
est commun à la représentation
de toutes grandeurs sinusoïdales du circuit et peut être simplifié. On
exprimera les deux tensions u et u’ par Um et
j
meU'
(appelé par
définition le phaseur)
En électrotechnique, on définit les valeurs efficaces complexe
par :
j
eUU
UU
''
Représentation complexe en valeurs efficaces
La méthode de calcul des circuits électrique en régime permanent
sinusoïdal consiste à remplacer dans les équations tous les grandeurs
par les phaseurs correspondants Ceux-ci contiennent l’information
essentielle de la valeur efficace et du déphasage par rapport à l’origine
des temps choisis. La description du circuit est ainsi ramenée à des
relations algébriques entre des amplitudes complexes et le calcul du
régime permanent revient à la résolution d’un système d’équations
algébriques linéaire.
O
N
M
X
t
Y
X
Y
+
U
'U

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1-4 Propriétés des grandeurs sinusoïdales
Deux types d’opérations effectuées sur des grandeurs sinusoïdales
donnent des fonctions sinusoïdales de même pulsation donc, on peut les
représenter sur le même diagramme vectoriel. C’est l’addition
(soustraction) et la dérivation (intégration)
1-4-1 L’addition où somme, la différence :
Soit deux tensions u1 et u2 tel que
)cos(2)( 111  tUtu
)cos(2)( 222  tUtu
Leur somme
21 uuu 
est également sinusoïdale. Alors u a pour
expression :
)cos(2)(  tUtu
. Il faut trouver la valeur efficace U
et la valeur de . Il existe trois méthodes :
A/ La méthode analytique
Cette méthode consiste à développer les expressions analytiques des
deux tensions u1(t) et u2(t) et une identification avec l’expression
analytique de leur somme u(t).
)
2
cos(2
2
)
1
cos(2
1
)cos(2)(
2
)(
1
)(
tUtU
tUtututu
On trouve U et à partir de l’écriture de cette égalité à
4
0T tett
:
)cos()cos()cos( 2211 UUU 
)sin()sin()sin( 2211 UUU 
Donc :
2
)
2
sin
21
sin
1
(
2
)
2
cos
21
cos
1
( UUUUU 
)
2
cos
21
cos
1
2
sin
21
sin
1
arctan(
UU
UU
B/ La méthode vectorielle
On peut les trouver en traçant le diagramme vectoriel et en projetant sur
des deux axes x’ox et y’oy :
D’après le diagramme vectoriel, on a :
21 UUU 
, après projection :
21 obobob 
21 oaoaoa 
)cos(;)cos(;cos 222111 UoaUoaUoa 
)sin(;)sin;sin 222111 UobUobUob 
C/ La méthode complexes
Cette méthode utilise les règles d’opérations sur les nombres
complexes. Soit en notation complexe :
21 UUU 
Avec :
)sin(cos)sin(cos)sin(cos 222211 jUjUjU 
En égalant les termes réels et les termes imaginaires des deux membres,
on obtient :
)cos()cos()cos( 2211 UUU 
)sin()sin()sin( 2211 UUU 
Nous constatons que les deux dernières méthodes sont les mêmes,
seulement la méthode des notations complexes nous dispensent de
b2
b1
a2
a1
a
b
Y
X
U
1
U
2U
O