
Exercices - Calcul d’intégrales : corrigé
Exercice 3 - Changements de variables - Recherche de primitives -L1/Math Sup -
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1. La fonction x7→ ln x
xest définie et continue sur ]0,+∞[, intervalle sur lequel on cherche
à calculer une primitive. Pour cela, on fait le changement de variables u= ln x, de sorte
que du =dx
xet on trouve
Zln x
xdx =Zudu
=1
2u2+C
=1
2(ln x)2+C.
2. La fonction x7→ cos(√x)est définie et continue sur ]0,+∞[, intervalle sur lequel on cherche
à calculer une primitive. Pour cela, on effectue le changement de variables u=√x, de
sorte que x=u2ou encore dx = 2udu. On trouve alors
Zcos(√x)dx = 2 Zucos(u)du
= 2[usin u]−2Zsin(u)du
= 2usin u+ 2 cos u+C
= 2√xsin(√x) + 2 cos(√x) + C
(on a aussi effectué une intégration par parties).
Exercice 4 - Intégration par parties - Niveau 1 -L1/Math Sup -?
1. La fonction x7→ arctan xétant continue sur R, elle admet une primitive sur cet intervalle.
On intègre par parties en posant :
u(x) = arctan x u0(x) = 1
x2+1
v0(x)=1 v(x) = x
de sorte que Zarctan tdt =xarctan x−Zx
x2+ 1.
La primitive que l’on doit encore rechercher est de la forme g0/g, et donc
Zarctan tdt =xarctan x−1
2ln(x2+ 1).
2. La fonction x7→ (ln x)2étant continue sur ]0,+∞[, elle admet des primitives sur cet
intervalle. On se restreint à cet intervalle et on intègre par parties en posant :
u(x) = (ln x)2u0(x) = 2ln x
x
v0(x)=1 v(x) = x
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