Chapitre 3 - Collège Sismondi

Mathématiques 4 Niv. 1 Analyse Exercices chapitre 3
Collège Sismondi 2014 - 2015 p.1
1. Calculer la dérivée des fonctions suivantes définies par leurs images :
a) f1(x) = ln(-2x) b) f2(x) = ln(5x)
c) f3(x) = ln(-4x)
Quelle constatation peut-on faire ?
2. Déterminer la dérivée des fonctions suivantes définies par leurs images :
a) f(x) =ln(x - 3) b) g(x) = ln(sinx)
c) h(x) = x.ln(x) d) i(x) = ln(-5x)
e) j(x) = ln
ln x
3
( )
f) k(x) =
ln x+1
x−1
"
#
$%
&
'
g) l(x) =
ln21
x
!
"
#$
%
&
h) m(x) =
ln 3x2+1
( )
i) n(x) =
ln 2x−1
3x+2
"
#
$%
&
'
3. Trouver une primitive de chacune des fonctions suivantes définies par leurs images :
a) f(x) =
€
1
2x −5
b) g(x) =
€
(x +1)2
x
c) h(x) =
€
3x
x2+1
d) i(x) =
€
−sin(x)
cos(x)
e) j(x) =
€
x−1
x2−2x +5
f) k(x) =
€
x2+1
x+1
g) l(x) =
€
x
x2−4
h) m(x) =
€
ln2(x )
x
4. Trouver une primitive de chacune des fonctions suivantes définies par leurs images :
a) f(x) =
€
x
x2+3
b) g(x) =
€
3x 2−1
x
c)
€
h(x) =x2+3x −5
x
d) i(x) =
€
x2−1
x3
e)
€
j(x) =x2−5x +2
x−1
f) k(x) =
€
1
x.ln(x)
g) l(x) =
€
sin(x)
1−cos(x)
5. Etudier entièrement la fonction f suivante donnée par : f(x) =
€
ln(x)
x
6. Calculer les intégrales suivantes :
a)
€
sin(x)
1−cos(x) dx
π
2
π
∫
b)
€
x
x+4dx
−3
1
∫
c)
€
x
(x +1)2dx
1
5
∫

Mathématiques 4 Niv. 1 Analyse Exercices chapitre 3
Collège Sismondi 2014 - 2015 p.2
7. Soit la fonction f définie par
f(x)=1
x2
.
A) On désire calculer l'intégrale suivante :
1
x2!dx
1
7
∫
a) Estimer cette intégrale à l'aide d'une petite somme et une grande somme de Riemann en prenant 3
rectangles (l'intervalle [1; 7] est divisé en 3 parties égales).
b) Estimer cette intégrale à l'aide d'une petite somme et d'une grande somme de Riemann en prenant
6 rectangles (l'intervalle est divisé en 6 parties égales)
c) Déterminer la valeur de cette intégrale à l'aide d'un calcul de primitive.
d) Déterminer le nombre c ∈ ]1; 7[ satisfaisant l'énoncé du théorème de la moyenne pour la fonction f.
B) Si on calcule
1
x2!dx
−2
1
∫
, on trouve un nombre négatif, alors que la fonction est strictement positive sur
son domaine de définition. D'où vient cette incohérence.
8. Calculer les intégrales suivantes :
a)
€
1
xdx
2
7
∫
b)
€
5dx
2x +1
−5
−2
∫
c)
€
tg(x )dx
0
π
3
∫
Indication : tg(x) =
€
sin(x)
cos(x)
d)
€
10x+3
5x 2+3x +1
dx
−1
−2
∫
e)
€
6x 2−4x +2
3x +4dx
0
2
∫
f)
€
ln(x)
xdx
1
2
∫
9. Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes :
a) f(x) = x.ex b) g(x) =
€
ex
x
c) h(x) = ex2 - 3 d) i(x) = (2x2 - 3).e3x
e) j(x) =
ex
f) k(x) = eln(x)
g) l(x) = e3x - e-x h) m(x) =
€
ex+1
ex−1
i) n(x) = esin(x)
10. Dériver les fonctions suivantes (après avoir simplifié l'écriture si possible)
a) f1(x)=
e
−x2
2
b) f2(x) = ln(ex - 1)
c) f3(x) = x.e-sin(x) d) f4(x) =
€
ex+1
ex
e) f5(x) = ex.ex+1.ex-2 f) f6(x) = x.ln
€
ex2+1
( )
g) f7(x) =
€
ex
( )
2
h) f8(x) = 4eln(x)-1

Mathématiques 4 Niv. 1 Analyse Exercices chapitre 3
Collège Sismondi 2014 - 2015 p.3
11. Déterminer une primitive de la fonction f définie par :
f(x)=xe
−x2+3
2
12. Calculer les intégrales suivantes :
a)
€
exdx
0
1
∫
b)
€
ex2.xdx
0
2
∫
13. Calculer les intégrales définies ou indéfinies (primitives) suivantes :
a)
€
e3xdx
0
1
∫
b)
€
eln(x)
xdx
∫
c)
€
x.ex2 dx
∫
d)
€
1
exdx
0
1
∫
e)
€
x
x2+1
dx
0
e
∫
f)
€
ex
ex−1
dx
∫
g)
€
3x
ex2−1dx
−1
2
∫
h)
€
(e2x +4ex)dx
−1
2
∫
i)
€
4e2x
e2x +7
dx
1
3
∫
j)
€
ex+e−x
ex−e−x
∫ dx
k)
€
e3x +e2x
∫ dx
l)
€
e1+ln(x)
∫ dx
14. Déterminer la valeur des intégrales suivantes (en cherchant une primitive de la fonction):
a)
€
dx
x
1
2
∫
b)
€
5dx
2x −1
2
5
∫
c)
€
10x+3
5x 2+3x +1
−1
−2
∫dx
d)
€
1
2(1 3+x+1 3−x)
−1
1
∫dx
e)
€
x
x−3
5
7
∫dx
f)
€
4x
x2−4
0
1
∫dx
g)
€
(e2x +4ex)
−1
1
∫dx
h)
€
5e2x+1
2
3
∫dx
i)
€
3xex2–1
−1
2
∫dx
j)
€
(1−e−x
1+e−x)
ln(2)
ln(3)
∫dx
k)
€
cos(2x)
sin(2x)
π/ 8
π/ 4
∫dx
= l)
€
tg(x)
0
π/ 4
∫dx

Mathématiques 4 Niv. 1 Analyse Exercices chapitre 3
Collège Sismondi 2014 - 2015 p.4
15. Déterminer les dérivées des fonctions suivantes (les fonctions sont définies par leur image):
a) f(x) = ln(4x – 5) b) f(x) =
ln 3 −x2
( )
c) f(x) = ln(3x5) d) f(x) = ln((x2+x-1)3)
e) f(x) = xln(x) – x f) f(x) = ln(cos(x))
g) f(x) =
€
ln(x)
x
h) f(x) =
ln x+1+x2
( )
i) f(x) = e5x j) f(x) = ex3
k) f(x) = esin(2x) l) f(x) = x2 ex
16. Etudier les fonctions suivantes:
a) f : x ! xln(x) b) f : x !
€
1+2ln(x)
x
c) f : x ! 1 + x + ln|x| d) f : x ! ln(x) +
€
1−x
x
e) f : x ! 2x2 ex
17. Déterminer les primitives des fonctions suivantes données par leur image:
a) f(x) =
€
1
x+2
b) f(x) =
€
1
2x −3
c) f(x) =
€
x
x2−1
d) f(x) =
€
x+2
x+1
e) f(x) = e.x f) f(x) = e3x
18. Soit la fonction f définie par
f(x)=ex
et g définie par
g(x)=e−x
a) Calculer l'aire de la surface hachurée ci-dessous.
b) Calculer l'aire de la surface comprise entre les courbes représentatives de f et de g et limitée par les
deux droites verticales x = -1 et x = 1.