Chapitre 3 - Collège Sismondi

Mathématiques 4 Niv. 1
1.
Analyse
Exercices chapitre 3
Calculer la dérivée des fonctions suivantes définies par leurs images :
a) f1(x) = ln(-2x)
b) f2(x) = ln(5x)
c) f3(x) = ln(-4x)
Quelle constatation peut-on faire ?
2.
Déterminer la dérivée des fonctions suivantes définies par leurs images :
a) f(x) =ln(x - 3)
b) g(x) = ln(sinx)
c) h(x) = x.ln(x)
d) i(x) = ln(-5x)
e) j(x) = ln ln
( x)
3
! 1$
g) l(x) = ln2 # &
"x %
" x + 1%
f) k(x) = ln $
'
# x − 1&
h) m(x) = ln
(
)
3x 2 + 1
" 2x − 1 %
i) n(x) = ln $
'
# 3x + 2 &
3.
4.
Trouver une primitive de chacune des fonctions suivantes définies par leurs images :
a) f(x) =
1
2x − 5
b) g(x) =
(x + 1) 2
x
c) h(x) =
3x
x 2 +1
d) i(x) =
− sin(x)
cos(x)
x 2 +1
x +1
e) j(x) =
x −1
x − 2x + 5
f) k(x) =
g) l(x) =
x
2
x −4
h) m(x) =
x +3
3x 2 − 1
x
b) g(x) =
d) i(x) =
x 2 −1
x3
2
e) j(x) = x − 5x + 2
x −1
f) k(x) =
1
x ln(x)
Etudier entièrement la fonction f suivante donnée par : f(x) =
6.
Calculer les intégrales suivantes :
∫
a)
π
2
.
sin(x )
1− cos(x)
5.
π
€
x
2
2
c) h(x) = x + 3x − 5
x
g) l(x) =
€
ln2 (x )
x
Trouver une primitive de chacune des fonctions suivantes définies par leurs images :
a) f(x) =
€
2
sin(x)
dx
1− cos(x)
ln(x)
x
1
b)
∫ x x+ 4 dx
−3
5
c)
x
∫ (x +1)
2
dx
1
€
Collège Sismondi
2014 - 2015
p.1
Mathématiques 4 Niv. 1
7.
Analyse
Soit la fonction f définie par f (x ) =
Exercices chapitre 3
1
.
x2
7
A) On désire calculer l'intégrale suivante :
1
∫x
2
dx
1
a) Estimer cette intégrale à l'aide d'une petite somme et une grande somme de Riemann en prenant 3
rectangles (l'intervalle [1; 7] est divisé en 3 parties égales).
b) Estimer cette intégrale à l'aide d'une petite somme et d'une grande somme de Riemann en prenant
6 rectangles (l'intervalle est divisé en 6 parties égales)
c) Déterminer la valeur de cette intégrale à l'aide d'un calcul de primitive.
d) Déterminer le nombre c ∈ ]1; 7[ satisfaisant l'énoncé du théorème de la moyenne pour la fonction f.
1
B) Si on calcule
1
∫x
2
dx , on trouve un nombre négatif, alors que la fonction est strictement positive sur
−2
son domaine de définition. D'où vient cette incohérence.
8.
Calculer les intégrales suivantes :
7
a)
∫ 1x
−2
dx
2
−5
π
3
c)
∫ tg(x)dx
Indication : tg(x) =
0
2
e)
∫
0
9.
6x 2 − 4x + 2
dx
3x + 4
e) j(x) =
g) l(x) = e
x
2
€
f)
dx
∫ ln(x)
x
1
b) g(x) =
ex
x
ex
f) k(x) = e
3x
-e
-x
h) m(x) =
ln(x)
e x +1
e x −1
sin(x)
e
−
x2
2
c) f3(x) = x.e
-sin(x)
x x+1. x-2
e) f5(x) = e .e
e
x 2
( )
g) f7(x) = e
Collège Sismondi
€
2
−1
Dériver les fonctions suivantes (après avoir simplifié l'écriture si possible)
a) f1(x)=
€
+3
dx
∫ 5x10x+ 3x
+1
2
3x
d) i(x) = (2x - 3).e
i) n(x) = e
€
−2
d)
x2 - 3
c) h(x) = e
€
sin(x)
cos(x)
Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes :
a) f(x) = x.e
10.
∫ 2x5dx+ 1
b)
x
b) f2(x) = ln(e - 1)
d) f4(x) =
e x +1
ex
(
f) f6(x) = x.ln e
h) f8(x) = 4e
2014 - 2015
x 2 +1
)
ln(x)-1
p.2
Mathématiques 4 Niv. 1
Analyse
Exercices chapitre 3
11.
Déterminer une primitive de la fonction f définie par : f (x ) = xe
12.
Calculer les intégrales suivantes :
−x 2 +3
2
1
a)
∫ e dx
x
0
2
b)
∫e
x 2.
xdx
0
13.
Calculer les intégrales définies ou indéfinies (primitives) suivantes :
1
a)
∫
e 3xdx
b)
0
c)
. x2
∫ xe
1
dx
d)
f)
2
2
∫e
−1
3
i)
1
k)
14.
∫
x 2 −1
dx
h)
∫
1
c)
j)
∫ ee
l)
∫e
−1
e)
∫
5
b)
+ 4e x )dx
x
+ e −x
dx
x
− e −x
1+ln(x)
dx
1
d)
1
x
dx
x −3
f)
(e2x + 4e x )dx
h)
2
−
3xex
2
2x+1
ln(3)
–1
dx
j)
cos(2x)
dx =
sin(2x )
π/ 8
∫
ln(2)
π/ 4
∫
∫ 5e
dx
2
−1
k)
2
3
∫
∫
∫ x 4x 4dx
0
−1
i)
∫ 12 ( 3 +1x + 3 1− x )dx
−1
1
g)
∫ 2x5dx− 1
2
10x + 3
dx
5x 2 + 3x +1
∫
7
€
2x
5
dx
x
−2
€
∫ (e
−1
e 3x + e 2x dx
2
€
x
Déterminer la valeur des intégrales suivantes (en cherchant une primitive de la fonction):
a)
€
∫ ee− 1dx
2
3x
4e2x
dx
e 2x + 7
∫
x
x
∫ x x+ 1dx
0
g)
∫ e1 dx
0
e
e)
∫
e ln(x)
dx
x
(1−
e −x
)dx
1+ e −x
π/ 4
l)
∫ tg(x)dx
0
€
€
Collège Sismondi
€
2014 - 2015
p.3
Mathématiques 4 Niv. 1
15.
3− x2
)
b) f(x) = ln
c) f(x) = ln(3x5)
d) f(x) = ln((x2+x-1)3)
e) f(x) = xln(x) – x
f) f(x) = ln(cos(x))
ln(x)
x
(
h) f(x) = ln x + 1+ x 2
)
x3
i) f(x) = e
5x
j) f(x) = e
k) f(x) = e
sin(2x)
l) f(x) = x2 e
x
Etudier les fonctions suivantes:
1+ 2 ln(x)
x
a) f : x ! xln(x)
b) f : x !
c) f : x ! 1 + x + ln|x|
d) f : x ! ln(x) +
1− x
x
x
Déterminer les primitives des fonctions suivantes données par leur image:
a) f(x) =
1
x +2
b) f(x) =
1
2x − 3
c) f(x) =
x
x2 −1
d) f(x) =
x +2
x +1
e) f(x) = e
18.
(
a) f(x) = ln(4x – 5)
e) f : x ! 2x2 e
17.
Exercices chapitre 3
Déterminer les dérivées des fonctions suivantes (les fonctions sont définies par leur image):
g) f(x) =
16.
Analyse
.x
f) f(x) = e
3x
Soit la fonction f définie par f (x ) = e x et g définie par g(x ) = e −x
a) Calculer l'aire de la surface hachurée ci-dessous.
b) Calculer l'aire de la surface comprise entre les courbes représentatives de f et de g et limitée par les
deux droites verticales x = -1 et x = 1.
€
€
€
€
Collège Sismondi
2014 - 2015
p.4