corr electrostatique-

Electrostatique  
A.FIZAZI Université de Béchar LMD1/SM_ST
4848
  1.1  25.1
Corrigés des exercices 1.1 à 1.25 :
Exercice1.1
Les deux charges placées en
A
et
C
sont de signes contraires, donc, elles s’attirent. Si on
pose
AC x
=
,alors la force d’attraction est égale à :
2
99
22
2
2
9.10 9.10
AC AC
qq
q
FF
xx
==
Les deux charges placées en
B
et
C
sont de signes contraires, donc, elles s’attirent aussi.
Puisque
BC d x
=
,la force d’attraction est égale à :
() ()
2
99
22
9.10 9.10
BC BC
qq q
FF
dx dx
==
La charge placée en
C
,est donc soumise à deux forces électriques qui ne peuvent
s’équilibrer que si elles sont directement opposées. Cela ne peut se réaliser que si
C
est situé
entre
A
et
B
.D’où :
() ()
()
22
99
22
22
2
22
221
9.10 9.10
21
0,8 0, 08 0 0,117
0, 2
AC BC
qq
FF xx
dx dx
xdx
xx xAC m
d
===
= +===
=
Exercice1.2
La base de la solution de cet exercice est la figure géométrique ci-dessous :
R
R
F
F
1
T
1
T
2
T
2
T
r
Le système est en équilibre :
0
i
F
=
,avec
F
la force électrostatique de répulsion.
Au centre de la masse
m
on peut écrire : 12
0
PT T
++=
,avec 12
TTT
==
On projette sur l’axe vertical :
2. .sin 0 (1)
2sin
P
TPT
==
Au centre de l’un des ballons : 1
0
TFR
++=
;avec
R
la poussée d’Archimède.
Par projection sur l’axe horizontal :
cos 0 cos (2)
FT F T
==
De
(1)
et
(2)
,on obtient l’expression de la force
F
qui est :
.cos
cot
2.sin 2
PP
FF
==
D’après la loi de Coulomb :

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4949
22 2
2
22
cot
. . .cot . cot .
22 2.
qqP Pr P
Fk k q qr
rr k k
====
Or est inconnue, c’est pour cela qu’on doit la déterminer géométriquement :
2cos
rl =
La dernière étape reste l’application numérique :
2
6
5.10
3,8.10 3,8
Pmg N
cot /6=1,732 q N C
r=1,732
µ
==
==
Exercice1.3
1/ La boule chargée est soumise à son poids
P
et à la force électrostatique
FqE
= .
Puisque la tension
AB
U
est positive, le champ électrostatique
E
est orienté vers
B
,c'est-à-dire
vers le plus petit potentiel.
On applique la relation fondamentale de la dynamique à la boule pour déduire
l’expression de l’accélération instantanée acquise :
FqE
=
Pmg
=
O
i
j
P F ma mg qE ma
q
ag E
m
+= +=
=+
Ecrivons l’expression de l’accélération dans la base
(
)
,,
Oi j
:
...
xy
aaiaj
q
g gj a Ei gj
m
EEi
=+
==
=
La vitesse initiale est nulle. La vitesse instantanée est la fonction primitive de
l’accélération. Partant des composantes de la vitesse linéaire, on arrive aux deux équations
horaires du mouvement de la boule, sans oublier la position initiale du mobile :
00
1
0 , , 1
2
txdyLm
== ==
()
()
2
2
11
..1
22
112
2
xx
yy
qq q
aEvEtx Etd
mm m
agvgty gt
===+
= ==+
Par élimination du temps entre les équations horaires on obtient l’équation de la trajectoire
de la boule :
2
75
21 121
1
222
10 2.10
11
2
mm
t xd y g xd
qE qE
mg mg d
yx yx
qE qE E E
==+
=++=++
La trajectoire de la boule est rectiligne.

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2/ On remplace dans l’équation horaire
(
)
2
,l’ordonnée par zéro afin d’obtenir l’instant du
passage de la boule par le plan
0
y
=
:
2
1
10 0,447
2
ygt t s
=+==
3/ Pour calculer la tension, on doit calculer d’abord le champ électrique au point
(
)
,0
d
.On
remplace dans l’équation de la trajectoire les deux coordonnées par leurs valeurs respectives :
75
51
10 2.10 1
0,04 2.10
0
yx
EE
xd m E Vm
y
=++
== =
=
La tension est donc : 3
,8.10
UEd U V
==
Exercice1.4
La distribution de la charge n’est pas continue. Le champ électrostatique est porté par
l’axe à cause de la symétrie du polygone par rapport à l’axe
Oz
:
cos
z
EE =.
Soit
R
le rayon du cercle dans lequel est inscrit le polygone.
Calcul du champ produit au point
M
par la charge
q
placée au point
1
A
.
z
u
Z
1
dE
1
x
dE
1
z
dE
O
a
R
H
M
1
A
2
A
3
A
()
()
12
01
1
3/2
22
0
22
1
1cos
4
4
cos
z
z
q
E
AM qz
E
OM z Rz
AM Rz
=
=+
==
+
Chaque côté est vu depuis le centre sous l’angle
2
n
.En exploitant la figure, on a :

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11
11
sin
2
2
2sin
/2
a
AH R AOH
a
R
AOH AOH
n
nn
== =
==
Le champ électrique résultant est égal à la somme des champs produits par chacune des
charges ponctuelles
1
n
ziz
EE E
==
:
Donc :
3
02
2
2
2
4
4sin
zz
qz
En u
az
n
=
+
2/ Dans le cas d’un triangle équilatéral on a
3
n
=
,d’où le champ électrostatique :
33
2
00
22
2
2
2
2
33
44
3
4sin 3
zzz
qz qz
EuE
az
az
==
+
+
Dans le cas d’un carré on a
4
n
=
,d’où le champ électrostatique :
33
2
00
22
2
2
2
2
2
4sin 4
zzz
qz qz
EuE
az
az
==
+
+
Exercice1.5
1/ Représentation et calcul du champ électrique résultant au point
D
:
A
D
B
C
q
q+q+
D
E
2
q
+
D
F
A
D
B
C
q
q+
A
E
B
E
C
E
CB
E
q
+
D
E

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DABC
DCBA
CB C B
EEEE
EE E
EEE
=++
=+
=+
22
2
22 2
CB A
qq
EEk ; (AD=a+a=2a) Ek
aa
== =
22
2
2cos 2 2
2
CB C B B C CB C CB
kq
EEEEE EE E
a
=++ ==
22
2.cos
DCBA ACB DCBA
=EEEEE EEE
=+=
1
22 2 2
1
. 2 . 2 0,914. ( . )
22
DD D
kq kq kq kq
EE EVm
aa a a
== =
2/ Calcul du potentiel résultant au point
D
:
1
(2 ) 1,29
22
DACB D D D
kq kq kq kq kq
VVVV ; V V V
aa a a
a
=++ =++==
3/ Calcul de la force appliquée à la charge
(2)
q
+
au point
D
:
22
22 2
2. 2.
1
2. ( 2 (2 2 1) 1,83. ( )
2
DDDD
DDD
FqEFqE
kq kq kq
Fq F F N
aa a
==
==
4/ Calcul de l’énergie potentielle de la charge
2
q
+
:
2
2
2. (4 2)
1
.2.2.(2) ()
2
p
pp p
p
kq
E
kq a
E QV , E qV , E q J
akq
E 2,59 a
=
== =
Exercice1.6
1/ Pour calculer le potentiel électrique, on utilise l’expression scalaire :
0
1
4
q
V
d
=
Une fois que les deux points sont placés sur la figure ci-dessous, on calcule les distances
d
et
'
d
séparant le point
M
des deux charges :
()
2
22
'4
dxayz
=++
,
()
2
22
dxayz
=++
Le potentiel produit au point
(
)
,,
Mxyz
est donc :
0
12
4'
M
q
V
dd
=
() ()
22
22 22
0
12
44
M
q
V
xayz xayz
=
++ ++
2/ Surface équipotentielle :