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Chapitre 9 : Mouvement à accélération centrale
I. Mouvement circulaire uniforme : accélération centripète
a) Accélération centrale :
Lorsqu’un objet se déplace sur une trajectoire circulaire à vitesse constante, il possède toujours une
accélération qui est dirigée vers le centre du cercle.
Cet objet en Mouvement Circulaire Uniforme (MCU) change continuellement de direction.
La réorientation permanente du vecteur-vitesse est le résultat d’une accélération radiale (« radiale » :
selon le rayon) orienté vers le centre de la trajectoire.
= ²
:
é
é
(
.
)
∶ (.)
:
(
)
(voir à la fin pour une démonstration rigoureuse de an= v²
R)
Ex : une voiture roule sur un circuit circulaire de 200 m de rayon, à la vitesse constante de 30
. ; elle est donc constamment soumise à une accélération radiale = ²
= 4,5 .
orientée vers le centre du cercle
b) Quelles sont les forces qui produisent cette accélération centrale ?
Pour une voiture dans un virage, ce sont les forces de frottement exercées par la route sur les pneus :
⃗=.⃗ ⟹
⃗
+
⃗
+ ⃗=.⃗
En projetant selon
⃗
, on obtient : =. ⟹ = .
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Ex précédent : si la voiture a une masse de 1 tonne, f = m. = 1000 .4,5 = 4500
Si la route ne peut pas fournir les forces de frottement suffisantes (vitesse trop élevée, rayon de
giration trop petit), la voiture glisse, dérape.
c) virages relevés :
Les routes présentent habituellement des virages relevés pour que la réaction normale du plan (sa
composante horizontale) vienne fournir une partie ou la totalité de la force nécessaire pour produire
l’accélération centripète permettant le maintien de la voiture sur sa trajectoire circulaire : on réduit
ainsi les forces de frottement, limitant les risques en cas de verglas.
Ex : supposons que seule RN soit responsable de l’accélération radiale (c’est-à-dire aucun
frottement)
⃗=.⃗ ⟹
⃗
+
⃗
=.⃗
En projetant selon ⃗, on obtient : 0+(
)
=. ⟹ .sin=.
En projetant selon ⃗, on obtient : −+()= 0 ⟹ = . ⟹ =
D’où :
.sin=.
⟹ =
sin=tan
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=
∶ angle duquel doit être relevée la route pour qu’il n’y ait pas besoin d’action
de forces de frottements ; seule RN est responsable de l’accélération centrale
exemple : soit un virage de 900m de rayon, relevé pour qu’aucune force de frottement n’intervienne
lorsqu’une voiture négocie ce virage à 30 m/s ; de quel angle ce virage est-il relevé ?
=
⟹ =°
Application : aile des oiseaux, des avions…
d) Etude du pendule tournant :
⃗=.⃗ ⟹
⃗
+
⃗
=.⃗
En projetant selon ⃗, on obtient : 0+.sin=. ⟹ .sin=.
⟹ = .
.
En projetant selon ⃗, on obtient : .cos−= 0 ⟹ =. ⟹ =
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D’où :
=.
. ⟹ =
sin=tan
=
On peut aussi avoir la vitesse angulaire : = ⟹ =
=.sin , ∶ =
.
⟹ En pratique : virage relevé, pendule tournant… bien repérer le cercle
sur lequel tourne l’objet, ainsi que son rayon (en particulier, ne pas confondre
longueur du fil : l et rayon du cercle sur lequel tourne l’objet : r)
II. Mouvement circulaire dans un plan vertical
Exemple-type : rotation d’un seau d’eau (rotation supposée faite à vitesse constante)
⃗=.⃗ ⟹
⃗
+
⃗
=.⃗
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ü Au point le plus haut :
on projette selon
⃗
: +=. ⟺ +=.
le seau se décroche si T = 0, d’où : =.
⟹ =
≤
é
(
!
)
Exemple : si r = 1m et g = 10 m/s², v = 3,13 m/s ⟹ si v ≤ 3,13 m/s, le seau se décroche
ü Au point le plus bas :
⃗
+
⃗
=.⃗
on projette selon
⃗
: −+=. ⟹ =.
+ ⟹ =.
+
Au point le plus bas, la tension est maximale : risque de rupture à cet endroit, par exemple si la vitesse
est trop élevée.
En pratique : exercices du type looping et fronde
On utilisera généralement la 2ème Loi de Newton et le Théorème de l’énergie cinétique
III. Etude d’un objet glissant à la surface d’une sphère ou d’un
dôme :
Exemple-type : un skieur aborde avec une vitesse quasi-nulle la piste AB constituée par un quart de
cercle de rayon r = 3,6 m. La piste est verglacée et les frottements sont négligeables
; g = 10 m/s².
Il perd le contact avec la piste en M.
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7
8
9
10
11
12
1
/
12
100%
