Il est classique d’établir que le groupe
est abélien.
Pour
2
∈
et x G
∈
, posons 0.
et 1.
. On définit ainsi un produit extérieur sur
qui munit le
groupe abélien
d’une structure de
-espace vectoriel. De plus cet espace est de dimension finie car
Card
, il est donc isomorphe à
+
ℤℤ
pour un certain
. En particulier
est
isomorphe à
+
ℤℤ
.
Exercice 6 On note
l’ensemble des matrices à coefficients entiers du type
c d
d a b c
c d a b
b c d a
et
l’ensemble
des
M V∈
inversibles dans
4
et dont l’inverse est dans
.
a) Quelle est la structure de
?
b) Soit
M V∈
. Montrer que
M G∈
si et seulement si
.
c) Donner un groupe standard isomorphe à
muni du produit.
a)
4
GGL⊂
,
est non vide, stable par passage à l’inverse et par produit car
l’est. Ainsi
est un sous-
groupe de
4
donc un groupe.
b) Si
M G∈
alors
1
det ,det
et
14
donc
.
Inversement si
alors
1
com
donc
M G∈
.
c)
2 2
2 2
det 1
a c b d
Ma c b d
= ± ⇔
.
La résolution de ce système à coefficients entiers donne à l’ordre près :
.
Posons
la matrice obtenue pour
et
. On vérifie
4
.
L’application
2
: 4
définie par
( , )
est bien définie, c’est un morphisme de groupe,
injectif et surjectif. Ainsi
est isomorphe à
2
ou plus élégamment à
4×
.
Exercice 7 a) Soit
un sous-groupe de
tel que
gG
∈
. Montrer que
gG
∈
.
b) Soit
un sous-groupe fini de
,
un sous-espace vectoriel de
stable par les
éléments de
. Montrer qu’il existe un supplémentaire
dans
stable par tous les éléments
de
.
a) Posons
gG
∈
.
2
g G h G
∈ ∈
. Or pour
g G∈
, l’application
est une permutation du groupe
donc
et par suite
2
G p=
.
Par suite
1
Card
p
G
est une projection vectorielle et puisque son rang égale sa trace,
. Ainsi
.
b) Considérons
gG
∈
.
est un produit scalaire sur
pour lequel on a
,
.
Pour ce produit scalaire,
est un supplémentaire de
stable pour tout
avec
élément de
donc
stable pour tout élément de
.
A
A
r
r
i
i
t
t
h
h
m
m
é
é
t
t
i
i
q
q
u
u
e
e
Exercice 8 Soit
un nombre premier,
. Montrer que
2
est divisible par
.
2
.
est impair donc
et
sont deux entiers pairs consécutifs, l’un est divisible par 2, l’autre par 4. Ainsi
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