2Bex 02 Dérivabilité Sr1Fr Ammari

2ème Bac Dérivabilité et Etude des fonctions Série : Sr1F Page : 1/1
http://www.maths-inter.ma/ 04/09/2018 Réalisé par : Ammari Simo Ex-Inspecteur Principal de maths [e-mail] 06 49 11 33 23
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1.
Exercice
On considére la fonction
f
définie sur
IR
par:
, 1 0 , - x ; xf
1 , 0 x ;
2
xf
2
2
xxx
x
x
)(Cf
est la courbe représentative de la fonction
f
dans un repère orthonormé
j ; i ; O
.
1) Montrer que
f
est continue aux points
0
et
1
.
2) Etudier la dérivabilité de la fonction f à droite et à gauche aux points
0
et
1
., et donner une
interprétation géométrique de chacun des résultats obtenus. (schématiser)
3) a) Calculer
f(x) lim
x
, en déduire la nature de la branche infinie au voisinage de
. (schématiser)
b) Calculer
f(x) lim
x
. Montrer que la droite
2
1
x2y:)( 
est une asymptote à la courbe
representative de
f
au voisinage de
. (schématiser)
4) Calculer
(x)f '
, pour tout
x
de l’intervalle
1 , 0
, en déduire son sens de variations sur
1 , 0
.
5) Calculer
(x)f '
, pour tout
x
appartenant à
, 1 0 , - 
, en déduire le sens de variations de
f
sur chacun des intervalles
0 , - 
et
, 1 
.
6) Donner le tableau de variations de
f
sur
IR
.
7) Tracer la courbe
)(Cf
sur le repère
j ; i ; O
.
8) Soit
g
la restriction de
f
sur l’intervalle
1 , 0
.
a) Montrer que
g
admet une bijection réciproque
-1
g
définie sur un intervalle
J
qu’on déterminera.
b) Donner le tableau de variations de
-1
g
.
c) Tracer
)(C 1-
g
dans le meme repère
j ; i ; O
..
d) Déterminer
)x(g-1
pour tout
x
l’ intervalle
J
.
e) Calculer
g(1/2)
, en déduire
)6/1(g '
1-
Maths-inter.ma
1.
Exercice
On considére la fonction
f
définie sur
IR
par:
2
2
1xf xx 
)(Cf
est la courbe représentative de la fonction
f
dans un repère orthonormé
j ; i ; O
.
1) a) Calculer
f(x) lim
x
et
x
f(x)
lim
x
, en déduire la nature de la branche infinie au voisinage de
.
(schématiser)
b) Calculer
f(x) lim
x
, puis étudier la nature de la branche infinie au voisinage de
. (schématiser)
2) a) Montrer que
xx  2 1 ;IR x
, en déduire que
0(x)f ;IR x 
b) Montrer que
2
'
1
)(2
xf ;IR x
x
xf
.
c) Dresser le tableau de variations de la fonction
f
sur
IR
.
3) a) Calculer
0f
et
0f '
, puis donner l’équation de la tangente
(T)
à
)(Cf
au point d’abscisse
0
.
b) Dresser
(T)
et
)(Cf
dans le repère
j ; i ; O
( unité 2 cm )
4) a) Montrer que
f
admet une bijection réciproque
-1
f
définie sur un intervalle
J
qu’on déterminera.
b) Donner le tableau de variations de
-1
f
.
c) Tracer
)(C 1-
f
dans le meme repère
j ; i ; O
..
d) Déterminer
)x(f -1
pour tout
x
l’ intervalle
J
et calculer Calculer
)1(f '
1-