1582904968 67507 DEVOIR DE SYNTHESE 2(4eme-SC-TECH)...

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4ème SC-TECH
S2M1
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1
Répondre par Vrai ou Faux, en justifiant la réponse.
1°)
( )
lim ln 1 0
xxx
→+ − + =
.
2°) Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct
( )
, , ,O i j k
. On donne le plan
: 2 0P x y z− + + =
,
et la droite
22
: 1 2
22
xt
D y t
zt
=+
=−
=+
avec
t IR
. On a alors P et D sont parallèles.
3°) La fonction
1
: ²ln ²
2
F x x x x−
est une primitive de
( )
: ln ²f x x x
sur
0,+
.
L’espace est rapporté à un repère orthonormé
( )
, , ,O i j k
.
On considère les points A (3, 0, 0) ; B (0, 3, 0) ; C (0, 0, 3) et D (2, 2, 2) .
1°) a) Calcules les composantes du vecteur
AB AC
.
b) En déduire que les points A, B et C déterminent un plan
P
.
c) Montrer qu’une équation cartésienne du plan
P
est :
30x y z+ + − =
.
2°) a) Montrer que les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.
b) Calculer le volume du tétraèdre ABCD.
3°) a) Montrer que la droite
( )
OD
est perpendiculaire à
P
.
b) Donner une représentation paramétrique de la droite
( )
OD
.
c) Soit H le projeté orthogonal de D sur
P
. Vérifier que
( )
1,1,1H
puis en déduire la distance de D
à
P
.
4°) a) Calculer l’aire du triangle ABC.
b) Retrouver le volume du tétraèdre ABCD.
I- Soit
( ) ( ) ( )
2
ln ln 1f x x x= − +
;
0,x +
et
f
C
sa courbe dans un repère orthonormé
( )
,,O i j
.
1°) a) Déterminer
( )
0
lim
xfx
+
→
. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
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4ème SC-TECH
N°01
Modèle
DEVOIR DE SYNTHESE N°2
Section : 4 ème Sciences Techniques
Épreuve : Mathématiques
Durée : 2 h
3 points
EXERCICE N°1
6 points
EXERCICE N°2
5 points
EXERCICE N°3

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2
b) Déterminer
( )
lim
xfx
→+
et
( )
lim
x
fx
x
→+
. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
2°) a) Montrer que pour
0,x +
,
( ) ( )
2ln 1
'x
fx x
−
=
.
b) Dresser le tableau de variation de f.
3°) Tracer
f
C
.
II- Soit ABCDEFGH un cube d'arrêt 1.
L'espace est muni d'un repère orthonormé direct
( )
, , ,A AB AD AE
.
1°) Déterminer les coordonnées des points C et F.
2°) Soit
0,  +
et
( )
( )
2
ln ; ln ; 1J −
.
a) Montrer que le volume de tétraèdre
ACFJ
est
( ) ( )
1
6f
=V
.
b) Préciser le point J pour lequel,
( )
V
est minimal.
I– Soit
g
la fonction définie sur
0,+
par :
( )
1 lng x x x x= + −
.
1°) Etudier les variations de
g
.
2°) a) Montrer que l’équation :
( ) 0gx =
admet une solution unique
dans
0,+
.
b) Vérifier que :
34
.
c) En déduire que
( )
0gx
si
0,x
et
( )
0 si ,g x x
  +
.
3°) a) Déterminer la fonction dérivée sur
0,+
de la fonction
( )
1
: ² ln
2
h x x x
.
b) Vérifier que pour tout
0,x +
,
( ) ( )
3
1'
2
g x x h x= + −
.
c) En déduire la primitive de
g
qui s’annule en
1
.
II– On considère la fonction
f
définie sur
0,+
par
( ) ( )
ln
1
x
fx x
=+
et soit
f
C
sa courbe représentative
dans un plan rapporté à un repère orthonormé
( )
,,O i j
.
1°) Déterminer
( )
0
lim
xfx
+
→
et
( )
lim
xfx →+
.
2°) a) Monter que
f
est dérivable sur
0,+
et que :
( ) ( )
( )
'1²
gx
fx xx =+
.
b) Dresser le tableau de variation de
f
.
3°) a) Montrer que
1
()f
=
.
b) Ecrire une équation de la tangente
( )
T
à
f
C
au point
A
d’abscisse
1
.
4°) Tracer
( )
T
et
f
C
.
6 points
EXERCICE N°4