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poly topo

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INSA Toulouse
Département STPI
PO MIC 3ème année
UV Compléments de mathématiques
2007-2008
Topologie et Analyse Vectorielle
Violaine Roussier-Michon
Département GMM
[email protected]
.
Avant-Propos
Ce cours de “Compléments de mathématiques” est consacré à une première approche de deux théories des mathématiques : la topologie et l’analyse vectorielle.
Ces domaines sont des prolongements naturels des cours de première et deuxième
années : la topologie généralise aux espaces métriques les notions de suites, de convergence, de normes vues dans R ou Rn tandis que l’analyse vectorielle élargit la notion
d’intégrale. Elles seront abondemment utilisées l’une et l’autre dans un cadre moins
abstrait en GMM.
Vous trouverez dans ce polycopié des paragraphes ou des démonstrations comportant une astérisque. Ils peuvent être oubliés en première lecture mais constituent
des compléments importants pour la suite de votre scolarité en GMM. La plupart
du temps, les démonstrations sont détaillées, mais vous n’aurez suffisamment travaillé votre cours que le jour où vous saurez toutes les refaire, non pas en les ayant
apprises par coeur, mais en les ayant comprises et en sachant manier avec suffisamment d’aisance les définitions de ce cours et les liens logiques qui les relient entre
elles. N’oubliez pas qu’une démonstration part d’hypothèses, suit un cheminement
logique pour aboutir à une conclusion !
Enfin, ce cours n’aurait pas vu le jour sans l’aide précieuse de P. Auscher et
d’A. Bendali pour leur cours respectif de topologie et d’analyse vectorielle. Qu’ils
en soient chaleureusement remerciés ! Ce polycopié ne demande cependant qu’à être
amélioré, n’hésitez donc pas à me faire part de vos suggestions.
VRM
3
4
TABLE DES MATIÈRES
Table des matières
1 Analyse vectorielle
1.1 Courbes de R2 et R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Paramétrages d’une courbe . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Vecteur tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Vecteur normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Longueur d’une courbe . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5 Abscisse curviligne . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.6 Courbure d’un arc de courbe . . . . . . . . . . . .
1.2 Surfaces de R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Paramétrages d’une surface . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Plan tangent et vecteur normal . . . . . . . . . .
1.3 Intégrales définies sur des courbes et surfaces . . . . . . .
1.3.1 Intégrale curviligne d’une fonction scalaire . . . .
1.3.2 Circulation d’un champ de vecteurs . . . . . . . .
1.3.3 Formules de Green-Riemann et de la divergence .
1.3.4 Intégrales de surface . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Opérateurs usuels lors d’un changement de coordonnées.∗
1.4.1 Formules usuelles de l’analyse vectorielle . . . . .
1.4.2 Opérateurs différentiels en coordonnées générales
1.4.3 Démonstration de la formule de Stokes . . . . . .
2 Topologie
2.1 Espaces métriques : généralités. . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Distance, espace métrique, espace vectoriel normé.
2.1.2 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Distances équivalentes, normes équivalentes. . . .
2.1.4 Espaces métriques produits. . . . . . . . . . . . .
2.2 Suites dans un espace métrique. . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Généralités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Valeurs d’adhérence. . . . . . . . . . . . . . . . .
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TABLE DES MATIÈRES
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
Topologie dans les espaces métriques. . . . . . . . . . .
2.3.1 Parties ouvertes, parties fermées, voisinages. . .
2.3.2 Réunion d’ouverts, Intersection de fermés. . . .
2.3.3 Caractérisation par les suites. . . . . . . . . . .
Continuité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Continuité en un point. . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Continuité globale. . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Exemples d’applications continues. . . . . . . .
2.4.4 Homéomorphismes. . . . . . . . . . . . . . . . .
Complétude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Espaces métriques complets, espaces de Banach.
2.5.2 Complétude d’espaces de fonctions. . . . . . . .
2.5.3 Espace des applications linéaires continues. . . .
Compacité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Espaces métriques compacts . . . . . . . . . . .
2.6.2 Compacité et fonctions continues. . . . . . . . .
2.6.3 Equivalence des normes en dimension finie . . .
Connexité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Espaces métriques connexes. . . . . . . . . . . .
2.7.2 Connexité dans R. . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.3 Connexité par arcs. . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.4 Exemples d’espaces connexes. . . . . . . . . . .
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69
CHAPITRE 1. ANALYSE VECTORIELLE
Chapitre 1
Analyse vectorielle
1.1
1.1.1
Courbes de R2 et R3
Paramétrages d’une courbe
La définition rigoureuse d’une courbe du plan ou de l’espace passe par la notion
mathématique plus complexe de ”variété” que nous n’aborderons pas dans ce cours.
Nous nous limiterons donc à des arcs paramétrés qui sont des courbes simples sans
point anguleux. Des singularités pourront être considérées en étudiant des chainages
d’arcs paramétrés reliés par des points anguleux.
Définition 1.1.1 Dans l’ensemble de ce chapitre, on notera (E, k.k) un espace vectoriel euclidien de dimension finie. En général, E sera R2 ou R3 muni du produit
scalaire usuel noté ·. On rappelle que
∀(x, y) ∈ R3 ,
x·y =
3
X
xi yi et kxk =
i=1
3
X
! 21
|xi |2
i=1
Définition 1.1.2 Soit (E, k.k) un espace vectoriel euclidien. Soit p ∈ N un entier
naturel. On appelle arc paramétré de classe C p de E un couple (I, r) où I est
un intervalle de R et r une fonction vectorielle C p (I, E) telle que
∀t ∈ I ,
r0 (t) 6= 0 .
Rappelons que r(t) et r0 (t) sont données à l’aide de leurs composantes notées
dans R2
0
x(t)
x (t)
0
r(t) =
r (t) =
y(t)
y 0 (t)
7
CHAPITRE 1. ANALYSE VECTORIELLE
et dans R3 :

x0 (t)
r0 (t) =  y 0 (t) 
z 0 (t)


x(t)
r(t) =  y(t) 
z(t)

Définition 1.1.3 On appelle arc géométrique ou arc de courbe, l’image C = r(I)
de I par r.
Définition 1.1.4 On appelle arc de courbe fermé l’image r(I) quand I = [a, b] est
un segment (intervalle fermé borné) de R.
Exemples 1.1.5 Le cercle de R2 centré à l’origine et de rayon R est la donnée du
couple ([0, 2π], r1 ) où r1 est la fonction définie de [0, 2π] dans R2 par
cos t
∀t ∈ [0, 2π] , r1 (t) = R
sin t
C’est un arc de courbe fermé du plan.
La droite de R2 passant par le point (x0 , y0 ) colinéaire à (v, w) est la donnée du
couple (R, r2 ) où r2 est la fonction définie de R dans R2 par
x0 + tv
∀t ∈ R r2 (t) =
y0 + tw
C’est un arc de courbe du plan.
Le graphe de la fonction g définie de R dans R2 est la donnée du couple (R, r3 )
où r3 est la fonction définie de R dans R2 par
t
∀t ∈ R r3 (t) =
g(t)
C’est un arc de courbe du plan.
Une hélice de R3 est la donnée du couple (R, r4 ) où r4 est la fonction définie de
R dans R3 par


cos t
∀t ∈ R , r4 (t) =  sin t 
t
C’est un arc de courbe de l’espace.
Remarque 1.1.6 La condition r0 (t) 6= 0 est importante. L’application
définie par
√
3
r(t) = (t3 , t2 ) pour t ∈ R a pour image le graphe de la fonction y = x2 et ne définit
pas un arc de courbe simple à cause du point anguleux en zéro.
8
CHAPITRE 1. ANALYSE VECTORIELLE
Théorème 1.1.7 (Admis) Deux arcs paramétrés (I, r) et (J, m) définissent le même
arc géométrique de classe C p s’il existe un C p -difféomorphisme θ de I dans J tel
que r = m ◦ θ. θ représente simplement un changement de variables entre les deux
arcs paramétrés.
Remarque 1.1.8 θ est un C p -difféomorphisme de I dans J si et seulement si
– θ ∈ C p (I, J)
– θ réalise une bijection de I
– θ−1 l’application réciproque est C p (J, I)
Une telle application vérifie ∀t ∈ I, θ0 (t) 6= 0. En utilisant la formule de dérivation
composée, on a alors que r0 (t) = m0 (θ(t)).θ0 (t). En particulier, si (J, m) est un arc
paramétré de classe C p , alors (I, r) est également un arc paramétré de classe C p .
A un arc paramétré est associé un sens de parcours pour les t croissants. Si
pour tout t ∈ I, θ0 (t) > 0 alors (I, r) et (J, m) décrivent l’arc géométrique dans le
même sens. Par contre, si pour tout t ∈ I, θ0 (t) < 0 alors ils le décrivent dans le
sens opposé. Si on définit un sens positif, l’arc devient un arc orienté. Choisir un
paramétrage particulier, c’est choisir une orientation de l’arc géométrique.
1.1.2
Vecteur tangent
Définition 1.1.9 Soit (I, r) un arc paramétré de classe C 1 de E. La tangente à
l’arc géométrique C au point M = r(t) de E est la droite passant par M et colinéaire
1
r0 (t).
à r0 (t) dans E. Le vecteur unitaire tangent à C est T (t) = kr0 (t)k
E
Remarques 1.1.10
1. La tangente à l’arc géométrique C au point M de C ne
dépend pas du paramétrage considéré. Le vecteur unitaire tangent T (t) est
dirigé dans le sens de l’orientation induite par le paramétrage (I, r).
2. Expliquons intuitivement cette définition. Soit M = r(t) un point non anguleux de la courbe. Soit M + δM = r(t + h) un autre point de la courbe. La
droite passant par M et M + δM tend vers la tangente D à C au point M
quand δM tend vers 0. Tout vecteur non nul colinéaire à la droite D est un
vecteur tangent à C au point M . Ainsi,
1
(r(t + h) − r(t))
t→0 h
r0 (t) = lim
est tangent à la courbe au point M .
Exemples 1.1.11 Reprenons les exemples précédents du cercle, de la droite, du
graphe et de l’hélice :
1. Pour le cercle de R2 , T (t) = (− sin t, cos t) est tangent au cercle au point r(t),
c’est le vecteur eθ des coordonnées polaires.
9
CHAPITRE 1. ANALYSE VECTORIELLE
2. Pour la droite de R2 , on retrouve que r0 (t) = (v, w) est le vecteur directeur de
la droite.
3. Pour le graphe de la fonction g dans R2 ,
1
1
1
0
r (t) =
et T (t) = p
0
g 0 (t)
1 + g 0 (t)2 g (t)
4. Pour l’hélice de R3 , r0 (t) = (− sin t, cos t, 1) est tangent à la courbe.
1.1.3
Vecteur normal
Lemme 1.1.12 Soit w une application dérivable d’un intervalle I de R à valeurs
dans E. Si kwk est constante alors ∀t ∈ I, w(t).w0 (t) = 0.
Démonstration : On a par définition kw(t)k2 = w(t).w(t). En dérivant cette
expression par rapport à t et en sachant que le produit scalaire se dérive comme un
produit usuel, on a 0 = 2w(t).w0 (t).
Proposition 1.1.13 Soit (I, r) un arc paramétré de classe C 1 de E. Soit T (t) le
vecteur normal au point M = r(t). Alors le vecteur N (t) défini par
N (t) =
1
T 0 (t)
kT 0 (t)kE
est le vecteur normal principal unitaire à la courbe.
Dans R2 , la normale à l’arc géométrique au point M est la droite passant par
M et colinéaire à N (t). Dans R3 , le plan normal à l’arc géométrique au point M
contient N (t).
Démonstration : T étant un vecteur unitaire, sa norme est constante égale à 1
et par le lemme 1.1.12, on sait que N et T sont orthogonaux. Dans R2 , le repère
(M, T (t), N (t)) est appelé repère de Frenet. Dans R3 , le plan engendré par les
vecteurs T (t) et N (t) est le plan osculateur de la courbe en M = r(t).
Proposition 1.1.14 Le signe du vecteur tangent dépend de l’orientation du paramétrage choisi. Par contre, lorsqu’il existe, le vecteur normal principal ne dépend
pas du paramétrage choisi.
10
CHAPITRE 1. ANALYSE VECTORIELLE
Démonstration : Soient (I, r) et (J, m) deux arcs paramétrés décrivant le même
arc géométrique. Il existe donc un C ∞ -difféomorphisme θ de I sur J tel que r(t) =
m(θ(t)) = m(τ ) où τ = m(θ). Dans le cas du paramétrage (I, r), le vecteur tangent unitaire est donné par T (t) = r0 (t)/kr0 (t)k. Dans le cas de (J, m) par T (τ ) =
m0 (τ )/km0 (τ )k. Par la formule de dérivation composée, on a donc
θ0 (t)
T (τ ) = ±T (τ )
T (t) = 0
|θ (t)|
selon que le changement de paramétrage conserve ou non l’orientation de l’arc
géométrique. En dérivant cette dernière expression par rapport à t, on a
∂t T (t) =
θ0 (t) 0
θ (t)∂τ T (τ ) = |θ0 (t)|∂τ T (τ )
0
|θ (t)|
donc N (t) = ∂t T (t)/k∂t T (t)k = N (τ ).
Exemple 1.1.15 Soit le cercle de R2 paramétré par la fonction r définie de [0, 2π]
dans R2 par r(t) = R(cos t, sin t). Le vecteur unitaire tangent en M = r(t) au
cercle est T (t) = (− sin t, cos t) et le vecteur unitaire normal principal est N (t) =
(− cos t, − sin t) = −r(t)/kr(t)k, il pointe vers le centre du cercle. D’une manière
générale, on peut démontrer que N (t) est toujours dirigé vers la concavité de la
courbe, c’est-à-dire vers le demi-plan limité par la tangente où se trouve la courbe.
1.1.4
Longueur d’une courbe
Définition 1.1.16 Soit (I, r) un arc paramétré de classe C 1 de E. La longueur de
l’arc géométrique est donnée par
Z
l = kr0 (t)kE dt .
I
Cette définition est indépendante de la paramétrisation considérée.
Remarques 1.1.17
1. Si M = r(t)
R t et M0 = r(t0 ) alors la longueur de l’arc
géométrique entre M0 et M est t0 kr0 (s)kE ds.
2. Cette définition se comprend intuitivement en disant que si deux points r(t)
et r(t + dt) sont très proches l’un de l’autre, la longueur de l’arc de courbe
peut être assimilée à celle du segment de droite entre les deux points ∆l ≈
kr(t+dt)−r(t)k ≈ kr0 (t)k∆t. En passant aux différentiels, on obtient l’élément
de longeur de la courbe dl = kr0 (t)kdt.
11
CHAPITRE 1. ANALYSE VECTORIELLE
Exemples 1.1.18 Reprenons de nouveau les exemples de la droite, du cercle et du
graphe de R2 :
Rb
1. Le segment de droite de R2 a pour longueur l = a kvkdt = (b − a)kvk. C’est
bien sûr la valeur que l’on trouve directement par kr(b) − r(a)k = (b − a)kvk.
2. Le cercle de R2 a une longueur
Z
2π
0
Z
2π
kr (t)k2 dt =
l=
0
R
p
Z
(sin t)2
+
(cos t)2 dt
0
2π
1dt = 2πR .
=
0
On retrouve le périmètre d’un cercle de rayon R !
3. La longueur du graphe de la fonction f dans R2 est l =
1.1.5
R p
I
1 + |f 0 (x)|2 dx.
Abscisse curviligne
Définition 1.1.19 Soit (I, r) un arc paramétré de classe C 1 de E. (I, r) est appelé
abscisse curviligne de l’arc géométrique si et seulement si ∀t ∈ I , kr0 (t)k = 1.
Remarque 1.1.20 Expliquons le choix de cette appellation. soit M0 un point arbitraire de l’arc géométrique défini par M0 = r(a), a ∈ I et choisi comme origine sur la
courbe. Alors pour tout point M = r(t), t ∈ I, de l’arc géométrique, la longueur de
Rt 0
\
\
l’arc géométrique M
0 M est donné par M0 M = a kr (s)kds = (t − a). Cette abscisse
est positive si M est situé après M0 dans le sens de l’orientation positive, négative
sinon.
Proposition 1.1.21 Dans le cas d’une abscisse curviligne, T (t) = r0 (t).
Démonstration immédiate laissée en exercice.
Proposition 1.1.22 Soit (I, r) un arc paramétré de classe C 1 de E. Alors l’arc
géométrique C = r(I) admet une abscisse curviligne.
Démonstration : Soit (I, r) une paramétrisation quelconque de C. Raisonnons
par analyse/synthèse :
1. Analyse : Supposons que (I, r) admette une
il existe θ un C ∞ -difféomorphisme de I sur
km0 (s)k = 1. En particulier, ∀t ∈ I, r0 (t)
|θ0 (t)|.1. Si l’on choisit un paramétrage de
kr0 (t)k R= θ0 (t). Le changement de variables
t
θ(t) = t0 kr0 (σ)kdσ.
12
abscisse curviligne (J, m). Alors
J tel que r = m ◦ θ et ∀s ∈ J,
= θ0 (t)m0 (θ(t)), donc kr0 (t)k =
même orientation, θ0 (t) > 0 et
qui semble fonctionner est ainsi
CHAPITRE 1. ANALYSE VECTORIELLE
2. Synthèse : Soit t0 ∈ I une origine. On pose
Z t
s = α(t) =
kr0 (u)kdu .
t0
Alors pour tout t ∈ I, α0 (t) = kr0 (t)k > 0. Si on note J = α(I) et m = r ◦ α−1
alors α est un C 1 difféomorphisme de I dans J et (J, m) est un arc paramétré
définissant le même arc géométrique C. De plus, r0 (t) = α0 (t)m0 (α(t)) =
kr0 (t)km0 (α(t)). Ainsi, pour tout t ∈ I, km0 (α(t))k = 1 et pour tout s ∈ J,
km0 (s)k = 1. On a bien construit une abscisse curviligne (J, m).
Remarque 1.1.23 La démonstration précédente donne la manière de construire en
pratique une abscisse curviligne ! C’est souvent le meilleur paramètrage pour décrire
une courbe et ses caractéristiques.
1.1.6
Courbure d’un arc de courbe
Définition 1.1.24 Soit (I, r) un arc paramétré de classe C 2 de E. On appelle courbure de C au point M = r(t) la grandeur
K(t) =
kr0 (t) ∧ r”(t)k
.
kr0 (t)k3
Si (J, m) est une abscisse curviligne alors
K(τ ) = kr”(τ )k = kT 0 (τ )k et T 0 (τ ) = K(τ )N (τ )
Démonstration : Soit (I, r) un arc paramétré quelconque. En dérivant l’égalité
r0 (t) = kr0 (t)kT (t), on a
r”(t) =
d
(kr0 (t)k)T (t) + kr0 (t)kkT 0 (t)kN (t)
dt
0
(t)k
et en calculant r0 (t) ∧ r”(t), on obtient K(t) = kT
. Dans le cas d’une abscisse
kr 0 (t)k
0
0
curviligne, kr (t)k = 1 et r”(t) = kT (t)kN (t). Ainsi, K(t) = kr”(t)k = kT 0 (t)k.
Définition 1.1.25 Soit (I, r) un arc paramétré de classe C 2 de E. On appelle
1
R(t) = K(t)
le rayon de courbure de l’arc géométrique au point M = r(t). Le
cercle de rayon R(t) passant par M = r(t) et dont le centre est vers la concavité de
la courbe est le cercle qui approche le mieux (c’est-à-dire à l’ordre 2) la courbe en
M . On l’appelle le cercle osculateur de la courbe au point M = r(t). Son centre
est le centre de courbure de la courbe au point M = r(t).
13
CHAPITRE 1. ANALYSE VECTORIELLE
Exemples 1.1.26 Reprenons nos exemples traditionnels :
1. La droite du plan vérifie r”(t) = 0 donc K(t) = 0. Il est heureux de vérifier
qu’une droite a une courbure nulle !
2. Le cercle du plan vérifie r”(t) = −r(t) donc K(t) = 1/R et le cercle osculateur
coincide avec le cercle lui-même.
3. Soit (I, r) un paramétrage du graphe de l’application f telle que f (0) = f 0 (0) =
0 et que f est convexe au voisinage de zéro (cad f ”(0) > 0). On a r”(0) =
(0, f ”(0)) et K(0) = f ”(0).
Définition 1.1.27 Soit (I, r) un arc paramétré de classe C 2 de l’espace E = R3 .
On note T (t) = r0 (t)/kr0 (t)k le vecteur tangent unitaire et N (t) = T 0 (t)/kT 0 (t)k
le vecteur normal principal unitaire. On définit alors la binormale par B(t) =
T (t) ∧ N (t). Le repère {T (t), N (t), B(t)} est appelé trièdre de Frenet. Ces trois
vecteurs sont reliés, dans le cas d’une abscisse curviligne (J, m), par les relations
de Frenet :
T 0 (τ ) = K(τ )N (τ )
N 0 (τ ) = −K(τ )T (τ ) + ω(τ )B(τ )
B 0 (τ ) = −ω(τ )N (τ )
où ω est la torsion de la courbe, elle mesure la variation de B, c’est-à-dire la tendance
de la courbe à s’éloigner d’une courbe plane.
Remarque 1.1.28 Dans le cas d’une courbe de l’espace incluse dans un plan, B
est un vecteur constant (le vecteur normal au plan) et ω = 0.
1.2
1.2.1
Surfaces de R3
Paramétrages d’une surface
Plus encore que pour les courbes, la notion complète de surfaces de l’espace
euclidien est bien plus vaste que celle que nous allons voir ici. Nous nous limiterons
aux surfaces paramétrées ou à un assemblage de ces différentes surfaces le long d’arcs
paramétrés.
Définition 1.2.1 On appelle surface paramétrée de classe C p de R3 un couple
(D, r) où D est un domaine (c’est-à-dire ouvert connexe) de R2 et r une fonction
de classe C p (D, R3 ) telle que pour tout (u, v) ∈ D, les vecteurs (∂u r(u, v), ∂v r(u, v))
forment une famille libre de R3 . On appelle surface géométrique l’image de D par
r, S = r(D).
14
CHAPITRE 1. ANALYSE VECTORIELLE
Remarques 1.2.2
1. On rappelle que la fonction r est donnée par ses trois
composantes : r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))T .
2. On rappelle que deux vecteurs forment une famille libre si et seulement si ils
sont non nuls et non colinéaires.
Exemples 1.2.3
1. Un plan de l’espace est la donnée d’un point (x0 , y0 , z0 )
et de deux vecteurs non colinéaires (e1 , e2 ). Un paramétrage du plan sera donc
(D, r) où D = R2 et r la fonction de D dans R3 définie par


x0
∀(u, v) ∈ D , r(u, v) =  y0  + ue1 + ve2
z0
2. Une sphère de centre O et de rayon R est paramétrée à l’aide du paramétrage en coordonnées sphériques (D, r) où D = (0, π) × (0, 2π) et r est la
fonction définie de D dans R3 par


R sin θ cos ϕ
∀(θ, φ) ∈ D , r(θ, ϕ) =  R sin θ sin ϕ 
R cos θ
Alors on vérifie que ∂θ r.∂ϕ r = 0 donc que ces deux vecteurs sont orthogonaux
donc libres.
3. Soit g une application de R2 dans R qui à un couple (x, y) associe le réel
z = g(x, y). Le graphe de g dans R2 est la surface paramétrée (R2 , f ) où f
est la fonction définie de R2 dans R3 par
∀(x, y) ∈ R2 ,
f (x, y) = (x, y, g(x, y))
Alors ∂x f = (1, 0, ∂x g) et ∂y f = (0, 1, ∂y g) sont libres.
1.2.2
Plan tangent et vecteur normal
Définition 1.2.4 Soit (D, r) une surface paramétrée de classe C 1 de R3 . Le plan
tangent à la surface géométrique au point M = r(u, v) est le plan passant par M
et engendré par les vecteurs ∂u r(u, v) et ∂v r(u, v). Une normale unitaire à ce
plan tangent est donnée par le vecteur ~n(u, v) = ∂u r(u, v) ∧ ∂v r(u, v)/k∂u r(u, v) ∧
∂v r(u, v)k.
Remarques 1.2.5
1. La propriété k∂u r(u, v) ∧ ∂v r(u, v)k =
6 0 est la traduction
du fait que ∂u r(u, v) et ∂v r(u, v) sont libres.
15
CHAPITRE 1. ANALYSE VECTORIELLE
2. En chaque point d’une surface paramétrée, il existe donc deux normales unitaires : ~n et −~n. On fixe une orientation de la surface en choisissant un champ
de vecteurs CONTINU formé en tout point par une normale unitaire à la
surface.
3. Il existe des surfaces (ruban de Moebius) sur lesquelles on ne peut pas fixer
d’orientation. Elles sont dites non orientables mais sortent du cadre de ce
cours. Toutes les surfaces paramétrées sont orientables et le choix d’un paramétrage induit une détermination continue de la normale unitaire et ainsi
fixe l’orientation de la surface.
4. Pour une surface fermée Γ entourant un domaine Ω de l’espace (comme la
sphère), une orientation naturelle est fixée par le choix de la nomale unitaire
~n à Γ orientée vers l’extérieur de Ω. On parle alors de ”normale sortante”.
Proposition 1.2.6 Soit U est un domaine de R3 . Soit F ∈ C 1 (U, R) une fonction telle que pour tout triplet (x, y, z) ∈ U vérifiant F (x, y, z) = 0, ∇F (x, y, z) 6=
(0, 0, 0). Alors S = {(x, y, z) ∈ U | F (x, y, z) = 0} est localement une surface paramétrée, c’est-à-dire qu’en tout point (x0 , y0 , z0 ) de S, S possède un paramétrage
défini au voisinage de (x0 , y0 , z0 ).
Démonstration : Quitte à changer le nom des variables, on peut supposer que
∂z F (x0 , y0 , z0 ) 6= 0. Le théorème des fonctions implicites permet d’affirmer qu’autour
de (x0 , y0 , z0 ), il existe une fonction h d’un voisinage de (x0 , y0 ) dans R2 vers un
voisinage de z0 dans R telle que F (x, y, z) = 0 ⇔ z = h(x, y). Autour de (x0 , y0 , z0 ),
S est ainsi un graphe et définit donc une surface paramétrée.
Proposition 1.2.7 Soit S une surface donnée par l’équation cartésienne
F (x, y, z) = 0
Alors, une normale à S en (x0 , y0 , z0 ) est donnée par ∇F (x0 , y0 , z0 ) et le plan tangent
en (x0 , y0 , z0 ) à S est donné par l’équation
∂x F (x0 , y0 , z0 )(x − x0 ) + ∂y F (x0 , y0 , z0 )(y − y0 ) + ∂z F (x0 , y0 , z0 )(z − z0 ) = 0 .
Démonstration : D’après la proposition 1.2.6, on sait qu’autour de (x0 , y0 , z0 ) ∈
S, il existe une fonction h telle que F (x, y, h(x, y)) = 0. En dérivant cette expression
successivement par rapport à x et à y, on obtient
∂x F (x, y, h(x, y)) + ∂x h(x, y)∂z F (x, y, h(x, y)) = 0
∂y F (x, y, h(x, y)) + ∂y h(x, y)∂z F (x, y, h(x, y)) = 0
16
CHAPITRE 1. ANALYSE VECTORIELLE
Comme les vecteurs tangents à S donnée par z = h(x, y) sont définis par




1
0


e1 =  0
e2 =  1
∂x h(x, y)
∂y h(x, y)
on a directement que ∇F (x, y, h(x, y)) est normal à la surface S. On en déduit alors
facilement l’équation cartésienne du plan tangent.
1.3
Intégrales définies sur des courbes et surfaces
Le but de ce paragraphe est de redéfinir des intégrales sur des courbes et des
surfaces que vous avez déjà manipulées intuitivement en physique.
1.3.1
Intégrale curviligne d’une fonction scalaire
Les intégrales curvilignes sont des intégrales dont le domaine d’intégration est
une courbe.
Définition 1.3.1 Soit U un ouvert de E (E = R2 ou R3 ). Soit f une fonction de U
dans R (à valeurs réelles). Soit (I, r) un arc paramétré de E tel que C = r(I) ⊂ U .
L’intégrale curviligne de f sur C est définie par
Z
Z
f (v)dC = f (r(t))kr0 (t)kdt .
C
I
Remarques 1.3.2
1. Cette définition a bien un sens car elle est indépendante
du paramétrage choisi (I, r) pour la courbe C pourvu que l’orientation de la
courbe soit préservée (laissé en exercice).
2. dC est appelé élément de longueur de la courbe, et on retrouve comme au
paragraphe 1.1.4 que dC = dl = kr0 (t)kdt.
3. Si (I, r) est une abscisse curviligne de C, alors la formule se simplifie comme
suit
Z
Z
f (v)dC = f (r(t))dt .
C
I
2
4. Si (I, r) est un arc paramétré de R dont les composantes sont r = (x, y) et
I = [a, b], la formule s’écrit aussi
Z
Z
f (v)dC =
C
b
p
f (x(t), y(t)) x0 (t)2 + y 0 (t)2 dt .
a
17
CHAPITRE 1. ANALYSE VECTORIELLE
5. Si (I, r) est un arc paramétré de R3 dont les composantes sont r = (x, y, z) et
I = [a, b], la formule s’écrit aussi
Z
Z b
p
f (v)dC =
f (x(t), y(t), z(t)) x0 (t)2 + y 0 (t)2 + z 0 (t)2 dt .
C
a
Exemple 1.3.3 Soit f la fonction définie de R2 dans R par
∀(x, y) ∈ R2 ,
f (x, y) = x
Soit C la courbe d’équation y = x2 pour x ∈ [0, 1]. Alors l’intégrale curviligne de f
sur C est
1
Z
Z 1 p
1
1 √
2
3/2
= (5 5 − 1)
x 12 + (2x)2 dx =
(1 + 4x )
f (v)dC =
12
12
0
C
0
1.3.2
Circulation d’un champ de vecteurs
Les intégrales curvilignes sont souvent utilisées en physique pour calculer le travail d’une force. Voici sa traduction mathématique :
Définition 1.3.4 Soit U un ouvert de E (E = R2 ou R3 ). Soit F une fonction de
U dans E (à valeurs vectorielles). On dit que F définit un champ de vecteurs (ou
une force). Soit (I, r) un arc paramétré de E tel que C = r(I) ⊂ U . La circulation
de F le long de C est le réel défini par
Z
Z
Z
F (r) · dm = F (r) · T (r)dC = F (r(t)) · r0 (t)dt
C
C
I
où T est le vecteur unitaire tangent à C au point r = r(t) et · le produit scalaire sur
E. Cette définition est indépendante du paramétrage choisi pourvu que l’orientation
de la courbe soit préservée.
Démonstration : Par définition de l’intégrale curviligne, on a
Z
Z
F (v) · dm = F (v) · T (v)dC
C
ZC
= F (r(t)) · T (r(t))kr0 (t)kdt
ZI
r0 (t)
= F (r(t)) · 0
kr0 (t)kdt
kr
(t)k
ZI
= F (r(t)) · r0 (t)dt
I
18
CHAPITRE 1. ANALYSE VECTORIELLE
Remarques 1.3.5
1. La circulation d’un champ de vecteurs étant définie à
l’aide d’une intégrale curviligne, on appellera, par abus de langage, intégrale
curviligne d’une fonction vectorielle la circulation d’un champ de vecteurs.
2. La circulation d’un champ de vecteurs correspond physiquement au travail de
la force de ce champ de vecteurs. Il s’agit donc d’un réel et non d’une integrale
vectorielle ! F (r) · dm correpond au travail élémentaire de la force F , c’est le
produit scalaire de F (r) par l’élément vectoriel dm = T (r)dC dont la longueur
est celle de l’élément de longueur dC et dont la direction et le sens sont donnés
par le vecteur tangent T (r).
3. Dans le cas où E = R2 , on note F (x, y) = (F1 (x, y), F2 (x, y)) et dm = (dx, dy).
La notation devient alors
Z
Z
F (v) · dm = F1 (x, y)dx + F2 (x, y)dy
C
C
4. Si on note de plus r(t) = (x(t), y(t)) alors la formule devient
Z
Z
F (v) · dm = F1 (x, y)dx + F2 (x, y)dy
C
ZC
= F1 (x(t), y(t))x0 (t) + F2 (x(t), y(t))y 0 (t)dt
I
5. Dans le cas où E = R3 , on note F (x, y, z) = (F1 (x, y, z), F2 (x, y, z), F3 (x, y, z))
et dm = (dx, dy, dz). La notation devient alors
Z
Z
F (v) · dm = F1 (x, y, z)dx + F2 (x, y, z)dy + F3 (x, y, z)dz
C
C
6. Si on note de plus r(t) = (x(t), y(t), z(t)) alors la formule devient
Z
Z
F (v) · dm = F1 (x, y, z)dx + F2 (x, y, z)dy + F3 (x, y, z)dz
C
ZC
= F1 (x(t), y(t), z(t))x0 (t) + F2 (x(t), y(t), z(t))y 0 (t)
I
+ F3 (x(t), y(t), z(t))z 0 (t)dt
R
Exemple 1.3.6 Calculons C x2 ydx + xdy où C est le triangle reliant les trois points
O(0, 0), A(1, 0) et B(1, 2) parcouru dans le sens trigonométrique (inverse du sens des
aiguilles d’une montre). La première chose à faire pour calculer la circulation d’un
champ de vecteurs (comme une intégrale curviligne) est de donner un paramétrage
de la courbe. Cette courbe (le triangle) présentant trois points anguleux, on va la
paramétriser sur les trois cotés successivement : les segments C1 = [OA], C2 = [A, B]
puis C3 = [BO].
19
CHAPITRE 1. ANALYSE VECTORIELLE
1. Intégrale sur C1 : Soit I1 = [0, 1] et r1 ∈ C 1 (I1 , R2 ) donnée par r1 (t) = (t, 0).
Alors (I1 , r1 ) est un paramétrage de C1 ayant la bonne orientation et
Z 1
Z
2
(t2 .0.1 + t.0)dt = 0
x ydx + xdy =
0
C1
car r1 (t) = (t, 0) et r10 (t) = (1, 0).
2. Intégrale sur C2 : Soit I2 = [0, 2] et r2 ∈ C 1 (I2 , R2 ) donnée par r2 (t) = (1, t).
Alors (I2 , r2 ) est un paramétrage de C2 ayant la bonne orientation et
Z
Z 2
2
(12 .t.0 + 1.1)dt = 2
x ydx + xdy =
0
C2
car r2 (t) = (1, t) et r20 (t) = (0, 1).
3. Intégrale sur C3 : Soit I3 = [0, 1] et r3 ∈ C 1 (I3 , R2 ) donnée par r3 (t) =
(1 − t)(xB , yB ) + t(xO , yO ) = (1 − t, 2(1 − t)). Alors (I3 , r3 ) est un paramétrage
de C3 ayant la bonne orientation et
Z
Z 1
1
2
((1 − t)2 .2(1 − t).(−1) + (1 − t).(−2))dt =
x ydx + xdy =
2
C3
0
car r3 (t) = (1 − t, 2 − 2t) et r30 (t) = (−1, −2).
Définition 1.3.7 Soit F un champ de vecteurs de E dans E et C une courbe reliant
deux points A et B de E. Si la circulation de F le long de C est indépendante
du chemin suivi pour aller de A à B, on dit que le champ de vecteurs est
conservatif. Dans ce cas,
Z
f dC = f (B) − f (A) .
C
Exemple 1.3.8 Calculons le travail de la pesanteur g lorsqu’une particule de masse
m parcourt une courbe C dans un plan vertical entre deux points A de coordonnées
(xA , yA ) et B de coordonnées (xB , yB ). Notons ([a, b], r = (x, y)) une paramétrisation
de C telle que r(a) = A et r(b) = B. Alors la force exercée par la pesanteur est donnée
par F~ = (0, −mg) et son travail par
Z
Z b
~
F (r(t)) · r0 (t)dt
W = F · dm =
C
a
Z b
=
−mgy 0 (t)dt = −mg(y(b) − y(a)) = mg(yA − yB )
a
Pour ce cas particulier, l’intégrale curviligne ne dépend pas de la courbe choisie pour
joindre le point A au point B. Le champ de pesanteur est donc conservatif.
Proposition 1.3.9 Tout champ de vecteurs gradient (c’est-à-dire s’écrivant comme
le gradient d’une fonction de classe C 1 ) est un champ conservatif.
20
CHAPITRE 1. ANALYSE VECTORIELLE
Démonstration : Soit f ∈ C 1 (R2 , R). On rappelle que le champ de vecteurs
gradient de f est donné en coordonnées cartésiennes par
∂x f (x, y)
∇f (x, y) =
.
∂y f (x, y)
Alors la circulation du champ de vecteurs gradient le long d’une courbe C paramétrée
par ([a, b], r = (x, y)) est
Z
Z
b
∇f (r(t)) · r0 (t)dt
∇f · dm =
C
a
Z
b
∇f (x(t), y(t)) · (x0 (t), y 0 (t))dt
=
a
Z
b
∂x f (x(t), y(t))x0 (t) + ∂y f (x(t), y(t))y 0 (t)dt
=
a
Z
=
a
b
d
(f (x(t), y(t))dt = f (xB , yB ) − f (xA , yA ) .
dt
Cette circulation étant indépendante du chemin suivi pour relié A et B, le champ
gradient est bien conservatif.
1.3.3
Formules de Green-Riemann et de la divergence
Théorème 1.3.10 (Formule de Green-Riemann) Soit C un arc géométrique de R2
paramétré par ([a, b], r) où r ∈ C 1 ([a, b], R2 ) est injective (c’est-à-dire que la courbe
est sans point double) et telle que r(a) = r(b) (c’est-à-dire que la courbe est fermée).
On suppose de plus que ce paramétrage oriente la courbe C dans le sens trigonométrique. Alors C définit un domaine (un ouvert connexe) D de R2 et pour toutes
fonctions P et Q de classe C 1 (D, R), on a
Z
ZZ ∂P
∂Q
(x, y) −
(x, y) dxdy .
P (x, y)dx + Q(x, y)dy =
∂x
∂y
C
D
Remarque 1.3.11 Remarquez que dans la formule finale le membre de gauche est
une intégrale curviligne et le membre de droite une intégrale double classique.
Démonstration : Nous ferons la démonstration dans le cas d’un domaine D compris entre deux graphes
D := {(x, y) ∈ R2 | ϕ(x) < y < ψ(x) et a < x < b} .
21
CHAPITRE 1. ANALYSE VECTORIELLE
On a d’abord
Z Z
Z
b
Z
(−∂y P )dy dx
(−∂y P )dxdy =
a
D
!
ψ(x)
Z
ϕ(x)
b
(P (x, ϕ(x)) − P (x, ψ(x)))dx
=
Za
=
P dx
C
De même,
Z Z
b
Z
Z
(∂x Q)dy dx .
(∂x Q)dxdy =
a
D
!
ψ(x)
ϕ(x)
Le théorème de dérivation sous le signe somme permet alors d’exprimer l’intégrale
suivante
Z ψ(x)
Z ψ(x)
∂x
Q(x, y)dy =
∂x Qdy + Q(x, ψ(x))ψ 0 (x) − Q(x, ϕ(x))ϕ0 (x)
ϕ(x)
ϕ(x)
Il vient ainsi que
b
Z
Z Z
Z
∂x
∂x Qdxdy =
a
D
!
ψ(x)
Q(x, y)dy dx
ϕ(x)
Z
b
0
Z
b
Z
b
Q(x, ψ(x))ψ (x)dx +
Q(x, ϕ(x))ϕ0 (x)dx
a
a
Z ψ(b)
Z ψ(a)
=
Q(b, y)dy −
Q(a, y)dy
−
ϕ(b)
ϕ(a)
Z
b
−
0
Q(x, ψ(x))ψ (x)dx +
a
Q(x, ϕ(x))ϕ0 (x)dx
a
Z
=
Qdy
C
Ceci termine la démonstration de la formule de Green-Riemann dans ce cas particulier.
Exemple 1.3.12 Calcul de l’aire d’une ellipse E paramétrée par ([0, 2π], f ) où f
est définie par
f : [0, 2π] → R2
u
7→ (a cos u, b sin u)
22
CHAPITRE 1. ANALYSE VECTORIELLE
RR
RR 1
1
Alors aire(E) =
−
−
dxdy. En posant P et Q telles que
dxdy
=
2
E
E 2
∂Q
1
∂P
1
(x, y) = 2 et ∂y (x, y) = − 2 , c’est-à-dire telle que Q(x, y) = x2 et P (x, y) = − y2 et
∂x
en utilisant la formule de Green-Riemann, on obtient
Z
y
x
aire(E) = − dx + dy
2
2
Z 2π
ZE 2π
a
b
cos u(b cos u)du
=
− sin u(−a sin u)du +
2
2
0
0
Z 2π
ab
=
(cos2 u + sin2 u)du = πab
2
0
Nous allons maintenant donner une forme équivalente de ce théorème que vous
avez sans doute déjà utilisée en physique. Cette forme, dite formule ou théorème
de la divergence, est souvent utilisée pour décrire des propriétés de conservation :
conservation de la masse, de la charge, de la quantité de mouvement, etc...
Théorème 1.3.13 (Formule ou théorème de la divergence) Sous les hypothèses sur
C et D du théorème de Green-Riemann et en notant v un champ de vecteurs de
classe C 1 sur R2 , on a
Z
Z Z
v · ~ndC
div v dxdy =
C
D
avec ~n(t) normale sortante à D en r(t) et C = r([a, b]).
Démonstration :
Z Z Z Z
∂v1 ∂v2
+
dxdy
div v dxdx =
∂x
∂y
D
D
Z
= −v2 dx + v1 dy (par Green-Riemann)
C
Z b
=
−v2 (r(t))r10 (t) + v1 (r(t))r20 (t)dt (par définition))
Za
= v · ndC
C
1.3.4
Intégrales de surface
Définition 1.3.14 Soit (D, r) une surface paramétrée de classe C 1 et S = r(D) ⊂
R2 . Soit f une application de S dans R. L’intégrale de surface de f sur S est
définie par
Z
Z
f dS =
f (r(u, v)) k∂u r(u, v) ∧ ∂v r(u, v)k dudv .
S
D
Cette définition est indépendante du paramétrage considéré.
23
CHAPITRE 1. ANALYSE VECTORIELLE
Remarque 1.3.15 De même qu’on avait défini sur les courbes l’élément de longueur
dC, on peut définir sur les surfaces l’élément de surface
dS = k∂u r(u, v) ∧ ∂v r(u, v)k dudvk
qui correspond à l’aire élémentaire sur la surface.
Exemple 1.3.16 Calculons à l’aide de cette formule l’aire de la sphère de centre
O et de rayon R. Fixons tout d’abord un paramétrage (D, r) de la sphère comme
précédemment à l’aide des coordonnées sphériques. Alors






cos θ cos ϕ
− sin θ sin ϕ
sin2 θ cos ϕ
∂θ r(θ, ϕ)∧∂ϕ r(θ, ϕ) = R  cos θ sin ϕ ∧R  sin θ cos ϕ  = R2  sin2 θ sin ϕ 
− sin θ
0
cos θ sin θ
Ce vecteur étant de norme égale à R2 sin θ on a
Z
Z 2π Z π
2
Aire(S) =
dS = R
sin θdθdϕ = 4πR2 .
S
0
0
On a grâce à cette nouvelle définition une généralisation dans R3 du théorème de
la divergence dont la démonstration, admise, est dans ses grandes lignes analogues
au cas bidimensionnel.
Théorème 1.3.17 (Formule de Green-Ostrogradski) Soit u ∈ C 1 (R3 , R3 ). Soit Ω
un domaine borné de R3 et S sa frontière. Soit n la normale unitaire à S orientée
vers l’extérieur de Ω. Alors
Z
Z
div u dxdydz =
u · n dS
Ω
S
R
Remarques 1.3.18
1. L’intégrale S u · n dS est appelée flux du champ de vecteur u à travers la surface S.
2. Les formules de Green données dans le cas bidimensionnel se transposent directement au cas tridimensionnel.
On généralise maintenant le théorème de Green-Riemann aux surfaces. La encore
nous admettrons la démonstration.
Théorème 1.3.19 (Stokes) Soit u une application C 1 (R3 , R3 ). Soit S une surface
de R3 et C sa frontière. On suppose que les orientations de S et de C sont compatibles.
Soit n la normale unitaire à S orientée selon l’orientation de C. Alors
Z
Z
rot u · n dS = u · dm .
C
S
Remarque 1.3.20 Le théorème de Stokes énonce que le flux du rotationnel d’un
champ de vecteurs à travers une surface ouverte S est égal à la circulation de ce
champ le long de la courbe qui la délimite, l’orientation étant fixée soit par celle de
S soit par celle de C.
24
CHAPITRE 1. ANALYSE VECTORIELLE
1.4
Opérateurs usuels lors d’un changement de
coordonnées.∗
Le but de cette section est de donner quelques formules usuelles qui sont souvent
utilisées dans les modèles mathématiques de la physique avec, en particulier, les
expressions des opérateurs différentiels usuels : gradient, divergence et rotationnel,
lors d’un changement de coordonnées. A titre d’application, nous en déduirons une
démonstration de la formule de Stokes.
1.4.1
Formules usuelles de l’analyse vectorielle
Ces formules se vérifient directement en passant aux composantes cartésiennes.
Cette vérification est laissée à titre d’exercice. Nous utiliserons le symbole “nabla”
pour énoncer ces formules.
– Dérivée d’un vecteur le long d’un vecteur
(a · ∇)b = a1 ∂x b + a2 ∂y b + a3 ∂z b
Le vecteur (a · ∇)b s’obtient aussi en prenant la dérivée de la fonction t →
b(x + ta1 , y + ta2 , z + ta3 ) au point t = 0
∂t b(x + ta1 , y + ta2 , z + ta3 )|t=0 = ∂a b(x, y, z) = (a · ∇)b(x, y, z).
L’opérateur (a · ∇) est simplement l’opérateur différentiel a1 ∂x + a2 ∂y + a3 ∂z
dont les coefficients peuvent être variables.
– Gradient d’un produit scalaire
∇(a · b) = a × ∇ × b + b × ∇ × a + (a · ∇)b + (b · ∇)a.
– Divergence du produit d’une fonction scalaire et d’une fonction vectorielle
∇ · (f u) = u · ∇f + f ∇ · u.
– Divergence d’un produit vectoriel
∇ · (a × b) = b · ∇ × a − a · ∇ × b.
– Divergence d’un gradient (laplacien scalaire)
∇ · ∇f = ∆f = ∂x2 f + ∂y2 f + ∂z2 f.
– Divergence d’un rotationnel
∇ · ∇ × a = 0.
25
CHAPITRE 1. ANALYSE VECTORIELLE
– Laplacien vectoriel


∆a1
∆a =  ∆a2  .
∆a3
– Divergence d’un laplacien vectoriel
∇ · ∆a =∆ (∇ · a) .
– Rotationnel d’un gradient
∇ × ∇f = 0.
– Rotationnel du produit d’une fonction scalaire et d’une fonction
vectorielle
∇ × (f u) = ∇f × u + f ∇ × u.
– Rotationnel d’un produit vectoriel
∇ × (a × b) = a∇ · b − b∇ · a + (b · ∇)a − (a · ∇)b.
– Rotationnel d’un rotationnel
∇ × ∇ × a = ∇(∇ · a) − ∆a.
1.4.2
Opérateurs différentiels en coordonnées générales
Les changements de variables permettent généralement d’exploiter des symétries
dans la géométrie ou de réduire le nombre de variables d’un problème. Le but de
cette section est de montrer comment s’expriment les opérateurs différentiels usuels :
gradient, divergence et rotationnel après un changement de variables. Il y a
plusieurs méthodes pour obtenir ces expressions. Celle que nous utilisons ici évite
d’introduire le formalisme du calcul tensoriel et aussi “de calculer” des flux ou des
circulations sur des “éléments infinitésimaux de surface”.
Système de coordonnées sur un domaine de l’espace
Un système de coordonnées sur un domaine Ω de R3 est constitué par la donnée
d’un changement de variables
F : U −→ Ω
(u, v, w) 7−→ (x, y, z) = (F1 (u, v, w), F2 (u, v, w), F3 (u, v, w))
26
CHAPITRE 1. ANALYSE VECTORIELLE
d’un domaine U ⊂ R3 sur Ω. Rappelons qu’un changement de variable est une bijection, bicontinue entre U et Ω, indéfiniment dérivable, telle que la matrice jacobienne


∂u F1 (u, v, w) ∂v F1 (u, v, w) ∂w F1 (u, v, w)
F 0 (u, v, w) =  ∂u F2 (u, v, w) ∂v F2 (u, v, w) ∂w F2 (u, v, w) 
∂u F3 (u, v, w) ∂v F3 (u, v, w) ∂w F3 (u, v, w)
soit inversible en tout point (u, v, w), ou encore que son jacobien det F 0 (u, v, w)
vérifie
|det F 0 (u, v, w)| > 0, ∀(u, v, w) ∈ U.
Cette propriété sur le jacobien s’exprime aussi d’une façon équivalent en disant que
les vecteurs


∂u F1 (u, v, w)
F0u = ∂u F (u, v, w) =  ∂u F2 (u, v, w)  ,
∂u F3 (u, v, w)


∂v F1 (u, v, w)
F0v = ∂v F (u, v, w) =  ∂v F2 (u, v, w)  ,
∂v F3 (u, v, w)


∂w F1 (u, v, w)
F0w = ∂w F (u, v, w) =  ∂w F2 (u, v, w)  ,
∂w F3 (u, v, w)
sont linéairement indépendants, c’est-à-dire qu’ils forment un repère de R3 , dit variable, en chaque point de Ω.
Nous supposerons toujours que le changement de variables préserve l’orientation, c’est-à-dire que
det F 0 (u, v, w) > 0,
∀(u, v, w) ∈ U.
Nous noterons, de façon plus condensée, par B := F 0 (u, v, w), la matrice jacobienne et par J := det F 0 (u, v, w), le déterminant jacobien.
Rappelons les exemples usuels de systèmes de coordonnées :
– Coordonnées cartésiennes. C’est les coordonnées naturelles. On les donne
ici juste pour montrer comment elles rentrent dans le cadre commun. Elles
sont données par F identité de Ω sur Ω
F1 (x, y, z) = x,
F2 (x, y, z) = y, F3 (x, y, z) = z


1 0 0
B =  0 1 0 , J = 1
0 0 1
27
CHAPITRE 1. ANALYSE VECTORIELLE
– Coordonnées cylindriques. Elles paramétrisent un cylindre Ω, privé d’une
demi-section permettant de le développer par rotation autour de son axe, par
le pavé
U := (r, θ, z) ∈ R3 ; 0 < r < R, 0 < θ < 2π, z0 < z < z1
x = F1 (r, θ, z) = r cos θ, y = F2 (r, θ, z) = r sin θ, z = F3 (r, θ, z) = z


cos θ −r sin θ 0
B =  sin θ r cos θ 0  , J = r
0
0
1
– Coordonnées sphériques. Elles paramétrisent une sphère centrée à l’origine,
de rayon R, privée de sa demi-section dans le demi-plan {x > 0 et y = 0}, par
le pavé
U := (r, θ, ϕ) ∈ R3 ; 0 < r < R, 0 < θ < π, 0 < ϕ < 2π
x = F1 (r, θ, ϕ) = r sin θ cos ϕ, y = F2 (r, θ, ϕ) = r sin θ sin ϕ,
z = F3 (r, θ, ϕ) = r cos θ


sin θ cos ϕ r cos θ cos ϕ −r sin θ sin ϕ
B = det  sin θ sin ϕ r cos θ sin ϕ r sin θ cos ϕ  , J = r2 sin θ
cos θ
−r sin θ
0
Si f est une fonction scalaire définie sur Ω, on peut lui associer une fonction fb
définie sur U par la relation suivante
f (x, y, z) = fb(u, v, w), (x, y, z) = F (u, v, w)
autrement dit fb = f ◦ F . De la même façon pour une fonction à valeurs vectorielles
a définie sur Ω par


a1 (x, y, z)
a(x, y, z) =  a2 (x, y, z)  ,
a3 (x, y, z)
on associe une fonction à valeurs vectorielles b
a définie sur U par


b
a1 (u, v, w)
b
a2 (u, v, w)  .
a(u, v, w) =  b
b
a3 (u, v, w)
On a là aussi bien sûr a(x, y, z) = b
a(u, v, w).
Rappelons que la formule de changement de variable dans les intégrales triples
donne alors
Z
Z
f (x, y, z) dxdydz = fb(u, v, w)J(u, v, w) dudvdw.
Ω
U
Pour faciliter certaines écritures à l’aide du signe somme, nous désignerons d’une
façon équivalente (x, y, z) par (x1 , x2 , x3 ) et (u, v, w) par (v1 , v2 , v3 ).
28
CHAPITRE 1. ANALYSE VECTORIELLE
Expression du gradient dans un système de coordonnées général
Il s’agit d’exprimer les composantes du gradient


∂x1 f (x1 , x2 , x3 )
∇f (x1 , x2 , x3 ) =  ∂x2 f (x1 , x2 , x3 ) 
∂x3 f (x1 , x2 , x3 )
d’une fonction f , définie et de classe C 1 à l’aide de dérivées par rapport aux variables
vj de la fonction qui lui est associée par changement de variable fb. Le théorème des
fonctions composées donne
∂vi fb(v1 , v2 , v3 ) =
3
P
∂xj f (x1 , x2 , x3 )∂vi Fj (v1 , v2 , v3 ).
j=1
Ces relations s’expriment donc à l’aide des coefficients de la matrice jacobienne par
∂vi fb(v1 , v2 , v3 ) =
3
P
Bji ∂xj f (x1 , x2 , x3 ).
j=1
b fb le gradient de la fonction fb (dans les variables (v1 , v2 , v3 ))
Si on note par ∇


∂v1 fb(v1 , v2 , v3 )

b fb(v1 , v2 , v3 ) = 
∇
 ∂v2 fb(v1 , v2 , v3 )  ,
∂v3 fb(v1 , v2 , v3 )
on a ainsi
∇f = B >
−1
b fb
∇
(1.1)
où B > est la transposée de la matrice B, définie soit par ses coefficients
B > ij = Bji
soit à l’aide de la propriété, que nous utiliserons dans la suite,
B > u · v = u · Bv,
∀u, v ∈ R3 .
Nous verrons que, dans le cas d’un système de coordonnées orthogonales, cette
relation peut être écrite dans un repère plus adapté.
Pour ne pas alourdir (encore plus !) les formules, nous sous-entendons les arguments x des fonctions sans chapeau et v des fonctions avec un chapeau.
b fb n’a pas de
Remarque. Il faut bien faire attention au fait que le vecteur ∇
signification physique en général, contrairement au vecteur ∇f . Par exemple, si u
est un potentiel électrique, −∇u donne les composantes du champ électrique. Le
b fb désigne seulement la colonne formée par les dérivées partielles de la
vecteur ∇
fonction fb par rapport aux variables (v1 , v2 , v3 ). 29
CHAPITRE 1. ANALYSE VECTORIELLE
Expression de la divergence dans un système de coordonnées général
Soit a un champ de vecteurs défini de classe C 1 sur Ω. Soit ϕ une fonction de
classe C 1 sur R3 , identiquement nulle en dehors d’une boule
Bx0 (ρ) := x ∈ R3 ; kx − x0 k < ρ
centrée en x0 et de rayon ρ, contenue dans Ω. La formule d’Ostrogradski donne alors
Z
Z
Z
∇ · (ϕa) dx1 dx2 dx3 =
∇ · (ϕa) dx1 dx2 dx3 =
ϕa · n dS = 0
Ω
Bx0 (ρ)
Sx0 (ρ)
car ϕ est nulle sur la sphère Sx0 (ρ) de centre x0 et de rayon ρ. En utilisant la formule
donnant la divergence du produit d’une fonction scalaire et d’une fonction scalaire
et d’une fonction vectorielle, on a donc
Z
Z
ϕ∇ · a dx1 dx2 dx3 = − ∇ϕ · a dx1 dx2 dx3
Ω
Ω
La fonction ϕ,
b obtenue par changement de variables est identique à 0 aussi en
dehors d’un domaine borné W ⊂ U . La formule du changement de variable dans les
intégrales triples donne alors
Z
Z
−1
bϕ
[
ϕ
b ∇ · a J dv1 dv2 dv3 = −
B>
∇
b·b
a J dv1 dv2 dv3 .
U
Comme B >
−1
U
>
= (B −1 ) , on a aussi
B>
−1
bϕ
bϕ
∇
b·b
a=∇
b · B −1 b
a.
En réutilisant la formule d’Ostrogradski dans U , sachant que ϕ
b est nulle sur la
frontière de W , il vient
Z
Z
−1
b
b · JB −1 b
− ∇ϕ
b·B b
a J dv1 dv2 dv3 =
ϕ
b∇
a dv1 dv2 dv3 .
U
U
On en déduit ainsi par identification la formule permettant d’exprimer la transformée
[
de la divergence ∇
· a par changement de variables à l’aide de dérivées partielles
par rapport aux variables vj
b · (JB −1 b
a)
∇ · a = J1 ∇
30
CHAPITRE 1. ANALYSE VECTORIELLE
Expression du rotationnel dans un changement de coordonnées général
L’obtention de l’expression du rotationnel dans un changement de coordonnées
général demande plus de développements pour être obtenue. On pourra, dans une
première lecture sauter cette dérivation et aller directement à la formule qui donne
cette expression.
Il nous faut d’abord écrire à l’aide d’une seule formule l’expression d’une
composante quelconque (∇ × a)i du rotationnel d’un champ de vecteurs a. Pour
celà, on introduit le symbole εijk , dépendant de 3 indices 1 ≤ i, j, k ≤ 3, défini de la
façon suivante

si {i, j, k} ne sont pas tous distincts,
 0,
1,
si {i, j, k} sont une permutation paire de {1, 2, 3} ,
εijk =

−1, si {i, j, k} sont une permutation impaire de {1, 2, 3} .
Il y a 3! = 6 permutations de {1, 2, 3}. Le tableau suivant récapitule les permutations
paires des impaires
No de perm.
paires
impaires
1
{1, 2, 3}
{1, 3, 2}
2
{2, 3, 1}
{2, 1, 3}
3
{3, 1, 2}
{3, 2, 1}
De façon plus géométrique, on peut distinguer les permutations paires des impaires
en prenant un repère orthonormé direct {e1 , e2 , e3 } et en considérant le repère obtenu
par permutation {ei , ej , ek }. La permuation {i, j, k} sera paire si le repère {ei , ej , ek }
reste direct et sera impaire sinon.
La relation suivante, reliant le symbole εijk au symbole de Kronecker δmn = 1 si
m = n et 0 sinon,


δ1i δ1j δ1k
εijk = det  δ2i δ2j δ2k 
δ3i δ3j δ3k
qu’on démontre directement à l’aide des propriétés des déterminants, peut être à la
base de la définition de εijk .
A l’aide du symbole εijk , on peut ainsi écrire
3
P
(∇ × a)i =
εijk ∂xj ak .
j,k=1
Nous aurons besoin plus bas du résultat suivant.
Proposition 1.4.1 Soit A ∈ R3,3 , une matrice à 3 lignes et 3 colonnes. On alors
3
P
i,j,k=1
εijk Ail Ajm Akn =
3
P
εijk Ali Amj Ank = εlmn det A
i,j,k=1
31
CHAPITRE 1. ANALYSE VECTORIELLE
3
P
Démonstration. En développant
εijk Ai1 Aj2 Ak3 , on obtient directement que
i,j,k=1
3
P
εijk Ai1 Aj2 Ak3 = det A.
i,j,k=1
Notons alors par A(l,m,n) la matrice dont
colonnes de la matrice A :



A1l
A(l) =  A2l  , A(m) = 
A3l
les colonnes respectives sont les vecteurs

A1m
A2m  ,
A3m

A(n)

A1n
=  A2n  ,
A3n
La formule précédente et les propriétés élémentaires des déterminants donnent alors
3
P
det A(l,m,n) =
εijk Ail Ajm Akn = εlmn det A.
i,j,k=1
Pour démontrer la seconde formule, il suffit d’observer que (A> )ij = Aji pour obtenir
à partir de la première que
3
P
εijk Ali Amj Ank =
i,j,k=1
3
P
εijk A>
i,j,k=1
A>
il
jm
A>
kn
= εlmn det A> = εlmn det A.
Pour déterminer l’expression du rotationnel par rapport aux dérivées partielles
∂vj , on commence par calculer les composantes du rotationnel dans les variables vj
du champ de vecteurs B > b
a
n
3
o
P
b × B >b
∇
a
=
εijk ∂vj (B > b
a)k .
Comme
(B > b
a)k =
on a donc
3
P
i
j,k=1
B>
l=1
b
a =
kl l
3
P
l=1
∂vk Flb
al ,
n
3
o
P
b × B >b
∇
a
=
εijk ∂vj (∂vk Flb
al ),
i
j,k,l=1
qui s’écrit aussi en utilisant la dérivation d’un produit
n
3
3
3
o
P
P
P
>
b
∇× B b
a
= b
al
εijk ∂vj ∂vk Fl +
εijk ∂vk Fl ∂vj b
al .
i
l=1
j,k=1
j,k,l=1
32
CHAPITRE 1. ANALYSE VECTORIELLE
On utilise alors la propriété fondamentale suivante
3
P
εijk ∂vj ∂vk Fl = 0
j,k=1
pour écrire
n
3
o
P
>
b
∇× B b
a
=
εijk ∂vk Fl ∂vj b
al .
i
j,k,l=1
Pour exprimer les dérivées ∂vj b
al à partir des dérivées par rapport aux anciennes
variables, on utilise une nouvelle fois le théorème de dérivation des fonctions composées
3
P
∂vj b
al =
∂xm al ∂vj Fm .
m=1
Il en résulte
n
o
b × B >b
∇
=
a
i
3
P
εijk ∂vj Fm ∂vk Fl ∂xm al .
j,k,l,m=1
n
o
>
b × B >b
b
du vecteur B ∇
a
Calculons alors la composante B ∇ × B b
a
n
n
n
3
o
o
P
>
>
b
b
b
b
=
= Bni ∇ × B a
B∇ × B a
n
i
i=1
=
3
P
l,m=1
3
P
∂xm al
3
P
εijk ∂vi Fn ∂vj Fm ∂vk Fl ∂xm al
i,j,k,l,m=1
εijk ∂vi Fn ∂vj Fm ∂vk Fl
i,j,k=1
La proposition 1.4.1 montre alors que
n
3
o
P
b × B >b
B∇
a
=J
εnml ∂xm al = J {∇ × a}n .
n
l,m=1
On a ainsi obtenu l’expression du rotationnel après changement de variables par
dérivation par rapport au nouveau système de coordonnées
b × B >b
∇ × a = J1 B ∇
a .
Système de coordonnées orthogonales
Le système de coordonnées est dit orthogonal si en chaque point F0v1 , F0v2 et
F0v3 sont orthogonaux deux à deux, autrement dit, si en chaque point le repère
variable F0v1 , F0v2 , F0v3 est un repère orthogonal direct. C’est le cas, comme
on l’a déjà vérifié, pour les systèmes de coordonnées cylindriques et sphériques.
En normalisant ces vecteurs, on obtient un repère orthonormé direct {fv1 , fv2 , fv3 }
33
CHAPITRE 1. ANALYSE VECTORIELLE
en chaque point de Ω. Ceci est effectué par l’intermédiaire des coefficients dits
métriques :
hi > 0 et h2i = F0vi · F0vi ,
i = 1, 2, 3.
fvi = F0vi /hi
La matrice B a donc pour vecteurs colonne
B = h1 fv1 h2 fv2 h3 fv3 .
Soit A ∈ R3,3 et D = diag(λ1 , λ2 , λ3 ), c’est-à-dire Dij = δij λj = λi δij . Comme
(AD)ij =
3
P
Ail λl δlj = Aij λj
l=1
la matrice AD est donc obtenue en multipliant les colonnes A(j) de la matrice A par
les coefficients respectifs de la diagonale de D
AD = λ1 A(1) λ2 A(2) λ3 A(3) .
Notons donc par H = diag(h1 , h2 , h3 ) et par Q = fv1 fv2 fv3 , la matrice B
apparait ainsi comme le produit de la matrice orthogonale Q, i.e. Q−1 = Q> , et de
la matrice diagonale H
B = QH.
Pour exprimer le déterminant jacobien J à l’aide des coefficients métriques, il
suffit de remarquer que
det B > B = det B > det B = (det B)2 = J 2
det B > B = det HQ> QH = det H 2 = h21 h22 h23
et donc
J = h1 h2 h3 .
L’expression de B > peut être écrite aussi sous la forme


h1 fv>1


> .
B > = HQ> = 
h
f
2

v2 
h3 fv>3
De même, l’expression de B −1 est donnée par

>
h−1
1 fv1

−1 >
B −1 = H −1 Q> = 
 h2 fv
2
>
h−1
3 fv3
34




CHAPITRE 1. ANALYSE VECTORIELLE
et celle de B >
−1
par
B>
−1
= B −1
>
= QH −1 .
On peut maintenant exprimer les opérateurs différentiels usuels dans un système
de coordonnées orthogonal. On utilise, cependant, les composantes des champs dans
le repère orthonormé variable {f1 , f2 , f3 }.
– Gradient. La formule générale donne


1
b
∂v f
 h1 1 
> −1 b b
−1 b b
1

∇f = B
∇f = QH ∇f = fv1 fv2 fv3  h ∂v2 fb 
.
2
1
∂v fb
h3
3
Comme le produit matriciel Ax d’une matrice A ∈ R3,3 par un vecteur x ∈ R3
s’exprime aussi à l’aide d’une combinaison linéaire des vecteurs colonne A(j)
de la matrice A
3
P
Ax =
xj A(j) ,
j=1
on peut exprimer ∇f à l’aide de ses composantes dans le repère {f1 , f2 , f3 }
∇f =
1
∂ fbfv1
h1 v1
+
1
∂ fbfv2
h2 v 2
+
1
∂ fbfv3
h3 v 3
– Divergence. Calculons d’abord JB −1 b
a




>
b
h−1
f
h
h
f
·
a
 1 v1 
 2 3 v1

−1


.
−1
>
JB b
a = h1 h2 h3  h2 fv  b
a=
b
h
h
f
·
a
 1 3 v2

2
−1 >
h3 fv3
h1 h2 fv3 · b
a
Les produits scalaires fvj · b
a sont seulement les composantes avj du vecteur b
a
dans le repère variable {fv1 , fv2 , fv3 }
b
a = av1 fv1 + av2 fv2 + av3 fv3 .
Il en résulte que la divergence est donnée dans le nouveau système de coordonnées à l’aide des composantes dans le repère variable par
∇·a=
1
h1 h2 h3
(∂v1 (h2 h3 av1 ) + ∂v2 (h1 h3 av2 ) + ∂v3 (h1 h2 av3 ))
– Rotationnel. Calculons d’abord comme ci-dessus le vecteur B > b
a




h1 fv>1
h1 av1


>  a =  h2 av  .
B >b
a=
2
 h2 fv2  b
h
a
3 v3
h3 fv>3
35
CHAPITRE 1. ANALYSE VECTORIELLE
On a ensuite


∂v2 (h3 av3 ) − ∂v3 (h2 av2 )
b × B >b
∇
a =  ∂v3 (h1 av1 ) − ∂v1 (h3 av3 ) 
∂v1 (h2 av2 ) − ∂v2 (h1 av1 )
On obtient ensuite

∇×a =
1
QH
h1 h 2 h 3


∂v2 (h3 av3 ) − ∂v3 (h2 av2 )

 ∂v3 (h1 av1 ) − ∂v1 (h3 av3 )  = Q 

∂v1 (h2 av2 ) − ∂v2 (h1 av1 )
1
h2 h3
1
h1 h3
1
h1 h2
(∂v2 (h3 av3 ) − ∂v3 (h2 av2 ))

(∂v3 (h1 av1 ) − ∂v1 (h3 av3 )) 

(∂v1 (h2 av2 ) − ∂v2 (h1 av1 ))
Ce qui, comme pour le gradient, permet d’exprimer le rotationnel à l’aide de
ses composantes dans le repère variable
∇×a=
1
h2 h3
(∂v2 (h3 av3 ) − ∂v3 (h2 av2 )) fv1 + h11h3 (∂v3 (h1 av1 ) − ∂v1 (h3 av3 )) fv2 +
1
(∂v1 (h2 av2 ) − ∂v2 (h1 av1 )) fv3
h1 h2
A partir des expressions de ces opérateurs de base, on peut obtenir l’expression
d’autres opérateurs comme par exemple le laplacien scalaire qui s’écrit comme la
divergence du gradient.
– Laplacien scalaire. A partir de l’expression du gradient et de la divergence,
on a ainsi
∆f = h1 h12 h3 ∂v1 ( hh2 h1 3 ∂v1 fb) + ∂v2 ( hh1 h2 3 ∂v2 fb) + ∂v3 ( hh1 h3 2 ∂v3 fb)
Systèmes de coordonnées usuels
On déduit des formules générales précédentes pour un système de coordonnées
orthogonales, les expressions des opérateurs différentiels usuels en coordonnées cylindriques et sphériques.
– Coordonnées cylindriques.
– Coefficients métriques
hr = 1,
hθ = r,
hz = 1
– Repère variable


cos θ
fr =  sin θ  ,
0


− sin θ
fθ =  cos θ  ,
0

0
fz =  0  .
1
– Gradient
∇f = ∂r fbfr + 1r ∂θ fbfθ + ∂z fbfz
36


CHAPITRE 1. ANALYSE VECTORIELLE
– Divergence
ar = a · fr , aθ = a · fθ , az = a · fz ,
∇ · a = 1r ∂r (rar ) + 1r ∂θ aθ + ∂z az
– Rotationnel
∇ × a = ( 1r ∂θ az − ∂z aθ )fr + (∂z ar − ∂r az )fθ + ( 1r ∂r (raθ ) − 1r ∂θ ar )fz
– Laplacien
∆f = 1r ∂r (r∂r fb) +
1 2b
∂ f+
r2 θ
∂z2 fb
– Coordonnées sphériques
– Coefficients métriques
hr = 1,
– Repère variable


sin θ cos ϕ
fr =  sin θ sin ϕ  ,
cos θ
hθ = r,
hϕ = r sin θ


cos θ cos ϕ
fθ =  cos θ sin ϕ  ,
− sin θ


− sin ϕ
fϕ =  cos ϕ  .
0
– Gradient
∇f = ∂r fbfr + 1r ∂θ fbfθ +
1
∂ fbfϕ
r sin θ ϕ
– Divergence
ar = a · fr , aθ = a · fθ , aϕ = a · fϕ ,
1
1
∇ · a = 1r ∂r (r2 ar ) + r sin
∂ (sin θaθ ) + r sin
∂ a
θ θ
θ ϕ ϕ
– Rotationnel
∇×a =
1
(∂θ (sin θaϕ )−∂ϕ aθ )fr + 1r ( sin1 θ ∂ϕ ar −∂r (raϕ ))fθ + 1r (∂r (raθ )−∂θ ar )fz
r sin θ
– Laplacien
∆f = 1r ∂r (r2 ∂r fb) +
1.4.3
1
∂ (sin θ∂θ fb)
r 2 sin θ θ
+
1
∂ 2 fb
r 2 sin2 θ ϕ
Démonstration de la formule de Stokes
Nous ferons la démonstration dans le cas où la surface S est une surface paramétrée
S := (x, y, z) ∈ R3 ; x = r1 (u, v), y = r2 (u, v), z = r3 (u, v), (u, v) ∈ D
où D est un domaine fermé borné du plan limité par une courbe simple Γ. La
démonstration passe par l’expression du rotationnel dans un système de coordonnées
adapté que nous allons maintenant décrire.
37
CHAPITRE 1. ANALYSE VECTORIELLE
Système de coordonnées au voisinage d’une surface
Pour δ > 0, on définit l’application de Uδ = D × ]−δ, δ[ dans Ωδ un voisinage de
S par
F : Uδ −→ Ωδ
(u, v, w) 7−→ r(u, v) + wn(u, v)
où r(u, v) est le point appartenant à S décrit par le paramétrage précédent et
n(u, v) = r0u × r0v / kr0u × r0v k
la normale unitaire à S qu’on suppose compatible avec l’orientation fixée sur S.
On admettra le résultat intuitif suivant : pour δ > 0 assez petit, l’application
F précédente définit un système de coordonnées sur Ωδ au voisinage de S. Le point
F (u, v, 0) = r(u, v) est sur S. La jacobienne B est donnée par ses vecteurs colonnes
Bw = r0u + w∂u n r0v + w∂v n n
et le déterminant jacobien, suite à la définition du produit mixte, par
Jw = (r0u + w∂u n) × (r0v + w∂v n) · n
Nous avons distingué dans la notation le paramètre w car sur la surface S ces
fonctions ont des expressions particulièrement simples
B0 = r0u r0v n , J0 = kr0u × r0v k .
Démonstration de la formule de Stokes
On veut évaluer
Z
∇ × a · n dS.
S
Dans le système de coordonnées ci-dessus, on a
−1
>
−1 b
>
b
b
b
(∇ × a · n) |S = J0 B0 ∇ × Bw a |w=0 · n = J0 ∇ × Bw a |w=0 · B0> n
Comme
  
r0u · n = 0
0
B0> n =  r0v · n = 0  =  0 
n·n=1
1

on a donc
b × Bw> b
J0−1 B0 ∇
a |w=0 · n = J0−1 (∂u Bw> b
a 2 − ∂v Bw> b
a 1 )|w=0
38
CHAPITRE 1. ANALYSE VECTORIELLE
Mais comme les dérivations ∂u et ∂v sont indépendantes de la variable w, il vient
b × Bw> b
J0−1 B0 ∇
a |w=0 · n = J0−1 (∂u B0> b
a|w=0 2 − ∂v B0> b
a|w=0 1 )
et donc
(∇ × a · n) |S = kr0u × r0v k
−1
(∂u (r0v · b
a) − ∂v (r0u · b
a)) .
En utilisant la paramétrisation de S, on exprime donc
Z
Z
∇ × a · n dS =
(∂u (r0v · b
a) − ∂v (r0u · b
a)) dudv
S
D
La formule de Green-Riemann donne alors
Z
Z
∇ × a · n dS =
r0u · b
adu + r0v · b
adv
S
Γ
Soit alors [a, b] ∈ t 7−→ (u(t), v(t)) un paramétrage de Γ compatible avec l’orientation
directe. Il est clair que [a, b] ∈ t 7−→ m(t) = r(u(t), v(t)) est alors un paramétrage
de C compatible avec l’orientation induite par celle de S. On alors
Z
Z b
∇ × a · n dS =
a(r(u(t), v(t)) · (u0 (t)r0u (u(t), v(t)) + v 0 (t)r0v (u(t), v(t))) dt
S
a
Z b
a(r(u(t), v(t)) · m0 (t) dt
=
Za
=
a · dm
C
Ce qui démontre la formule de Stokes.
39
CHAPITRE 1. ANALYSE VECTORIELLE
40
CHAPITRE 2. TOPOLOGIE
Chapitre 2
Topologie
2.1
2.1.1
Espaces métriques : généralités.
Distance, espace métrique, espace vectoriel normé.
Définition 2.1.1 Soit X un ensemble. Une distance sur X est une application
d : X × X → R+ vérifiant les trois propritétés suivantes : pour tous (x, y, z) ∈ X 3
(d1)
d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y.
(d2)
d(x, y) = d(y, x).
(d3)
d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
La propriété (d3) s’appelle inégalité triangulaire.
Remarque 2.1.2 Les propriétés (d2) et (d3) entraı̂nent celle dite de deuxième
inégalité triangulaire (d3)0 : pour tous (x, y, z) ∈ X 3 , |d(x, z) − d(y, z)| ≤ d(x, y).
Définition 2.1.3 Un espace métrique est une paire (X, d) où X est un ensemble
et d une distance sur X.
Définition 2.1.4 Soit E un K-espace vectoriel (dans ce cours K désigne le corps
R ou C). Une norme sur E est une application N : E → R+ vérifiant les trois
propriétés suivantes : pour tous (x, y) ∈ E 2 et tout λ ∈ K,
(N1)
N (x) = 0 ⇐⇒ x = 0.
(N2)
N (λx) = |λ|N (x).
(N3)
N (x + y) ≤ N (x) + N (y).
On notera souvent la norme de x par kxk au lieu de N (x).
Remarque 2.1.5 Les propriétés (N2) et (N3) entraı̂nent celle dite de deuxième
inégalité triangulaire (N3)0 : pour tous (x, y) ∈ E 2 , |N (x) − N (y)| ≤ N (x − y).
41
CHAPITRE 2. TOPOLOGIE
Définition 2.1.6 Un espace vectoriel normé sur K (par la suite, un K-espace
vectoriel normé ) est une paire (E, k k) où E est un K-espace vectoriel et k k une
norme sur E.
Proposition 2.1.7 Soit (E, k k) un K-espace vectoriel normé. Alors l’application
d : E × E → R+
(x, y) 7→ kx − yk
est une distance sur E, appelée distance associée à k k et (E, d) est un espace
métrique.
Démonstration : Tout d’abord, d est bien définie à valeurs dans R+ . On vérifie
ensuite (d1), (d2) et (d3) directement à l’aide de (N1) et (N3).
Remarque 2.1.8 Ne jamais oublier de bien vérifier que l’application candidate à
être une distance ne prend que des valeurs positives ou nulles.
Par abus de langage, on considère désormais un espace vectoriel normé comme
un espace métrique muni de la distance associée.
2.1.2
Exemples.
Exemple 2.1.9 R muni de la valeur absolue | | est un R-espace vectoriel normé.
C muni de l’application module, notée aussi | |, est un C-espace vectoriel normé.
(Démonstrations laissées en exercice)
Exemple 2.1.10 Pour x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn , on pose
kxk1 = |x1 | + |x2 | + . . . + |xn |
kxk2 =
p
|x1 |2 + |x2 |2 + . . . + |xn |2
kxk∞ = max |xi |.
1≤i≤n
On obtient trois normes sur Rn . Les distances associées sont notées respectivement
d1 , d2 , d∞ . La distance Euclidienne est d2 . On fait de même sur Cn en remplaçant
valeur absolue par module.
42
CHAPITRE 2. TOPOLOGIE
Démonstation : Montrons que k.k1 est une norme sur Rn . C’est bien une application de Rn × Rn dans R+ . Ensuite, (N2) et (N3) sont vérifiées car R muni de
la valeur absolue est un espace vectoriel normé. Enfin, kxk1 = 0 si et seulement si
∀i = 1..n, |xi | = 0 1 c’est-à-dire si et seulement si x = 0. (L’étude des autres normes
est laissée en exercice.)
Exemple 2.1.11 Sur un ensemble arbitraire X, la distance grossière est définie
par d(x, y) = 0 si x = y et d(x, y) = 1 si x 6= y. (Vérifiez que c’est une distance !)
Cette distance n’est pas associée à une norme sauf si X est l’espace vectoriel nul.
En effet, s’il existait une telle norme N alors N (x − y) = 0 si x = y et N (x − y) = 1
si x 6= y. En prenant x 6= y (ce qui est possible si X 6= {0}) et λ ∈ K, on met
facilement la propriété (N2) en défaut. Une telle norme ne peut donc pas exister.
Exemple 2.1.12 Soit E = C([0, 1], R) le R-espace vectoriel des fonctions continues
de [0, 1] dans R. Alors l’application
E →R+
f 7→kf k∞ = sup |f (t)|
t∈[0,1]
définit une norme, appelée norme de la convergence uniforme sur [0, 1]. L’application
E →R+
1
Z
f 7→kf k1 =
|f (t)| dt
0
définit une norme, appelée norme de la convergence en moyenne sur [0, 1].
Enfin, l’application
E →R+
s
Z
1
|f (t)|2 dt
f 7→kf k2 =
0
définit une norme, appelée norme de la convergence en moyenne quadratique
sur [0, 1].
1
La somme d’un nombre fini de termes positifs est nulle si et seulement si chacun des termes
est nul.
43
CHAPITRE 2. TOPOLOGIE
Démonstration : Montrons que la norme de la convergence quadratique est une
norme sur E. La seule difficulté réside dans la démonstration de l’inégalité triangulaire. Rappelons tout d’abord l’inégalité de Hölder. Soient (f, g) ∈ E 2 . On a alors
pour tout x ∈ [0, 1], |f (x)g(x)| ≤ 12 (|f (x)|2 +|g(x)|2 ) donc en intégrant cette inégalité
entre 0 et 1,
Z 1
1
1
|f g|(x)dx ≤ kf k22 + kgk22 .
2
2
0
p
En appliquant cette inégalité au couple de fonctions (λf, g/λ) où λ = kgk2 /kf k2 ,
on obtient l’inégalité de Hölder dans le cas f 6= 0 et qui peut être facilement
étendue à ce dernier cas :
Z 1
|f (x)g(x)|dx ≤ kf k2 kgk2 .
0
Muni de cette première inégalité, il est assez aisé de démontrer l’inégalité triangulaire. Soient (f, g) ∈ E, alors
Z 1
Z 1
2
|f (x) + g(x)||g(x)|dx
kf + gk2 ≤
|f (x) + g(x)||f (x)|dx +
0
0
≤ kf + gk2 kf k2 + kf + gk2 kgk2
En divisant pas kf + gk2 on obtient l’inégalité triangulaire quand f + g 6= 0, et ce
dernier cas est évident.
Exemple 2.1.13 Soit (X, d) un espace métrique. Soit Y une partie de X. La restriction de d à Y × Y définit une distance sur Y . On dit alors que (Y, d) est un
sous-espace métrique de (X, d).
2.1.3
Distances équivalentes, normes équivalentes.
Définition 2.1.14 Soit X un ensemble et d1 , d2 deux distances sur X. On dit que
d1 et d2 sont équivalentes s’il existe deux constantes c > 0 et C > 0 telles que pour
tous (x, y) ∈ X 2 , on ait
cd1 (x, y) ≤ d2 (x, y) ≤ Cd1 (x, y) .
Soit E un K-espace vectoriel et k k1 et k k2 deux normes sur E. On dit que k k1 et
k k2 sont équivalentes s’il existe deux constantes c > 0 et C > 0 telles que pour tout
x ∈ E, on ait
ckxk1 ≤ kxk2 ≤ Ckxk1 .
Proposition 2.1.15 Si k k1 et k k2 sont deux normes équivalentes alors les distances associées sont équivalentes.
44
CHAPITRE 2. TOPOLOGIE
Démonstration : laissée en exercice.
Exemple 2.1.16 Si x ∈ Rn , on peut vérifier les inégalités suivantes.
√
kxk∞ ≤ kxk2 ≤ n kxk∞
kxk∞ ≤ kxk1 ≤ n kxk∞
√
kxk2 ≤ kxk1 ≤ n kxk2
Les normes k k1 , k k2 et k k∞ sont deux à deux équivalentes. On verra que sur Rn ,
et plus généralement sur un espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes
sont équivalentes.
Exemple 2.1.17 Soit f : R+ → R+ , x 7→ x2 et df (x, y) = |f (x) − f (y)|, (x, y) ∈
(R+ )2 une distance sur R+ . Notons d la distance associée à la valeur absolue sur R+ .
Il n’existe aucune constante positive C telle que df ≤ Cd ou d ≤ Cdf . Les distances
d et df ne sont pas équivalentes. En effet, soient (x, y) ∈ R+ , |x2 −y 2 | = |x−y||x+y|
et |x + y| ∈ [0, +∞[.
Exemple 2.1.18 Reprenons les distances k k∞ et k k1 sur E = C([0, 1], R). De
façon immédiate, on a k k1 ≤ k k∞ . En revanche, il n’existe aucune constante
positive C telle que k k∞ ≤ Ck k1 . Pour le voir, on étudie les fonctions continues fn
définies pour tout n ∈ N∗ par fn (0) = 1, fn (1/n) = 0, fn (1) = 0 et fn affine entre 0
et 1/n et entre 1/n et 1. Alors pour tout entier n ∈ N∗ , kfn k∞ = 1 et kfn k1 = 1/2n.
Remarque 2.1.19 Les propriétés des espaces métriques vues dans ce cours ne
dépendent de la distance qu’à équivalence près.
2.1.4
Espaces métriques produits.
Proposition 2.1.20 Soient (X1 , d1 ), (X2 , d2 ), . . . , (Xn , dn ) des espaces métriques.
Sur X = X1 × X2 · · · × Xn on définit l’application
d : X × X → R+
(x, y) 7→ sup di (xi , yi )
1≤i≤n
où x = (x1 , x2 , . . . , xn ) et y = (y1 , y2 , . . . , yn ). Alors d est une distance sur X, appelée
distance produit.
45
CHAPITRE 2. TOPOLOGIE
Démonstration : Tout d’abord d est bien définie à valeurs positives ou nulles car
la borne supérieure d’un nombre fini de réels positifs ou nuls est positive ou nulle. 2
On vérifie ensuite (d1) : soient (x, y) ∈ X 2 , on a
d(x, y) = 0 ⇔ sup di (xi , yi ) = 0
1≤i≤n
⇔ ∀i ∈ {1, . . . , n},
⇔ ∀i ∈ {1, . . . , n},
di (xi , yi ) = 0
xi = y i ⇔ x = y
d’après (d1) pour chaque di et le fait que di soit positive ou nulle.
La vérification de (d2) pour d est immédiate d’après (d2) pour chaque di .
On vérifie enfin (d3) : soient (x, y, z) ∈ X 3 , on a pour tout 1 ≤ i ≤ n,
di (xi , yi ) ≤ di (xi , zi ) + di (zi , yi )
≤ sup di (xi , zi ) + sup di (zi , yi )
1≤i≤n
1≤i≤n
= d(x, z) + d(z, y),
où on a utilisé (d3) pour chaque di . Par passage à la borne supérieure 3 , on conclut
que d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
Remarque 2.1.21 Dans l’énoncé précédent, on peut remplacer la distance d par
X × X 3 (x, y) 7→ d1 (x1 , y1 ) + · · · + dn (xn , yn )
ou bien
X × X 3 (x, y) 7→
p
d1 (x1 , y1 )2 + · · · + dn (xn , yn )2 .
On obtient encore des distances sur X ×X. Les vérifications sont laissées en exercice.
2.2
2.2.1
Suites dans un espace métrique.
Généralités.
Définition 2.2.1 Soit X un ensemble. Une suite de points de X est une application
de N dans X.
Par la suite, on identifie la suite f avec la famille ordonnée (f (n))n≥0 . On note
xn = f (n) le nième terme de la suite. Deux suites (xn )n≥0 et (yn )n≥0 sont identiques si
xn = yn pour tout n ≥ 0. Le terme général (ou terme de rang n) de la suite (xn )n≥0
est xn .
On suppose maintenant que (X, d) est un espace métrique.
2
Ça ne serait pas nécessairement le cas si on avait un produit infini !
Faites attention à ce raisonnement : si ∃M > 0 tel que ∀i = 1 . . . n, |di | ≤ M alors
sup1≤i≤n |di | ≤ M
3
46
CHAPITRE 2. TOPOLOGIE
Définition 2.2.2 Soit (xn )n≥0 une suite de points de X et x un point de X. On dit
que (xn )n≥0 converge vers x et on note limn→+∞ xn = x si
lim d(xn , x) = 0
n→+∞
c’est-à-dire si
∀ > 0 ,
∃n ∈ N | ∀n ∈ N , n ≥ n ⇒ d(xn , x) ≤ Proposition 2.2.3 Si elle existe, la limite d’une suite est unique.
Démonstration : Si lim xn = x et lim xn = x0 , alors d’après (d3), on a
n→+∞
n→+∞
0 ≤ d(x, x0 ) ≤ d(x, xn ) + d(xn , x0 ) pour tout n ≥ 0. Donc par passage à la limite
quand n tend vers l’infini, d(x, x0 ) = 0 et x = x0 d’après (d1).
Proposition 2.2.4 Soit (E, k k) un espace vectoriel normé. L’ensemble des suites
convergentes de E est un sous-espace vectoriel normé de l’ensemble des suites de E
et l’application lim : (xn )n≥0 7→ limn→+∞ xn est linéaire.
Démonstration : laissée en exercice.
2.2.2
Suites de Cauchy
On fixe un espace métrique (X, d). Rappelons qu’une partie Y de X est bornée
si elle est contenue dans une boule.
Définition 2.2.5 Une suite (xn )n≥0 de points de X est une suite de Cauchy si
∀ε > 0 , ∃nε ∈ N | ∀(p, q) ∈ N2 , p ≥ nε et q ≥ nε ⇒ d(xp , xq ) < ε
⇔∀ε > 0 , ∃nε ∈ N | ∀(n, h) ∈ N2 , n ≥ nε ⇒ d(xn+h , xn ) ≤ ε
Proposition 2.2.6 Toute suite de Cauchy est bornée.
Démonstration : Soit ε = 1. On choisit N = n1 comme dans la définition.
On pose M = max(1, sup{d(xN , xi ); i ≤ N − 1}). On vérifie que pour tout n,
xn ∈ B(xN , M ).
Proposition 2.2.7 Toute suite convergente dans X est de Cauchy dans X.
47
CHAPITRE 2. TOPOLOGIE
Démonstration : Soit a la limite de la suite (xn )n≥0 . Soit ε > 0. On applique la
définition de la limite avec ε/2 > 0 :
∀ > 0 , ∃n ∈ N | ∀n ∈ N ,
n ≥ n ⇒ d(xn , a) <
2
Soit maintenant (p, q) un couple d’entiers supérieurs à n . On a d(xp , xq ) ≤ d(xp , a)+
d(a, xq ) < ε/2 + ε/2. La suite (xn )n∈N est donc une suite de Cauchy de X.
Remarque 2.2.8 Les réciproques sont fausses. La suite ((−1)n )n≥0 est bornée dans
R sans être de Cauchy. La suite de rationnels (xn )n≥0 avec xn = 1 + 2!1 + · · · + n!1
est de Cauchy dans Q (car convergente dans R donc de Cauchy dans R) mais ne
converge pas dans Q car sa limite e est irrationnelle.
2.2.3
Valeurs d’adhérence.
Définition 2.2.9 Soit (xn )n≥0 une suite de points d’un ensemble X. Une soussuite (ou suite extraite) est une suite (xϕ(n) )n≥0 où l’application ϕ est strictement
croissante de N dans N.
Exemples 2.2.10
1. La suite extraite décalée (xk+N )k≥0 pour N ∈ N. Elle se
note aussi (xn )n≥N .
2. La suite extraite de rang pair est (x2k )k≥0 = (x0 , x2 , . . .). La suite extraite de
rang impair est (x2k+1 )k≥0 = (x1 , x3 , . . .).
Corollaire 2.2.11 Soit (xn )n≥0 une suite d’un espace métrique (X, d) convergeant
vers x ∈ X. Alors toute suite extraite converge vers x.
Démonstration : Soit (xϕ(n) )n≥0 une suite extraite. Puisque lim d(xn , x) = 0 et
n→+∞
que lim ϕ(n) = +∞ (c’est une propriété que l’on pourra vérifier des applications
n→+∞
strictement croissantes de N dans N), on a lim d(xϕ(n) , x) = 0 par composition des
n→+∞
limites.
Définition 2.2.12 Soit (xn )n≥0 une suite de points d’un espace métrique (X, d) et
a ∈ X. On dit que a est une valeur d’adhérence de la suite (xn )n≥0 si l’une des
trois propriétés équivalentes suivantes est vérifiées :
– il existe une suite extraite dont a est la limite
– il existe une application strictement croissante ϕ de N dans N telle que
lim xϕ(n) = a
n→+∞
48
CHAPITRE 2. TOPOLOGIE
– ∀ε > 0 , ∀n ∈ N , ∃pn,ε ∈ N | pn, ≥ n et d(xpn,ε , a) < ε .
Exemples 2.2.13
1. Une limite est une valeur d’adhérence, et c’est la seule.
2. -1 et 1 sont les valeurs d’adhérence de la suite réelle ((−1n ))n≥0 .
3. La suite ((−1n )n)n≥0 n’a pas de valeur d’adhérence dans R.
ATTENTION : Se garder de croire qu’une suite n’ayant qu’une seule valeur
d’adhérence converge ! ! Ainsi, la suite réelle définie par x2n = 0 et x2n+1 = 2n + 1
pour tout n ≥ 0 a pour seule valeur d’adhérence 0 mais ne converge pas (sinon, la
suite de rang impair convergerait, ce qui n’est pas le cas). Que 0 soit une valeur
d’adhérence est évident puisque la suite extraite de rang pair est la suite nulle. Pour
établir que c’est la seule, on part de I intervalle ouvert dans R∗ . On voit que I ne
contient au plus qu’un nombre fini de termes xn .
2.3
Topologie dans les espaces métriques.
2.3.1
Parties ouvertes, parties fermées, voisinages.
Dans cette section, on se donne un espace métrique (X, d).
Définition 2.3.1 Soit a ∈ X et r > 0. La boule ouverte de centre a et de rayon r
est la partie de X définie par
B(a, r) = {x ∈ X | d(x, a) < r}.
La boule fermée de centre a et de rayon r (r ≥ 0) est la partie de X définie par
B(a, r) = {x ∈ X | d(x, a) ≤ r}.
On note aussi Bf (a, r). Si r = 0, on a B(a, r) = {a}.
Lorsqu’il y a plusieurs ensembles ou plusieurs distances en jeu, on peut noter les
boules ouvertes BX (a, r) ou Bd (a, r) pour éviter les confusions. On adopte la même
convention pour les boules fermées.
Exemple 2.3.2 Dessiner la boule de centre 0 et de rayon 1 dans R2 pour les normes
k k∞ , k k1 et k k2 .
Définition 2.3.3 Soient Y une partie de X et a ∈ Y . On dit que Y est un voisinage
de a si Y contient une boule ouverte centrée en a, c’est-à-dire s’il existe r > 0 tel
que B(a, r) ⊂ Y .
49
CHAPITRE 2. TOPOLOGIE
Définition 2.3.4 On dit qu’une partie Y de X est ouverte dans X si elle est un
voisinage de chacun de ses points c’est-à-dire si ∀a ∈ Y , ∃ r > 0 | B(a, r) ⊂ Y .
On dit qu’une partie Y de X est fermée dans X si sa partie complémentaire
X − Y est une partie ouverte dans X.
Exemples 2.3.5
1. X et la partie vide ∅ sont à la fois ouvertes et fermées dans
X. En effet, X et ∅ sont ouvertes en appliquant la définition. Leurs complémentaires, ∅ et X, sont fermées.
2. Une boule ouverte est une partie ouverte. En effet : Soit Y = B(a, r). Soit
y ∈ B(a, r). Soit z ∈ B(y, r − d(a, y)). Alors d(a, z) ≤ d(a, y) + d(y, z) <
d(a, y) + (r − d(a, y)) < r. Donc B(y, r − d(a, y)) ⊂ B(a, r) et Y est un
voisinage de y. Comme y est arbitraire, Y est ouvert.
3. Une boule fermée est une partie fermée. En effet : Soit F = B(a, r). Montrons
que Y = X − F est une partie ouverte. Soit y ∈ Y , c’est à dire, d(a, y) > r.
Comme ci-dessus, on voit que la boule B(y, d(a, y) − r) est contenue dans
Y . Donc Y est un voisinage de y. (En effet, si x ∈ B(y, d(a, y) − r) alors
d(a, x) > d(a, y) − d(y, x) d’où d(a, x) > d(a, y) − (d(a, y) − r). Donc x ∈ Y )
4. Dans R, on B(a, r) =]a − r, a + r[ et B(a, r) = [a − r, a + r]. Q n’est ni ouvert,
ni fermé dans R. En effet, tout intervalle ouvert contient à la fois des nombres
rationnels et des nombres irrationnels.
ATTENTION : Il existe des ensembles qui ne sont ni ouvert ni fermé ! La
négation de ”être ouvert” n’est donc pas ”être fermé” mais ”ne pas être ouvert” !
2.3.2
Réunion d’ouverts, Intersection de fermés.
Soit (X, d) un espace métrique.
Proposition 2.3.6
1. Soit (Ui )i∈I une collection de parties ouvertes. Alors
[
Ui
i∈I
est une partie ouverte.
2. Soit (Ui )i∈I une collection finie de parties ouvertes. Alors
\
Ui est une partie
i∈I
ouverte.
Démonstration : 1. Soit U la réunion des Ui . Soit a ∈ U . Il existe i ∈ I tel que
a ∈ Ui . Comme Ui est ouverte, il existe r > 0 tel que B(a, r) ⊂ Ui . Donc B(a, r) ⊂ U
et U est un voisinage de a.
2. Soit V l’intersection des Ui . Soit a ∈ V . Pour tout i ∈ I, a ∈ Ui , donc il
existe ri > 0 tel que B(a, ri ) ⊂ Ui . Puisque I est fini, r = min(ri , i ∈ I) > 0. On a
50
CHAPITRE 2. TOPOLOGIE
alors B(a, r) ⊂ B(a, ri ) ⊂ Ui pour chaque i donc B(a, r) ⊂ V et V est un voisinage
de a.
Corollaire 2.3.7
1. Soit (Fi )i∈I une collection de parties fermées. Alors ∩i∈I Fi
est une partie fermée.
[
2. Soit (Fi )i∈I une collection finie de parties fermées. Alors
Fi est une partie
i∈I
fermée.
Démonstration : Il suffit de passer aux complémentaires.
ATTENTION :
\
] − 2−n , 2−n [= {0}. Une intersection non finie de parties
n≥0
ouvertes peut ne pas être ouverte.
Définition 2.3.8 (adhérence, intérieur) Soit Y une partie de X.
L’adhérence de Y est la plus petite partie fermée de X qui contient Y , c’est aussi
l’intersection de tous les fermés de X contenant Y . C’est une partie fermée de X
et on la note Y ou Adh(Y ).
L’intérieur de Y est la plus grande partie ouverte de X qui est contenue dans Y ,
c’est aussi la réunion de tous les ouverts de X contenus dans Y . C’est une partie
o
ouverte de X et on la note Y ou Int(Y ).
o
On définit aussi la frontière de Y comme Fr(Y ) = Y − Y .
Exemples 2.3.9
1. Dans (R, |.|), l’adhérence de l’intervalle [1, 2[ est l’intervalle
fermé [1, 2] et son intérieur est l’intervalle ouvert ]1, 2[. Sa frontière est la
réunion des deux singletons {1} ∪ {2}.
2. Dans Rn muni de la distance d2 , on a B(a, r) = B(a, r), Int(B(a, r)) = B(a, r)
(r > 0) et Fr(B(a, r)) est la sphère de centre a et de rayon r.
3. Il est faux de penser que l’adhérence d’une boule ouverte est toujours une
boule fermée dans un espace métrique. (voir TD)
Proposition 2.3.10 Soient P et Q deux parties de X. On a alors les inclusions et
égalités suivantes :
o
P − Q = P − Q et Int(P − Q) = P − Q
o
o
P ⊂ Q ⇒ P ⊂ Q et P ⊂ Q
o
o
Int(P ∩ Q) = P ∩ Q et P ∪ Q = P ∪ Q
o
o
P ∩ Q ⊂ P ∩ Q et P ∪ Q ⊂ Int(P ∪ Q)
51
CHAPITRE 2. TOPOLOGIE
Démonstration : laissée en exercice et partiellement vue en TD.
o
Proposition 2.3.11 Soit Y une partie de X. On a toujours Y ⊂ Y ⊂ Y . De plus,
Y est une partie ouverte de X si et seulement si elle est égale à son intérieur et est
une partie fermée de X si et seulement si elle est égale à son adhérence.
Démonstration : laissée en exercice.
Définition 2.3.12 Une partie Y de X est dite dense dans X si Y = X.
2.3.3
Caractérisation par les suites.
Soient (X, d) un espace métrique et Y une partie de X.
Proposition 2.3.13 (Caractérisation des ouverts) Y est un ouvert de X si et
seulement si pour tout x ∈ Y et pour toute suite (xn )n∈N de X tendant vers x, il
existe un certain rang n0 ∈ N à partir duquel tous les éléments de la suite sont dans
Y , c’est-à-dire ∃n0 ∈ N tel que ∀n ∈ N, n ≥ n0 ⇒ xn ∈ Y .
Démonstration : Soit Y un ouvert de (X, d). Soit x ∈ Y et (xn )n∈N une suite de
X convergeant vers x. Par définition, on a donc
∀ > 0 , ∃n ∈ N | ∀n ∈ N , n ≥ n ⇒ d(xn , x) < .
De plus, Y est voisinage de x donc il existe r > 0 tel que B(x, r) ⊂ Y . En choisissant
= r/2 > 0 et en posant n0 = n , on obtient la propriété désirée.
Réciproquement, on raisonne par contraposée. Si Y n’est pas ouvert, alors il
existe au moins un élément x ∈ Y dont Y n’est pas le voisinage, c’est-à-dire que
pour tout r > 0, la boule B(x, r) n’est pas incluse dans Y . En prenant r = 1/n
pour n ∈ N∗ , on crée une suite (xn )n∈N de X vérifiant xn ∈ X − Y et d(x, xn ) < n1 ,
c’est-à-dire une suite de X convergeant vers x et n’appartenant pas à Y à partir
d’un certain rang. D’où la réciproque.
Proposition 2.3.14 (Caractérisation de l’adhérence) Soit a ∈ X. Les trois
propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) a ∈ Y
(ii) ∀r > 0 , B(a, r) ∩ Y 6= ∅
(iii) il existe une suite de points de Y qui converge vers a dans X.
52
CHAPITRE 2. TOPOLOGIE
Démonstration : (i) =⇒ (ii) On montre la contraposée. S’il existe r > 0 tel
que B(a, r) ∩ Y = ∅ alors B(a, r) ⊂ X − Y . Comme B(a, r) est ouverte, on a
/ Y.
B(a, r) ⊂ Int(X − Y ) = X − Y . En particulier, B(a, r) ∩ Y = ∅ et a ∈
(ii) =⇒ (i) On montre la contraposée. Soit a ∈
/ Y alors a ∈ X − Y qui est
ouvert. Donc il existe r > 0 tel que B(a, r) ⊂ X − Y . Or Y ⊂ Y . Par conséquent,
∃r > 0 | B(a, r) ∩ Y = ∅.
(ii) =⇒ (iii) Pour tout n ≥ 0, B(a, 1/n)∩Y 6= ∅ donc il existe xn ∈ B(a, 1/n)∩Y .
La suite (xn )n∈N est donc une suite de points de Y qui converge vers a.
(iii) =⇒ (ii) Soit r > 0. Soit (xn )n∈N une suite de points de Y qui converge vers
a. En utilisant la définition de la limite et en prenant = r > 0, on obtient ∃nr ∈ N
tel que ∀n ∈ N, n ≥ nr ⇒ d(a, xn ) < r donc B(a, r) ∩ Y 6= ∅. Et r est arbitraire.
Corollaire 2.3.15 Une partie Y de X est fermée dans X si et seulement si toute
suite de points de Y qui converge dans X a sa limite dans Y .
Démonstration : Y fermé si et seulement si Y = Y puis on utilise le (iii) de la
propriété précédente qui affirme que l’adhérence d’une partie Y est l’ensemble des
limites des suites de points de Y .
Corollaire 2.3.16 Une partie Y de X est dense dans X si et seulement si tout
point de X est limite d’une suite de points de Y .
Démonstration : En effet, Y est dense si et seulement si Y = X.
Par exemple, Q est dense dans R car tout réel est limite d’une suite de rationnels.
2.4
Continuité.
Soient (X1 , d1 ) et (X2 , d2 ) deux espaces métriques. Sans mention explicite, f
désigne une application de X1 dans X2 .
2.4.1
Continuité en un point.
Définition 2.4.1 Soit a ∈ X1 . On dit que f est continue au point a si l’une des
trois propriétés équivalentes suivantes est vérifiée :
(1)
limx→a f (x) = f (a)
(2)
∀ε > 0 , ∃ δ > 0 | ∀x ∈ X1 , d1 (x, a) < δ ⇒ d2 (f (x), f (a)) < ε
(3)
∀ε > 0 , ∃ δ > 0 | Bd1 (a, δ) ⊂ f −1 (Bd2 (f (a), ε))
Théorème 2.4.2 f est continue au point a si et seulement si pour toute suite de
points (xn )n≥0 de X convergeant vers a alors la suite (f (xn ))n≥0 converge vers f (a).
53
CHAPITRE 2. TOPOLOGIE
Démonstration : Supposons que f soit continue au point a et soit (xn )n≥0 une
suite de points de X1 convergeant vers a. Soit ε > 0. Choisissons δ > 0 tel que
∀ x ∈ X1 , d1 (x, a) < δ =⇒ d2 (f (x), f (a)) < ε. Choisissons ensuite N ∈ N tel que
n ≥ N =⇒ d1 (xn , a) < δ. Alors pour n ∈ N, n ≥ N , il vient d2 (f (xn ), f (a)) ≤ ε.
Par définition, cela veut dire que la suite (f (xn ))n≥0 converge vers f (a).
Montrons maintenant la réciproque en utilisant la contraposée. Supposons donc
f non continue au point a : il existe ε > 0 tel que pour tout n ≥ 0 il existe un point
xn ∈ X1 vérifiant d1 (xn , a) ≤ 2−n et d2 (f (xn ), f (a)) ≥ ε. La suite (xn )n≥0 ainsi
construite converge vers a mais la suite (f (xn ))n≥0 ne converge pas vers f (a).
Corollaire 2.4.3 Soient f : X1 → X2 et g : X2 → X3 deux applications entre
espaces métriques. Si a ∈ X1 , f continue au point a et g continue au point f (a)
alors g ◦ f est continue au point a.
Corollaire 2.4.4 Soient (X, d) un espace métrique et E un espace vectoriel normé
sur K. Supposons que λ ∈ E et f, g : X → E soient continues au point a ∈ X. Alors
f + λg est continue au point a. L’ensemble des applications continues au point a de
X dans E est un sous-K-espace vectoriel normé de E X .
2.4.2
Continuité globale.
Définition 2.4.5 On dit que f est continue de X1 dans X2 si f est continue en
tout point de X1 .
Exemple 2.4.6 Soit (E, k k) un K-espace vectoriel normé. On munit E × E de
la norme k(u, v)k = kuk + kvk. L’ application s : E × E → E, (u, v) 7→ u + v est
continue. Cela découle du fait que la somme de deux suites convergentes converge
vers la somme des limites (Proposition 2.2.4).
Proposition 2.4.7 La composée d’applications continue est continue.
Proposition 2.4.8 (Caractérisation topologique) Les propriétés (1), (2) et (3) sont
équivalentes :
(1) f est continue de X1 dans X2 .
(2) L’image réciproque par f de toute partie ouverte de X2 est ouverte dans X1 .
(3) L’image réciproque par f de toute partie fermée de X2 est fermée dans X1 .
54
CHAPITRE 2. TOPOLOGIE
Démonstration : (2) ⇐⇒ (3) car l’application image réciproque est stable par
passage au complémentaire, c’est-à-dire f −1 (X − Y ) = X − f −1 (Y ).
Montrons (1) ⇒ (2). Soit U2 une partie ouverte de X2 . Soit a ∈ f −1 (U2 ). Comme
f (a) ∈ U2 et U2 est ouverte, il existe ε > 0 tel que Bd2 (f (a), ε) ⊂ U2 . Comme f est
continue en a, il existe δ > 0 tel que Bd1 (a, δ) ⊂ f −1 (Bd2 (f (a), ε)). Donc f −1 (U2 )
contient une boule ouverte centrée en a. Comme a est arbitraire, f −1 (U2 ) est ouverte.
Montrons maintenant (2) ⇒ (1). Soit ε > 0, a ∈ X1 et posons U2 = Bd2 (f (a), ε).
Comme U2 est ouverte dans X2 , f −1 (U2 ) est ouverte dans X1 et contient donc
une boule ouverte centrée en a, Bd1 (a, δ). Donc f est continue en a. Comme a est
arbitraire, f est continue de X1 dans X2 .
Exemples 2.4.9
1. Lorsque f : X → R est continue, on a par exemple que
f −1 ([a, b]) et f −1 ([c, +∞[) sont fermées dans X et f −1 (]a, b[) et f −1 (]c, +∞[)
sont ouvertes dans X.
2. Soit φ : Mn (R) → Mn (R) l’application qui à une matrice A associe la matrice
AT − A. Alors φ est continue et l’ensemble des matrices symétriques Sn (R) =
φ−1 ({0}) est un fermé de Mn (R).
2.4.3
Exemples d’applications continues.
a) Applications lipschitziennes.
Définition 2.4.10 Soit k ∈ R, k > 0. On dit que f est k-lipschitzienne si
∀ (x, y) ∈ X12
, d2 (f (x), f (y)) ≤ kd1 (x, y).
Exemples 2.4.11
1. Toute norme sur un espace vectoriel normé sur K est 1lipschitzienne. Cela découle de la deuxième inégalité triangulaire : |kxk−kyk| ≤
kx − yk.
2. Plus généralement, si d est une distance sur un ensemble X et z ∈ X alors
l’application x 7→ d(x, z) est 1-lipschitzienne. C’est encore dû à la deuxième
inégalité triangulaire.
3. Si f : ]a, b[→ R est dérivable et s’il existe une constante k > 0 telle que |f 0 (x)| ≤
k pour tout x ∈]a, b[ alors f est k-lipschitzienne. C’est une conséquence de
l’inégalité des accroissements finis : ∀ (x, y) ∈]a, b[2 , |f (x) − f (y)| ≤ k|x − y|.
Exemple 2.4.12 Si A est une partie dans un espace métrique (X, d), on définit la
distance à A par ∀x ∈ X, d(x, A) = inf{d(x, y), y ∈ A}. Montrer que l’application
X 3 x 7→ d(x, A) ∈ R+ est 1-lipschitzienne.
Proposition 2.4.13 Une application k-lipschitzienne est continue.
55
CHAPITRE 2. TOPOLOGIE
b) Applications linéaires. Soient (E, k kE ) et (F, k kF ) deux K-espaces vectoriels
normés. Soit f : E → F une application linéaire.
Proposition 2.4.14 Les assertions suivantes sont équivalentes.
(1) f est continue.
(2) f est continue au point 0.
(3) il existe une constante k > 0 telle que ∀x ∈ E, kf (x)kF ≤ kkxkE .
(4) il existe une constante k > 0 telle que f soit k-lipschitzienne.
Démonstration : On a immédiatement (1) ⇒ (2), (3) ⇒ (4) par linéarité de f
et (4) ⇒ (1) par la proposition précédente. Reste à voir (2) ⇒ (3).
Soit ε > 0. D’après la version (2) de la continuité au point 0, il existe δ > 0 tel
δ
x. Alors kykE = δ,
que kf (x)kF ≤ ε dès que kxkE ≤ δ. Si x 6= 0, posons y =
kxkE
kxkE
ε
donc kf (y)kF ≤ ε. Mais f (x) =
f (y) par linéarité de f donc kf (x)kF ≤ kxkE .
δ
δ
Cette inégalité est encore vraie si x = 0 car f (0) = 0 donc (3) est démontré.
c) Applications uniformément continues.
Définition 2.4.15 On dit que f est uniformément continue si
∀ε > 0 , ∃ δ > 0 | ∀(x, y) ∈ X12 , d1 (x, y) < δ ⇒ d2 (f (x), f (y)) < ε.
Comparer la place des quantificateurs dans cette définition et celle de la continuité en un point.
Proposition 2.4.16 Toute application uniformément continue est continue.
La réciproque est fausse comme le montre √
la fonction f :√x 7→ cos(x2 ) sur R.
En effet pour tout entier n ≥ 1, on pose xn = 2nπ et yn = 2nπ + π. On a que
|xn − yn | → 0 si n → +∞ mais |f (xn ) − f (yn )| = 2 pour tout n. La définition
d’uniforme continuité ne peut être vérifiée.
Exemple 2.4.17 Toute application k-lipschitzienne est uniformément continue. Il
suffit de prendre δ = kε .
56
CHAPITRE 2. TOPOLOGIE
2.4.4
Homéomorphismes.
Définition 2.4.18 On dit que f est un homéomorphisme de X1 sur X2 si f est
bijective de X1 sur X2 , continue sur X1 et si f −1 est continue sur X2 .
Exemple 2.4.19 Soient I et J deux intervalles de R et f est une application continue de I dans J. Alors f est un homéomorphisme de I sur J si et seulement si f
est strictement monotone et surjective. Par exemple, citons arctan : ] − π2 , π2 [→ R.
Les notions topologiques sont respectées par les homéomorphismes : soit f un
homéomorphisme de X1 sur X2 . Alors f envoie
1) une partie ouverte de X1 sur une partie ouverte de X2 .
2) une partie fermée de X1 sur une partie fermée de X2 .
3) l’intérieur d’une partie de X1 sur l’intérieur de son image.
4) l’adhérence d’une partie de X1 sur l’adhérence de son image.
5) une suite convergente dans X1 et sa limite sur une suite convergente dans X2
et sa limite.
6) une valeur d’adhérence d’une suite de X1 sur une valeur d’adhérence de la
suite image.
2.5
2.5.1
Complétude.
Espaces métriques complets, espaces de Banach.
On fixe un espace métrique (X, d).
Définition 2.5.1 Un espace métrique (X, d) est dit complet si toute suite de Cauchy
de (X, d) converge dans X. Une partie Y dans un espace métrique (X, d) est dite
complète si le sous-espace métrique (Y, d) est complet.
La complétude est donc une propriété intrinsèque à l’espace métrique. L’exemple
ci-dessus dit que Q n’est pas complet.
Proposition 2.5.2 Soit Y une partie dans un espace métrique complet (X, d). Y
est complète si et seulement si Y est une partie fermée de (X, d).
Démonstration : Supposons Y complète. Soit x ∈ Y . Soit (yn )n≥0 une suite de
points dans Y convergeant vers x. Alors (yn )n≥0 est une suite convergente de X donc
de Cauchy dans X puis dans Y . Comme (Y, d) est complet, elle converge dans Y et
par unicité de la limite, on a x ∈ Y .
Réciproquement, supposons Y fermée. Soit (yn )n≥0 une suite de points de Y .
Supposons que cette suite soit de Cauchy. Comme (X, d) est complet, elle converge
57
CHAPITRE 2. TOPOLOGIE
dans X vers un point x ∈ X. x est donc une limite de suite de points de Y et x ∈ Y .
Puisque Y est fermée, x ∈ Y . Donc toute suite de Cauchy de Y converge dans Y et
(Y, d) est un espace métrique complet.
Proposition 2.5.3 Dans un espace métrique, toute suite de Cauchy a au plus une
valeur d’adhérence, et, si elle en a une, c’est sa limite.
Démonstration : Soit (xn )n≥0 une suite de Cauchy dans X et soit a une de ses
valeurs d’adhérence. Traduisons ces deux affirmations :
∀ε > 0 , ∃n ∈ N | ∀(p, q) ∈ N2 , p, q ≥ nε ⇒ d(xp , xq ) < ε/2
∀ε > 0 , ∀n ∈ N , ∃pn,ε ∈ N | pn,ε ≥ n et d(xpn,ε , a) < ε/2
Soit ε > 0 fixé et nε ∈ N comme ci-dessus. Pour tout n ≥ nε , on choisit pn,ε ∈ N
comme ci-dessus, si bien que pn,ε ≥ n ≥ nε et
d(xn , a) ≤ d(xn , xpn,ε ) + d(xpn,ε , a) < ε
et la suite (xn )n≥0 converge vers a.
Corollaire 2.5.4 (R, | |) est complet.
Démonstration : Soit (xn )n≥0 une suite de Cauchy dans R. Elle est bornée. Par
le théorème de Bolzano-Weierstrass, elle admet une valeur d’adhérence. Donc elle
converge.
Proposition 2.5.5 Soit (Xi , di )1≤i≤r des espaces métriques complets. Alors l’espace
métrique produit est complet pour la distance produit.
Démonstration : laissée en exercice.
Corollaire 2.5.6 (Rn , k k∞ ) est complet.
En effet, la distance associée à k k∞ est la distance produit.
Définition 2.5.7 Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet.
Par exemple, (Rn , k k∞ ) est un espace de Banach.
Théorème 2.5.8 (Théorème du point fixe de Picard)Soit (X, d) un espace métrique
complet. Soit f une application contractante de X dans X. Alors f admet un unique
point fixe x ∈ X tel que f (x) = x. De plus, pour tout x0 ∈ X, la suite (xn )n≥0 de X
définie par xn+1 = f (xn ) pour tout n ∈ N, converge vers ce point fixe x.
58
CHAPITRE 2. TOPOLOGIE
Démonstration : laissée en exercice (cf 1A UV2)
2.5.2
Complétude d’espaces de fonctions.
Soit (X, d) et (Y, δ) deux espaces métriques. On appelle B(X, Y ) l’ensemble
des applications bornées de X dans Y , c’est-à-dire les applications f dont l’image
f (X) est une partie bornée de Y . On appelle C b (X, Y ) l’ensemble des applications
continues et bornées de X dans Y ; il est contenu dans B(X, Y ). Soient f, g ∈
B(X, Y ). Il existe donc (a, a0 ) ∈ Y 2 et R, R0 > 0 tel que f (X) ⊂ Bδ (a, R) et
g(X) ⊂ Bδ (a0 , R0 ). D’où pour tout x ∈ X,
δ(f (x), g(x)) ≤ δ(f (x), a) + δ(a, a0 ) + δ(a0 , g(x)) ≤ R + δ(a, a0 ) + R0 .
On peut donc définir
d∞ (f, g) = sup{δ(f (x), g(x)), x ∈ X}.
Lemme 2.5.9 d∞ est une distance sur B(X, Y ), appelée distance de la convergence
uniforme.
On a vérifié que d∞ est bien définie de B(X, Y ) × B(X, Y ) dans R+ et les trois
propriétés d’une distance se vérifient facilement.
Proposition 2.5.10 Supposons (Y, δ) complet. Alors B(X, Y ) et C b (X, Y ) sont
complets pour d∞ .
Démonstration : Montrons que B(X, Y ) est complet. Soit (fn )n≥0 une suite de
Cauchy dans B(X, Y ).
Etape 1 : Construction de la fonction limite. Soit ε > 0. On choisit Nε ∈ N
tel que p, q ≥ Nε impliquent d∞ (fp , fq ) ≤ ε. En particulier, pour tout x ∈ X, on a
δ(fp (x), fq (x)) ≤ ε. Donc la suite de points de Y , (fn (x))n≥0 , est de Cauchy. Comme
(Y, δ) est complet, elle admet une limite dans Y . Notons cette limite f (x). On appelle
f l’application qui a tout x ∈ X associe f (x) ∈ Y .
Etape 2 : La fonction f ∈ B(X, Y ). Reprenons ε > 0 et Nε ∈ N comme
ci-dessus. Soit p ≥ Nε . En faisant tendre q vers l’infini, on a pour tout x ∈ X,
δ(fp (x), f (x)) ≤ ε (car y 7→ δ(fp (x), y) est continue sur Y ). Or il existe une boule
BY (a, R) telle que fNε (X) ⊂ BY (a, R) donc
δ(a, f (x)) ≤ δ(a, fNε (x)) + δ(fNε (x), f (x)) ≤ R + ε.
Donc f est bornée.
59
CHAPITRE 2. TOPOLOGIE
Etape 3 : Montrons la convergence de (fn )n≥0 vers f pour d∞ . De l’étape
précédente, on tire que pour tout p ≥ Nε et x ∈ X, δ(fp (x), f (x)) ≤ ε. En prenant
la borne supérieure sur x, on a donc d∞ (fp , f ) ≤ ε. D’où la convergence.
Montrons que C b (X, Y ) est complet pour d∞ . Il suffit de montrer que C b (X, Y )
est fermée dans B(X, Y ). Soit (fn )n≥0 une suite de fonctions dans C b (X, Y ) convergeant vers f ∈ B(X, Y ). Donc la suite (fn )n≥0 converge uniformément vers f et
chaque fn est une fonction continue sur X donc f est continue de X dans Y .
Corollaire 2.5.11 Soient (X, d) un espace métrique et (F, k k) un K-espace vectoriel normé. Alors B(X, F ) et C b (X, F ) sont des sous-espaces vectoriels de F X
(ensemble des applications de X dans F ). On pose kf k∞ = d∞ (f, 0). Alors k k∞
est une norme sur B(X, F ), appelée norme de la convergence uniforme. Si de plus,
F est un espace de Banach, alors B(X, F ) et C b (X, F ) sont des espaces de Banach
pour k k∞ .
Les détails de la démonstration sont laissés en exercice.
2.5.3
Espace des applications linéaires continues.
Soient E et F deux K-espaces vectoriels normés. On appelle Lc (E, F ) l’ensemble
des applications linéaires et continues de E dans F . C’est un K-espace vectoriel. Si
E = F , on note Lc (E, F ) = Lc (E).
On rappelle que si u est linéaire alors la continuité de u est équivalente à
∃ k > 0 | ∀x ∈ E ,
ku(x)kF ≤ kkxkE .
Pour u ∈ Lc (E, F ) on pose
k|u|k =
sup
ku(x)kF .
x∈E,kxkE =1
Lemme 2.5.12 On a les relations suivantes pour tout u ∈ Lc (E, F ) :
k|u|k = sup ku(x)kF = sup
x∈E
kxkE ≤1
x∈E
x6=0
ku(x)kF
kxkE
et
∀x ∈ E ,
ku(x)kF ≤ k|u|k kxkE .
L’application u 7→ k|u|k est une norme sur Lc (E, F ).
60
CHAPITRE 2. TOPOLOGIE
Démonstration∗ : Fixons u. Appelons dans l’ordre d’apparition A, B, C les trois
quantités définissant k|u|k. On va démontrer les égalités entre les trois définitions
en montrant C ≥ B ≥ A ≥ C. Puisque u(0) = 0,
C≥
sup
x∈E
0<kxkE ≤1
ku(x)kF
≥
kxkE
ku(x)kF = sup ku(x)kF = B.
sup
x∈E
0<kxkE ≤1
x∈E
kxkE ≤1
Ensuite,
B = sup ku(x)kF ≥ sup ku(x)kF = A.
x∈E
kxkE ≤1
x∈E
kxkE =1
Enfin, si x ∈ E, x 6= 0,
x
x
kF = kxkE ku
kF ≤ kxkE A.
ku(x)kF = ku kxkE
kxkE
kxkE
Donc A ≥ C.
L’inégalité ku(x)kF ≤ k|u|k kxkE a été vue pour tout x ∈ E non nul. Elle reste
vraie pour x = 0.
Reste à voir que k|u|k est une norme. Soit S(0, 1) = {x ∈ E; kxkE = 1}. Muni
de la distance d(x, y) = kx − yk, c’est un espace métrique. Si u ∈ Lc (E, F ) alors la
restriction v de u à S(0, 1) est une fonction continue et bornée à valeurs dans F .
On a donc k|u|k = kvk∞ où la norme k k∞ est définie dans la section précédente.
Cela montre que l’application u 7→ k|u|k vérifie (N2) et (N3). Reste à voir (N1). Si
u ∈ Lc (E, F ) vérifie k|u|k = 0 alors l’inégalité ku(x)kF ≤ k|u|k kxkE montre que
pour tout x ∈ E, ku(x)kF = 0, donc u(x) = 0, donc u est nulle.
Théorème 2.5.13 Si (F, k kF ) est un espace de Banach alors (Lc (E, F ), k| |k) est
un espace de Banach.
Démonstration∗ : Soit (un )n≥0 une suite de Cauchy dans Lc (E, F ). Alors la suite
des restrictions vn de un à S(0, 1) est une suite de Cauchy dans (C b (S(0, 1), F ), k k∞ ).
D’après la section précédente, elle converge uniformément vers une fonction v sur
S(0, 1). Soit x ∈ E et posons
(
0,
si x = 0,
u(x) =
kxkE v kxkx E , si x 6= 0.
Tout d’abord, montrons que kun (x)−u(x)kF → 0 pour tout x ∈ E. En effet, si x = 0
c’est clair et si x 6= 0 on a si y = kxkx E que kun (x) − u(x)kF = kxkE kvn (y) − v(y)kF
et le membre de droite tend vers 0.
61
CHAPITRE 2. TOPOLOGIE
Ensuite, comme les un sont linéaires, leur limite, u, est linéaire.
Puis, comme k|u|k = kvk∞ < +∞, u est continue.
Enfin, de k|un − u|k = kvn − vk∞ on déduit la convergence de la suite (un )n≥0
vers u pour la norme k| |k.
2.6
2.6.1
Compacité.
Espaces métriques compacts
Définition 2.6.1 Un espace métrique (X, d) est dit compact si toute suite de points
de X a au moins une valeur d’adhérence dans X. Une partie Y d’un espace métrique
est dite compacte si le sous-espace métrique (Y, d) est compact.
Exemples 2.6.2
1. Les intervalles [a, b] de R sont compacts.
2. L’ensemble R n’est pas compact. En effet, la suite (n)n≥0 n’a pas de valeur
d’adhérence.
Proposition 2.6.3 Un produit fini d’espaces métriques compacts est compact.
Démonstration : On le montre par récurrence sur le nombre de facteurs.
Proposition 2.6.4 Soit Y une partie d’un espace métrique (X, d). Si Y est compacte alors Y est fermée et bornée.
Démonstration : Montrons d’abord que Y est fermée. Soit a ∈ Y . Il existe une
suite de points de Y qui converge vers a. Comme (Y, d) est compact, cette suite
admet une valeur d’adhérence dans Y . Cette valeur est nécessairement égale à a.
Donc a ∈ Y .
Montrons maintentant par l’absurde que Y est bornée. Si Y est bornée alors il
existe M > 0 et a ∈ Y tel que Y ⊂ B(a, M ). Supposons que Y n’est pas bornée.
Ceci signifie donc que ∀n ∈ N, ∀a ∈ Y , Y n’est pas inclus dans B(a, n), c’est-à-dire
qu’il existe yn ∈ Y et yn ∈
/ B(a, n). La suite (yn )n≥0 ainsi construite dans Y vérifie
d(a, yn ) ≥ n. Ainsi, aucune de ses sous-suites n’est bornée donc convergente et la
suite (yn )n≥0 n’admet aucune valeur d’adhérence bien que dans Y compact. C’est
absurde.
Remarque 2.6.5 La réciproque est fausse. Soit E = C([0, 1], R) muni de la norme
de la convergence uniforme. La boule unité fermée est bornée mais non compacte. Par
exemple, la suite de fonctions fn de l’exemple 2.1.18 n’a pas de valeur d’adhérence
(pensez à la continuité de la limite), pourtant on a kfn k∞ = 1 pour tout n.
62
CHAPITRE 2. TOPOLOGIE
Proposition 2.6.6 Soit (X, d) un espace métrique compact. Soit Y une partie de
X. Alors Y est compacte dans (X, d) si et seulement si elle fermée dans (X, d).
Démonstration : On vient de voir une implication. Pour la réciproque, supposons
Y fermée. Soit (yn )n≥0 une suite de points de Y . Comme (X, d) est compact, elle
admet une valeur d’adhérence a ∈ X. Comme limite d’une suite de points de Y , a ∈
Y . Puisque Y est fermée, on a donc a ∈ Y . Par définition, Y est donc compacte.
On en déduit la caractérisation des parties compactes de Rn .
Corollaire 2.6.7 Les parties compactes de (Rn , k k∞ ) sont les partie fermées et
bornées.
Démonstration : On connait déjà une implication. Voyons la réciproque. Supposons que Y soit fermée et bornée. Il existe un nombre R > 0 tel que Y ⊂ B(0, R).
Comme Y fermée dans Rn et Y = Y ∩ B(0, R), Y est une partie fermée de B(0, R).
Pour la norme k k∞ , B(0, R) = [−R, R]n . C’est donc un produit de compacts, qui
est compact pour la norme produit (exercice par récurrence).
2.6.2
Compacité et fonctions continues.
Proposition 2.6.8 Soit f : (X1 , d1 ) → (X2 , d2 ) une application continue. Si X1 est
compact alors f (X1 ) est compacte.
Démonstration : Soit (yn )n≥0 une suite de points dans f (X1 ). On prend xn ∈
X1 tel que f (xn ) = yn . Comme X1 est compact, la suite (xn )n≥0 admet une valeur d’adhérence. Puisque f est continue, la suite (yn )n≥0 admet donc une valeur
d’adhérence dans f (X1 ).
Corollaire 2.6.9 Toute application continue sur un espace métrique compact et à
valeurs réelles est bornée et atteint ses bornes.
Démonstration : L’image de cette application est une partie compacte de R,
donc bornée et contenant ses bornes supérieure et inférieure.
Théorème 2.6.10 (Heine) Toute application continue d’un espace métrique compact vers un espace métrique est uniformément continue.
63
CHAPITRE 2. TOPOLOGIE
Démonstration : Soit f : (X1 , d1 ) → (X2 , d2 ) une application continue et supposons X1 compact. Si f n’est pas uniformément continue alors il existe ε > 0 tel
que pour chaque entier n, on puisse trouver (xn , yn ) ∈ X12 avec d1 (xn , yn ) ≤ 2−n et
d2 (f (xn ), f (yn )) ≥ ε. Comme X1 est compact, X1 ×X1 aussi et on peut prendre deux
suites extraites communes (xnk )k≥0 et (ynk )k≥0 convergeant dans X1 . Soit x ∈ X1
et y ∈ X1 les limites respectives. On a alors d1 (x, y) = 0 mais, par continuité de f ,
d2 (f (x), f (y)) ≥ ε. C’est absurde.
2.6.3
Equivalence des normes en dimension finie
Théorème 2.6.11 Sur un espace vectoriel E de dimension finie, toutes les normes
sont équivalentes.
Démonstration : Etape 1 : construction d’une bijection de Rn dans E.
Supposons K = R (on peut toujours se ramener à ce cas). Soit (e1 , e2 , . . . , en ) une
base de E. On considère l’application linéaire u de Rn dans E définie par
u:
Rn
→
E
P
x = (x1 , x2 , . . . , xn ) 7→ u(x) = ni=1 xi ei
Puisque dimE = n, c’est une bijection (car surjection) et sa bijection réciproque est
linéaire.
Etape 2 : montrons que u est bi-lipschitzienne. On munit Rn de la norme
k.k∞ et E d’une norme quelconque k k. Vérifions maintenant que u est bilipschitzienne.
Tout d’abord, soit x ∈ Rn , alors par linéarité et l’inégalité triangulaire,
ku(x)k ≤
n
X
i=1
|xi |kei k ≤ sup |xj |
1≤j≤n
n
X
kei k = M kxk∞
i=1
P
où M est le nombre réel ni=1 kei k > 0.
Ensuite, soit S = {x ∈ Rn ; kxk∞ = 1}. C’est une partie fermée et bornée de Rn
donc compacte pour k k∞ . L’image de S par l’application continue x 7→ ku(x)k est
une partie compacte de R, donc elle atteint sa borne inférieure m : il existe z ∈ S,
tel que m = ku(z)k. Comme kzk∞ = 1 et u bijective, on a m > 0. Donc, pour
tout x ∈ S, ku(x)k ≥ m. Par homogénéı̈té, on en déduit que pour tout x ∈ Rn ,
ku(x)k ≥ mkxk∞ . En effet, si x ∈ Rn , c’est vrai si x = 0 et si x 6= 0, on a
x
x
ku(x)k = ku kxk∞
k = kxk∞ ku
k ≥ kxk∞ m.
kxk∞
kxk∞
64
CHAPITRE 2. TOPOLOGIE
Donc u est bi-lipschitzienne : ∀x ∈ E, mkxk∞ ≤ ku(x)k ≤ M kxk∞ . Il en est de
même pour u−1 .
Etape 3 : équivalence des normes. Supposons qu’on a deux normes k k1
et k k2 sur E. On a montré u−1 : (E, k k1 ) → (Rn , k k∞ ) et u : (Rn , k k∞ ) →
(E, k k2 ) sont bi-lipschitziennes. Donc leur composée, l’application identique, est
bi-lipschitzienne de (E, k k1 ) dans (E, k k2 ). Cela veut dire que les deux normes sont
équivalentes.
Corollaire 2.6.12 Sur Rn , toutes les normes sont équivalentes.
Corollaire 2.6.13 Sur un K-espace vectoriel normé de dimension finie, les parties
compactes sont les parties fermées et bornées.
Corollaire 2.6.14 Soient E, F deux K-espaces vectoriels normés avec E de dimension finie. Si u : E → F est linéaire alors elle est continue.
Démonstration∗ : Puisque toutes les normes sur E sont équivalentes, il suffit que
montrer que u est continue pour une norme adaptée. En effet, un changement de
normes revient à composer u avec l’application identique comme on l’a fait dans
la démonstration du théorème et cela entraı̂ne que u est continue pour la nouvelle
norme.
Soit (e1 , e2 , . . . , en ) une base de E. Pour x ∈ E, on écrit, x = x1 e1 + . . . + xn en
avec x1 , . . . , xn ∈ K et l’application x 7→ supni=1 |xi | est une norme sur E. Soit x ∈ E.
On a, par linéarité de u, l’inégalité triangulaire
ku(x)kF ≤
n
X
|xi |kei kF ≤ sup |xj |
i=1
1≤j≤n
n
X
kei kF = kxkE
i=1
n
X
kei kF .
i=1
La continuité de u est donc établie (puisque u est linéaire).
2.7
2.7.1
Connexité.
Espaces métriques connexes.
Définition 2.7.1 Soit (X, d) un espace métrique. On dit que X est connexe si les
seules parties à la fois ouvertes et fermées de X sont ∅ et X. Une partie Y de X
est dite connexe si l’espace métrique (Y, d) est connexe (propriété intrinsèque).
Proposition 2.7.2 Soit (X, d) un espace métrique. Les assertions suivantes sont
équivalentes.
65
CHAPITRE 2. TOPOLOGIE
1. (X, d) est non connexe
2. X est la réunion de deux parties ouvertes non vides disjointes (on dit que X
admet une déconnexion ouverte)
3. X est la réunion de deux parties fermées non vides disjointes (on dit que X
admet une déconnexion fermée)
4. Il existe une application continue de (X, d) dans ({0, 1}, | |) non constante
Démonstration : 1 ⇒ 2. Soit A est une partie ouverte et fermée non vide et
distincte de X alors il en est de même de X − A et X = A ∪ (X − A) est une
partition non triviale de X par des ouverts et par des fermés.
2 ⇔ 3 par passage au complémentaire.
3 ⇒ 1. Si X = F1 ∪ F2 est une partition non triviale de X par des fermés alors
F1 n’est ni ∅ ni X, F1 est fermée et F1 = X − F2 est ouverte.
2 ⇒ 4. Si X = U1 ∪ U2 est une partition non triviale de X par des ouverts,
on considère f , l’application indicatrice de U1 . Ses valeurs sont 0 et 1 (elle est
non constante) et elle est continue sur X. En effet, il y a quatre parties ouvertes
dans ({0, 1}, | |) : ∅, {0}, {1}, {0, 1}. Leurs images réciproques respectives par f sont
∅, U2 , U1 , X. Ce sont des parties ouvertes de X. Cela prouve la continuité de f .
4 ⇒ 1. Soit f une application continue non constante de X dans {0, 1}. Alors
−1
f ({0}) est une partie ouverte et fermée non vide et différente de X. Donc X est
non connexe.
Exemple 2.7.3 R∗ n’est pas connexe dans (R, | |).
Remarque 2.7.4 Dans ({0, 1}, | |), les boules ouvertes sont
(
{0},
B(0, r) = {x ∈ {0, 1} | |x − 0| < r} =
{0, 1},
(
{1},
B(1, r) = {x ∈ {0, 1} | |x − 1| < r} =
{0, 1},
pour r ≥ 0
si r ≤ 1,
si r > 1
si r ≤ 1,
si r > 1
Proposition 2.7.5 Soit f : (X1 , d1 ) → (X2 , d2 ) une application continue entre deux
espaces métriques. Si X1 est connexe alors f (X1 ) est connexe.
Démonstration : Soit g : f (X1 ) → {0, 1} une application continue. Alors g ◦
f : X1 → {0, 1}. Comme X1 est connexe, g ◦ f est constante égale à 0 ou à 1. Cela
implique que g est constante. Donc f (X1 ) est connexe.
Proposition 2.7.6 Soit (X, d) un espace métrique. Soit (Ai )i∈I un recouvrement de
X par des parties connexes de X d’intersection non vide. Alors X est connexe.
66
CHAPITRE 2. TOPOLOGIE
Démonstration : Soit f : X → {0, 1} une application continue. La restriction fi
de f à Ai est continue. Comme Ai est connexe, fi est constante : soit αi sa valeur.
Soit x un point commun à tous les Ai . On a donc f (x) = fi (x) = αi pour tout i. Si
y est un point de X, il existe i tel que y ∈ Ai . Donc f (y) = fi (y) = αi = f (x). Donc
f est constante de valeur f (x) et X est connexe.
Proposition 2.7.7 Soit Y une partie connexe d’un espace métrique (X, d). Si Y
est connexe alors Y est connexe et toute partie Z telle que Y ⊂ Z ⊂ Y est connexe.
Démonstration : Soit f : Z → {0, 1} une application continue. La restriction g
de f à Y est continue, donc constante puisque Y est connexe. Soit α la valeur de
g sur Y . Si z ∈ Z ⊂ Y , z est limite d’une suite de points de Y , (yn )n≥0 . Comme f
est continue, f (z) est la limite de (f (yn ))n≥0 . Mais pour tout n, f (yn ) = g(yn ) = α.
Donc f (z) = α. Ceci montre que f est constante.
Proposition 2.7.8 Un produit fini d’espaces métriques connexe est connexe.
Démonstration : On le montre par récurrence sur le nombre de facteurs.
2.7.2
Connexité dans R.
Théorème 2.7.9 Les parties connexes de R sont ∅, les singletons et les intervalles
non réduits à un point.
Démonstration : On sait déjà que ∅ et les singletons sont connexes. Soit X une
partie connexe de R contenant deux points distincts x < y. Soit z ∈]x, y[. Si z ∈
/X
alors X∩] − ∞, z[ et X∩]z, +∞[ constituent une déconnexion ouverte de X. Comme
X est connexe, c’est absurde et donc z ∈ X. Cela montre que X est un intervalle.
On admet la réciproque. (C’est une conséquence immédiate de l’exemple ci-dessous
des convexes dans un espace vectoriel normé)
Corollaire 2.7.10 (Théorème des valeurs intermédiaires) Soit (X, d) un espace métrique connexe et f : X → R une application continue. Alors pour tout
(a, b) ∈ X 2 , si f (a) < y < f (b), il existe x ∈ X tel que f (x) = y.
Démonstration : L’image de X est connexe. Comme elle contient deux points
distincts f (a) et f (b), elle contient le segment [f (a), f (b)] et y est donc l’image d’un
point x ∈ X.
67
CHAPITRE 2. TOPOLOGIE
2.7.3
Connexité par arcs.
Définition 2.7.11 Soit (X, d) un espace métrique. Soient x et y deux points de X.
Un chemin de x à y dans X est une application continue γ de [0, 1] dans X telle
que γ(0) = x et γ(1) = y.
Définition 2.7.12 Un espace métrique (X, d) est dit connexe par arcs si pour tous
points (x, y) ∈ X 2 il existe un chemin de x à y dans X.
Exemples 2.7.13 Deux exemples fondamentaux dans un espace vectoriel normé :
1. Toute partie convexe est connexe par arcs : deux points sont reliables par un
segment. Par exemple, toute boule est convexe donc connexe par arcs.
2. Une partie étoilée est connexe par arcs : par définition, une partie A est étoilée
si elle contient un point x tel que pour tout autre point y le segment de x à y
est contenu dans A.
Proposition 2.7.14 Tout espace métrique connexe par arcs est connexe.
Démonstration : Soit x ∈ X. Pour y ∈ X, considérons un chemin γy de x à y.
Alors Ay = γy ([0, 1]) estTconnexe et contient x. Donc X, égal à la réunion de toutes
les Ay , est connexe car y∈X Ay = {x} est non vide.
Proposition 2.7.15 Dans un K-espace vectoriel normé de dimension finie, toute
partie ouverte et connexe est connexe par arcs.
Démonstration : admise
ATTENTION :∗ Voici un exemple de partie connexe du plan qui n’est pas
connexe par arcs. On considère dans R2 muni d’une norme, le graphe G de f : x 7→
sin( x1 ) sur ]0, +∞[. Alors G est connexe mais non connexe par arcs.
Montrons que G est connexe par arcs : si x, y > 0 alors γ(t) = ((1 − t)x +
ty, f ((1 − t)x + ty)) est un chemin de (x, f (x)) à (y, f (y)) dans G. Par conséquent
G, puis G, sont connexes.
Soit K = {0} × [−1, 1]. Montrons que G = G ∪ K. Soit (An )n≥0 , où An =
(xn , f (xn )), une suite de points de G qui converge vers un point A = (x, y) ∈ G − G.
Alors x = 0 (sinon, la continuité de f entrainerait y = f (x) et A ∈ G) et −1 ≤ y ≤ 1
car −1 ≤ f (xn ) ≤ 1 pour tout n. Donc G − G ⊂ K. Réciproquement, si A = (0, y) ∈
K alors la suite de points de G définie par An = (xn , f (xn )) et 1/xn = arcsin y + 2nπ
vérifie An = (xn , y) et donc converge vers A. Donc K ⊂ G − G et K = G − G.
68
CHAPITRE 2. TOPOLOGIE
Reste à voir que G n’est pas connexe par arcs. Soit A = (1, sin 1) et B =
(0, 0) et supposons qu’il existe un chemin γ de A à B dans G. Soit p : R2 → R
la première projection canonique. Alors α = p ◦ γ est chemin de 1 à 0 dans R+ .
Soit c = inf{t ∈ [0, 1]; α(t) = 0}. Posons γ(c) = (0, y). On a γ(t) ∈ G pour tout
t ∈ [0, c[. Supposons y 6= 1 sinon on change les valeurs numériques ci-dessous.
Puisque α(0) = 1 et α(c) = 0, par le théorème des valeurs intermédiaires pour la
fonction continue α sur [0, c], il existe 0 < t0 < c tel que α(t0 ) = 2/π. Supposons
avoir construits 0 < t0 < t1 < . . . < tn < c tels que α(tk ) = 1/(π/2 + 2kπ). Par le
théorème des valeurs intermédiaires sur l’intervalle [tn , c], il existe tn+1 ∈]tn , c[ tel
que α(tn+1 ) = 1/(π/2 + 2(n + 1)π). On remarque que γ(tn ) = (α(tn ), 1) pour tout
n et que α(tn ) → 0 donc γ(tn ) → (0, 1). Il reste à conclure. La suite (tn )n≥0 est
croissante et majorée. Soit t ≤ c sa limite. Par continuité, on a donc γ(t) = (0, 1).
Puisque y 6= 1, on a t 6= c, mais alors γ(t) ∈ G et donc α(t) > 0. On a donc une
contradiction.
2.7.4
Exemples d’espaces connexes.
On a déjà vu les intervalles de R, les boules (ouvertes ou fermées), les convexes
dans un K-espace vectoriel normé et plus généralement les connexes par arcs dans
n’importe quel espace métrique.
Exemple 2.7.16 La sphère unité S dans un K-espace vectoriel normé de dimension
au moins 2 est connexe par arcs. Soient (x, y) ∈ S 2 . Si y 6= −x alors pour tout
(1−t)x+ty
t ∈ [0, 1], (1 − t)x + ty 6= 0 et l’application t 7→ k(1−t)x+tyk
est un chemin continu de
x à y dans S. Si y = −x, on prend un point z ∈ S différent de x et −x. Il existe
alors un chemin de x à z et de z à −x dans S, donc de x à −x par transitivité.
Exemple 2.7.17 ∗ L’extérieur d’une boule dans un K-espace vectoriel normé de
dimension au moins 2 est connexe par arcs. Prenons par exemple B la boule unité
fermée et A = E − B. L’application de ]1, +∞[×S dans A qui a (s, x) associe sx est
une bijection continue (exercice : c’est un homéomorphisme). Comme le produit de
connexes par arcs est connexe par arcs (exercice) et que l’image d’un connexe par
arcs par une application continue est connexe par arcs (exercice), il vient que A est
connexe par arcs.
Exemple 2.7.18 ∗ L’extérieur d’une partie finie dans un K-espace vectoriel normé
de dimension au moins 2 est connexe par arcs. L’application de ce résultat est que
l’ensemble des matrices complexes inversibles est connexe par arcs.
69
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