poly topo

INSA Toulouse
D´epartement STPI
PO MIC 3`eme ann´ee
UV Compl´ements de math´ematiques
2007-2008
Topologie et Analyse Vectorielle
Violaine Roussier-Michon
D´epartement GMM
[email protected]

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Avant-Propos
Ce cours de “Compl´ements de math´ematiques” est consacr´e `a une premi`ere ap-
proche de deux th´eories des math´ematiques : la topologie et l’analyse vectorielle.
Ces domaines sont des prolongements naturels des cours de premi`ere et deuxi`eme
ann´ees : la topologie g´en´eralise aux espaces m´etriques les notions de suites, de conver-
gence, de normes vues dans Rou Rntandis que l’analyse vectorielle ´elargit la notion
d’int´egrale. Elles seront abondemment utilis´ees l’une et l’autre dans un cadre moins
abstrait en GMM.
Vous trouverez dans ce polycopi´e des paragraphes ou des d´emonstrations com-
portant une ast´erisque. Ils peuvent ˆetre oubli´es en premi`ere lecture mais constituent
des compl´ements importants pour la suite de votre scolarit´e en GMM. La plupart
du temps, les d´emonstrations sont d´etaill´ees, mais vous n’aurez suffisamment tra-
vaill´e votre cours que le jour o`u vous saurez toutes les refaire, non pas en les ayant
apprises par coeur, mais en les ayant comprises et en sachant manier avec suffisam-
ment d’aisance les d´efinitions de ce cours et les liens logiques qui les relient entre
elles. N’oubliez pas qu’une d´emonstration part d’hypoth`eses, suit un cheminement
logique pour aboutir `a une conclusion !
Enfin, ce cours n’aurait pas vu le jour sans l’aide pr´ecieuse de P. Auscher et
d’A. Bendali pour leur cours respectif de topologie et d’analyse vectorielle. Qu’ils
en soient chaleureusement remerci´es ! Ce polycopi´e ne demande cependant qu’`a ˆetre
am´elior´e, n’h´esitez donc pas `a me faire part de vos suggestions.
VRM
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TABLE DES MATI ` ERES
Table des mati`eres
1 Analyse vectorielle 7
1.1 Courbes de R2et R3........................... 7
1.1.1 Param´etrages d’une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Vecteurtangent.......................... 9
1.1.3 Vecteurnormal .......................... 10
1.1.4 Longueur d’une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.5 Abscisse curviligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.6 Courbure d’un arc de courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Surfaces de R3............................... 14
1.2.1 Param´etrages d’une surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.2 Plan tangent et vecteur normal . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Int´egrales d´efinies sur des courbes et surfaces . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.1 Int´egrale curviligne d’une fonction scalaire . . . . . . . . . . . 17
1.3.2 Circulation d’un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.3 Formules de Green-Riemann et de la divergence . . . . . . . . 21
1.3.4 Int´egrales de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4 Op´erateurs usuels lors d’un changement de coordonn´ees.∗....... 25
1.4.1 Formules usuelles de l’analyse vectorielle . . . . . . . . . . . . 25
1.4.2 Op´erateurs diff´erentiels en coordonn´ees g´en´erales . . . . . . . 26
1.4.3 D´emonstration de la formule de Stokes . . . . . . . . . . . . . 37
2 Topologie 41
2.1 Espaces m´etriques : g´en´eralit´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.1 Distance, espace m´etrique, espace vectoriel norm´e. . . . . . . . 41
2.1.2 Exemples. ............................. 42
2.1.3 Distances ´equivalentes, normes ´equivalentes. . . . . . . . . . . 44
2.1.4 Espaces m´etriques produits. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2 Suites dans un espace m´etrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.1 G´en´eralit´es. ............................ 46
2.2.2 SuitesdeCauchy ......................... 47
2.2.3 Valeurs d’adh´erence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
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