Devoir maison

Université Claude Bernard Lyon 1
PCSI L1 UE TMB
Printemps 2014
Devoir maison
Exercice 1. Soit α un nombre complexe vérifiant α 6= 1 et α5 = 1.
1. Montrer que α est solution de l’equation x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0.
2. Soit β = α + α1 . Montrer que β est solution de l’équation x2 + x − 1 = 0.
3. Calculer la forme cartésienne des racines cinquièmes de l’unité.
2π
4. Calculer cos( 2π
5 ) et sin( 5 ).
5. Calculer cos( π5 ) et sin( π5 ).
Exercice 2. Soit ABCD un tétraèdre. On note A0 , B 0 , C 0 et D0 les projections orthogonales de A, B, C et
D sur les plans BCD, CDA, DAB et ABC.
1. Montrer :
−−→ −−→ −→ −−→ −−→ −−→
AB · CD + AC · DB + AD · BC = 0,
en déduire que si AB⊥CD et AC⊥BD alors AD⊥BC (Ici M M 0 désigne la droite passant par les points M
et M 0 ).
2. Montrer que AA0 , BB 0 , CC 0 et DD0 sont concourantes si et seulement si on a AB⊥CD, AC⊥BD et
AD⊥BC. On dit alors que ABCD est un tétraèdre orthocentrique.
3. Montrer qu’un tétraèdre régulier, c’est-à-dire dont les côtés ont la même longueur, est orthocentrique.
Exercice 3. Soit f un endomorphisme de R3 , c’est-à-dire une application linéaire f : R3 → R3 .
1. Supposons que f vérifie : pour tous vecteurs ~u et ~v de R3 , f (~u) · ~v = ~u · f (~v ). Montrer que la matrice
de f est une matrice symétrique dans toute base orthonormée de R3 .
2. Réciproquement, montrer que si la matrice de f dans une base orthonormée est symétrique, alors elle
l’est dans n’importe quelle base orthonormée et que f vérifie : pour tous vecteurs ~u et ~v de R3 , f (~u) · ~v =
~u · f (~v ).
Exercice 4. Soit f la fonction définie par :
f : R → R; f (x) =
3
√x + ax,
x + 1 + b,
si x ≤ 0;
si x > 0.
où a et b sont des paramètres réels.
1. Montrer que f est continue et dérivable sur R∗ .
2. Déterminer les valeurs de a et b pour que f soit continue et dérivable sur R.
3. En prenant les paramètres a et b déterminés en 2), montrer qu’il existe c ∈] − 1, 1[ tel que f 0 (c) = 1/4.
4. En prenant les paramètres a et b déterminés en 2), f est-elle deux fois dérivable?
5. En prenant les paramètres a et b déterminés en 2), calculer le polynôme de Taylor de f à l’ordre 2 au
point x0 = −1.
1
Exercice 5. Montrer que pour tout (x, y) ∈ R2 vérifiant xy 6= 1 on a :

si xy < 1;
 0
x+y
π
si xy > 1 et x > 0 et y > 0,
arctan x + arctan y − arctan(
)=

1 − xy
−π si xy < 1 et x < 0 et y < 0.
Exercice 6. Calculer, en justifiant, la dérivée de la fonction :
π π
F :] − , [→ R, F (x) =
2 2
Z
shx
−tanx
√
1
dt.
1 + t2
Exercice 7. Soit a > 0 et soit f la fonction définie par f (x) = x3/2 . Soit C la portion de la courbe de f
délimitée par 0 et a. Calculer le volume engendré par la rotation de C autour de l’axe des x.
Exercice 8. Le mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique dirigé suivant l’axe Oz est
régi par un système différentiel de la forme :
 00
 x = ωy 0
y 00 = −ωx0

z 00 = 0
où ω dépend de la masse et de la charge de la particule et du champ magnétique. En utilisant u = x0 + iy 0
résoudre ce système différentiel.
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