Devoir maison

Universit´e Claude Bernard Lyon 1 PCSI L1 UE TMB
Printemps 2014
Devoir maison
Exercice 1. Soit αun nombre complexe v´erifiant α6= 1 et α5= 1.
1. Montrer que αest solution de l’equation x4+x3+x2+x+ 1 = 0.
2. Soit β=α+1
α. Montrer que βest solution de l’´equation x2+x−1 = 0.
3. Calculer la forme cart´esienne des racines cinqui`emes de l’unit´e.
4. Calculer cos(2π
5) et sin(2π 5).
5. Calculer cos(π
5) et sin(π 5).
Exercice 2. Soit ABCD un t´etra`edre. On note A0, B0, C0et D0les projections orthogonales de A, B, C et
Dsur les plans BCD, CDA, DAB et ABC.
1. Montrer : −−→
AB ·−−→ CD +−→ AC ·−−→ DB +−−→ AD ·−−→ BC = 0,
en d´eduire que si AB⊥CD et AC⊥BD alors AD⊥BC (Ici MM0d´esigne la droite passant par les points M
et M0).
2. Montrer que AA0,BB0,CC0et DD0sont concourantes si et seulement si on a AB⊥CD,AC⊥BD et
AD⊥BC. On dit alors que ABCD est un t´etra`edre orthocentrique.
3. Montrer qu’un t´etra`edre r´egulier, c’est-`a-dire dont les cˆot´es ont la mˆeme longueur, est orthocentrique.
Exercice 3. Soit fun endomorphisme de R3, c’est-`a-dire une application lin´eaire f:R3→R3.
1. Supposons que fv´erifie : pour tous vecteurs ~u et ~v de R3,f(~u)·~v =~u ·f(~v). Montrer que la matrice
de fest une matrice sym´etrique dans toute base orthonorm´ee de R3.
2. R´eciproquement, montrer que si la matrice de fdans une base orthonorm´ee est sym´etrique, alors elle
l’est dans n’importe quelle base orthonorm´ee et que fv´erifie : pour tous vecteurs ~u et ~v de R3,f(~u)·~v =
~u ·f(~v).
Exercice 4. Soit fla fonction d´efinie par :
f:R→R;f(x) = x3+ax, si x≤0;
√x+1+b, si x > 0.
o`u aet bsont des param`etres r´eels.
1. Montrer que fest continue et d´erivable sur R∗.
2. D´eterminer les valeurs de aet bpour que fsoit continue et d´erivable sur R.
3. En prenant les param`etres aet bd´etermin´es en 2), montrer qu’il existe c∈]−1,1[ tel que f0(c)=1/4.
4. En prenant les param`etres aet bd´etermin´es en 2), fest-elle deux fois d´erivable?
5. En prenant les param`etres aet bd´etermin´es en 2), calculer le polynˆome de Taylor de f`a l’ordre 2 au
point x0=−1.
1

Exercice 5. Montrer que pour tout (x, y)∈R2v´erifiant xy 6= 1 on a :
arctan x+ arctan y−arctan( x+y
1−xy ) = 
0 si xy < 1;
πsi xy > 1 et x > 0 et y > 0,
−πsi xy < 1 et x < 0 et y < 0.
Exercice 6. Calculer, en justifiant, la d´eriv´ee de la fonction :
F:] −π
2,π 2[→R, F (x) = Zshx
−tanx
1
√1 + t2dt.
Exercice 7. Soit a > 0 et soit fla fonction d´efinie par f(x) = x3/2. Soit Cla portion de la courbe de f
d´elimit´ee par 0 et a. Calculer le volume engendr´e par la rotation de Cautour de l’axe des x.
Exercice 8. Le mouvement d’une particule charg´ee dans un champ magn´etique dirig´e suivant l’axe Oz est
r´egi par un syst`eme diff´erentiel de la forme :
x00 =ωy0
y00 =−ωx0
z00 = 0
o`u ωd´epend de la masse et de la charge de la particule et du champ magn´etique. En utilisant u=x0+iy0
r´esoudre ce syst`eme diff´erentiel.
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