Utilisation de la lgn et du tlc en statistique 1 Loi de grands

Probabilit´ es-Statistiques Ann´ ee 2008-2009
Utilisation de la lgn et du tlc en statistique
Dans de nombreux probl`emes concrets interviennent des quantit´es al´eatoires, dont on ne connaˆıt
a priori pas la loi. Une approche possible consiste `a faire l’hypoth`ese que les lois en questions
appartiennent `a des familles de lois connues, d´ependant de param`etres, par exemple : lois de Ber-
noulli B(p), lois exponentielles E(λ), de Poisson P(λ), gaussiennes N(µ, σ2) etc. Ayant fait cette
hypoth`ese, le but de la statistique param´etrique est d’estimer le ou les param`etres de la loi, dans
les exemples ci-dessus : p, λ, (µ, σ2).
1 Loi de grands nombres pour fournir des estimateurs
Supposons que dans une exp´erience concr`ete intervient une quantit´e al´eatoire dont la loi appartient
`a une famille de lois (connue) d´ependant d’un param`etre (inconnu), disons Θ(θ). Une m´ethode
possible pour estimer le param`etre θconsiste `a utiliser la loi des grands nombres.
Exemple 1 : Lors d’un r´ef´erendum avec deux r´eponses possibles (0 ou 1), on fait un sondage `a
la sortie des urnes pour pr´edire le r´esultat final avant que tous les bulletins ne soient d´epouill´es.
`
A cette fin, on demande `a npersonnes pour qui ils ont vot´e lorsqu’ils sortent de l’isoloire ; on
r´ecolte ainsi des donn´ees (x1, . . . , xn)∈ {0,1}n. Soit pla proportion (inconnue) d’´electeurs ayant
vot´e 1 dans la population totale. Un mod`ele naturel pour d´ecrire le vote consiste `a supposer que
les ´electeurs font le choix 0 avec probabilit´e 1 −pet le choix 1 avec probabilit´e p, autrement dit
que les xisont des r´ealisations de variables ind´ependantes Xide loi de Bernoulli B(p). D’apr`es la
loi (faible) des grands nombres, lorsque ntend vers l’infini, on a alors :
bpn:= 1
n
n
X
i=1
Xi
P
−→ E[X1] = p.
Lorsque nest grand, avec une probabilit´e proche de 1, on peut affirmer que bpn≈p. La loi des
grands nombres nous fournit donc un bon candidat pour estimer p.
Exemple 2 : Dans une usine fabriquant des composants ´electriques, on veut s’assurer que des
r´esistances ont une dur´ee de vie suffisament grande pour pouvoir ˆetre commercialis´ees. On pr´el`eve
nr´esistances de la chaˆıne de production et on mesure leur dur´ee de vie dans un circuit test. On
r´ecolte ainsi des donn´ees (x1, . . . , xn)∈Rn
+. La dur´ee de vie des r´esistances peut ˆetre mod´elis´ee par
une variable al´eatoire de loi expontentielle E(λ) o`u λest un param`etre inconnu. Autrement dit, on
peut supposer que les xisont des r´ealisations de variables ind´ependantes Xi, de loi expontentielle
E(λ). D’apr`es la loi des grands nombres, on a alors :
1
n
n
X
i=1
Xi
P
−→ E[X1] = 1
λ.
Un bon candidat pour estimer λest donc b λn:= n/ Pn
1xi.
D´efinition : On dit qu’un estimateur b θnd’un param`etre θ, bas´e sur nobservations (x1, . . . , xn),
est consistant si b θntend en probabilit´e vers θ, lorsque ntend vers l’infini.

2 Th´eor`eme limite central et intervalles de confiance
Supposons que l’on dispose de nr´ealisations (x1, . . . , xn) de variables i.i.d (X1, . . . , Xn) de loi Θ(θ),
dont la moyenne est µθet la variance σ2
θ. Le th´eor`eme limite central permet de donner des intervalles
de confiance pour des quantit´es d´ependant du param`etre θ. Par exemple, la moyenne empirique
bµn=1
nPn
i=1 Xiest un estimateur consistant de µθet d’apr`es le th´eor`eme limite central, lorsque n
tend vers l’infini, on a √n
σθ
(bµn−µθ)L −→ N(0,1).
On peut alors d´eduire facilement un intervalle de confiance pour µθ.
Exemple 1 : On reprend le premier exemple du paragraphe pr´ec´edent. D’apr`es le th´eor`eme limite
central, lorsque ntend vers l’infini, on a
√n(bpn−p)L
−→ N (0, p(1 −p)) , i.e. √n
pp(1 −p)×(bpn−p)L
−→ N(0,1).
´
Etant donn´e un seuil α∈]0,1[, par ex. α= 5%,1% etc., il est facile d’exhiber un r´eel εαtel que
P(|N(0,1)|> εα)≤α.
Auquel cas, pour nassez grand, d’apr`es le th´eor`eme limite central, on a
P 
√n
pp(1 −p)×(bpn−p)> εα!≤α,
i.e. Pbpn−εα
√n×pp(1 −p)≤p≤bpn+εα √n×pp(1 −p)≥1−α,
et comme p(1 −p)≤1/4, on conclut que :
Pbpn−εα
√4n≤p≤bpn+εα √4n≥1−α.
Exemple 2 : On reprend le deuxi`eme exemple du paragraphe pr´ec´edent. D’apr`es le th´eor`eme limite
central, lorsque ntend vers l’infini, on a
√n×λ
b
λn−1L
−→ N(0,1).
Avec αet εαcomme dans l’exemple 1, on en d´eduit que pour nassez grand :
P√n×
λ
b
λn−1≤εα≥1−α,
c’est `a dire
P b λn1 + εα
√n−1
≤λ≤b λn1−εα
√n−1!≥1−α.