Courbes et surfaces paramétrées 1 Fonctions vectorielles.

Courbes param´etr´ees 1
le 17 Mai 2010 UTBM MT21
Arthur LANNUZEL
http ://mathutbmal.free.fr
Courbes et surfaces param´etr´ees
1 Fonctions vectorielles.
1.1 D´efinition-Exemples.
Nous nous limiterons au cas E=R2ou R3(on pourrait travailler avec un espace vectoriel de
dimension finie quelconque).
D´efinition 1.1 i) On appelle fonction vectorielle une fonction de Rdans E.
ii) Etant choisie une base de E, l’ensemble des points Mdans Etels que
−→
OM=f(t), repr´esentation
graphique de la fonction vectorielle f(t), est appel´e courbe param´etr´ee.
Exemples 1.2 i) f(t) = t
2.t + 1 .
ii) g(t) = cos(t)
sin(t).
iii) h(t) = 
cos(t)
sin(t)
t
.
iv) f(t) = 2t+ 5
4t+ 11 .
1.2 Limite, continuit´e, d´erivation.
Nous travillerons avec la norme euclidienne k(x1, ..., xn)k=px2
1+... +x2
n.
D´efinition 1.3 Soit fune fonction vectorielle de Rdans Ede domaine de d´efinition Df.
1) On dit que fconverge vers v∈Equand ttend vers t0et on note limt→t0f(t) = v
ssi
∀ > 0,∃α > 0/∀t∈ Df(|t−t0|< α =⇒ kf(t)−vk< .
La limite de fequivaut `a la limite des coordonn´ees de f.
2) On dit que fest continue en t0∈ Dfssi
lim
t→t0
f(t) = f(t0).
La continuit´e de f´equivaut `a la continuit´e des coordonn´ees de f.

Courbes param´etr´ees 2
3) On dit que fest d´erivable en t0∈ Dfssi
∃f0(t0) := lim
t→t0
f(t)−f(t0)
t−t0
.
La d´erivabilit´e de de f´equivaut `a la d´erivabilit´e des coordonn´ees de f.
Proposition 1.4 Soit fet gdeux fonctions vectorielles de Rdans E.
1) La d´eriv´ee est une application lin´eaire sur l’ensemble des fonctions vectoriel de Rdans E
qui est un Respace vectoriel.
2) Soit φ(t) : R−→ R.(φ(t).f(t))0=φ0(t).f(t) + φ(t).f0(t).
3) (f(t).g(t))0=f0(t).g(t) + f(t).g0(t).
4) (f(t)∧g(t))0=f0(t)∧g(t) + f(t)∧g0(t).
Exercice 1.5 D´eterminer la d´eriv´ee d’un produit mixte de 3 fonctions vectorielles :
[u(t), v(t), w(t)] := (u(t)∧v(t)).w(t).
1.2.1 Formule de Taylor-Young.
Dans le cas d’une fonction vectorielle f n fois d´erivable en t0∈ Df, la formule de Taylor-Young
appliqu´ee `a chacune des composantes donne imm´ediatement :
f(t) = f(t0)+(t−t0)f0(t0) + ... + (t−t0)n.fn(t0)
n!+o((t−t0)n).
2 Courbes param´etr´ees planes.
2.1 Etude locale.
Soit fune fonction vectorielle de Rdans R2d’ensemble de d´efinition D.
Supposons la fonction fd´erivable aussi loin que n´ecessaire.
Notons M(t) le point de R2de coordonn´ees f(t) (M0:= M(t0) et Mh:= M(t0+h)).
Pour n∈N, on a vu que
−→
M0Mh=f(t0+h)−f(t0) =
k=n
X
k=1
hk
k!f(k)(t0) + o(hn).
Cette formule va nous permettre de d´eterminer la tangente `a la courbe en t0et la position de
la courbe par rapport `a cette tangente.

Courbes param´etr´ees 3
1) Si f0(t0)6=0
0et f00(t0)6=0 0non colin´eaires :
−→
M0Mh=h.f0(t0) + h2
2.f00(t0) + o(h2).
Dans ce cas, localement en M0, la courbe pr´esente un point de concavit´e et est du mˆeme
cˆot´e de la tangente que le vecteur f00(t0).
2) Si f0(t0)6=0
0colin´eaire `a f00 (t0) et f000(t0)6=0 0non-colin´eaire `a f0(t0) :
−→
M0Mh=h.f0(t0) + h2
2.f00(t0) + h3 6.f000 (t0) + o(h3).
Dans ce cas, localement en M0, la courbe pr´esente un point d’inflexion et la courbe traverse
la tangente (´etant de l’autre cot´e de la tangente que le vecteur f000(t0) pour h < 0).
3) G´en´eralisation.
Soit f(p)(t0), le premier vecteur d´eriv´e non-nul de fen t0. Soit f(q)(t0), le premier vecteur d´eriv´e
non colin´eaire `a f(p)(t0).
On obtient alors, grˆace `a la formule de Taylor les cas suivants :
a- pimpair, qpair : point de concavit´e
b- pimpair, qimpair : point d’inflexion
c- ppair, qimpair : point de rebroussement de premi`ere esp`ece
d- ppair, qpair : point de rebroussement de seconde esp`ece
2.2 Branches infinies.
D´efinition 2.1 Soit fune fonction vectoriel de Rdans R2d’ensemble de d´efinition D(f(t) =
(x(t), y(t))).
On dit que fadmet une branche infinie en t0∈Dssi
lim
t→t0
kf(t)k= +∞.
Trois cas de branches infinies.
a) limt→t0x(t) = ±∞ et limt→t0y(t) = b∈R:
dans ce cas, la courbe admet une asymptote d’´equation y=b.
b) limt→t0x(t) = a∈Ret limt→t0y(t) = ±∞ :
dans ce cas, la courbe admet une asymptote d’´equation x=a.
a) limt→t0x(t) = ±∞ et limt→t0y(t) = ±∞ :
- Si limt→t0
y(t)
x(t)= 0 alors la courbe admet une branche parabolique de direction (Ox).
- Si limt→t0
y(t)
x(t)=±∞ alors la courbe admet une branche parabolique de direction (Oy).
- Si limt→t0
y(t)
x(t)=a∈Ralors la courbe admet une branche de direction asymptotique a. On
´etudie alors la limite ´eventuelle de y(t)−ax en t0: dans le cas d’une limite finie b, la courbe

Courbes param´etr´ees 4
admet une asymptote d’´equation y=ax +b; dans le cas d’une limite infinie, la courbe a une
branche parabolique de coefficient directeur a.
Les autres cas ne seront pas ´etudi´es ici. Des m´ethodes existent pour pr´eciser.
2.3 Points multiples.
Soit fune fonction vectoriel de Rdans R2d’ensemble de d´efinition D(f(t) = (x(t), y(t))).
Les points multiples (double, triples, ...) de fsur Dsont des points tels que f(t1) = f(t2) =
... =f(tn) (∀i6=j, ti6=tj).
2.4 Plan d’´etude, exemple.
Soit fune fonction vectorielle de Rdans R2(f(t) = (x(t), y(t))).
1) Domaine de d´efinition, p´eriodicit´e, sym´etries.
2) Tableau de variation.
3) Etude des points stationnaires (f0(t) = 0).
4) Branches infinies.
5) Points d’inflexion (f00 (t) = 0)).
6) Autres points remarquable ´eventuels (x(t) = 0, y(t) = 0, points doubles ou multiples,
intersections avec les asymptotes, ...).
7) Graphe.
Exemples 2.2
f(t) = ( 3t
t3+ 1,3t2 t3+ 1).
3 Courbes param´etr´ees dans R3.
Soit fune fonction vectorielle de Rdans R3d’ensemble de d´efinition D(f(t) = (x(t), y(t), z(t))).
On suppose fsuffisament d´erivable au point consid´er´e.
La courbe Γ param´etr´ee repr´esentant f, sous certaines conditions, admet un vecteur tangent
et des vecteurs normaux, perpendiculaires a la courbe (plan normal) en M∈ D.
3.1 Vecteur tangent.
Soit M(t0) un point de Γ. La tangente `a Γ en M(t0) est la droite passant pas M(t0) port´ee par
le vecteur tangent f(p0)(t0) ou p0>0 est le plus petit entier tel que f(p0)(t0)6= 0.
3.2 Vecteur normal, plan normal.
On appelle normale `a Gamma en M(t0) toute droite perpendiculaire `a la tangente et passant
pas M(t0).

Courbes param´etr´ees 5
L’ensemble de toutes ces normale s’appelle le plan normal. Si la tangente est port´ee par f(p0)(t0),
l’´equation du plan tangent est :
x(p0)(t0).(x−x(t0)) + y(p0)(t0).(y−y(t0)) + z(p0)(t0).(z−z(t0)) = 0.
4 Surfaces param´etr´eees dans R3.
Soit fune fonction vectorielle de deux variables de R2dans R3d’ensemble de d´efinition D
(f(s, t) = (x(s, t), y(s, t), z(s, t))). On suppose fsuffisament d´erivable au point consid´er´ee.
La surface param´etr´ee repr´esentant f, sous certaines conditions, admet des vecteurs tangents
(plan tangent) et un vecteur normal (perpendiculaire a la courbe) en M∈ D.