Courbes et surfaces paramétrées 1 Fonctions vectorielles.

Courbes paramétrées
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le 17 Mai 2010 UTBM MT21
Arthur LANNUZEL
http ://mathutbmal.free.fr
Courbes et surfaces paramétrées
1
1.1
Fonctions vectorielles.
Définition-Exemples.
Nous nous limiterons au cas E = R2 ou R3 (on pourrait travailler avec un espace vectoriel de
dimension finie quelconque).
Définition 1.1 i) On appelle fonction vectorielle une fonction de R dans E.
−→
ii) Etant choisie une base de E, l’ensemble des points M dans E tels que OM = f (t), représentation
graphique de la fonction vectorielle f (t), est appelé courbe paramétrée.
t
Exemples 1.2 i) f (t) =
.
2.t + 1
cos(t)
ii) g(t) =
.
sin(t) 
cos(t)

sin(t) .
iii) h(t) =
t
2t + 5
iv) f (t) =
.
4t + 11
1.2
Limite, continuité, dérivation.
Nous travillerons avec la norme euclidienne k(x1 , ..., xn )k =
p
x21 + ... + x2n .
Définition 1.3 Soit f une fonction vectorielle de R dans E de domaine de définition Df .
1) On dit que f converge vers v ∈ E quand t tend vers t0 et on note limt→t0 f (t) = v
ssi
∀ > 0, ∃α > 0/∀t ∈ Df (|t − t0 | < α =⇒ kf (t) − vk < .
La limite de f equivaut à la limite des coordonnées de f .
2) On dit que f est continue en t0 ∈ Df ssi
lim f (t) = f (t0 ).
t→t0
La continuité de f équivaut à la continuité des coordonnées de f .
Courbes paramétrées
2
3) On dit que f est dérivable en t0 ∈ Df ssi
∃f 0 (t0 ) := lim
t→t0
f (t) − f (t0 )
.
t − t0
La dérivabilité de de f équivaut à la dérivabilité des coordonnées de f .
Proposition 1.4 Soit f et g deux fonctions vectorielles de R dans E.
1) La dérivée est une application linéaire sur l’ensemble des fonctions vectoriel de R dans E
qui est un R espace vectoriel.
2) Soit φ(t) : R −→ R. (φ(t).f (t))0 = φ0 (t).f (t) + φ(t).f 0 (t).
3) (f (t).g(t))0 = f 0 (t).g(t) + f (t).g 0 (t).
4) (f (t) ∧ g(t))0 = f 0 (t) ∧ g(t) + f (t) ∧ g 0 (t).
Exercice 1.5 Déterminer la dérivée d’un produit mixte de 3 fonctions vectorielles :
[u(t), v(t), w(t)] := (u(t) ∧ v(t)).w(t).
1.2.1
Formule de Taylor-Young.
Dans le cas d’une fonction vectorielle f n fois dérivable en t0 ∈ Df , la formule de Taylor-Young
appliquée à chacune des composantes donne immédiatement :
f n (t0 )
+ o((t − t0 )n ).
f (t) = f (t0 ) + (t − t0 )f (t0 ) + ... + (t − t0 ) .
n!
0
2
2.1
n
Courbes paramétrées planes.
Etude locale.
Soit f une fonction vectorielle de R dans R2 d’ensemble de définition D.
Supposons la fonction f dérivable aussi loin que nécessaire.
Notons M (t) le point de R2 de coordonnées f (t) (M0 := M (t0 ) et Mh := M (t0 + h)).
Pour n ∈ N, on a vu que
−→
M0 Mh = f (t0 + h) − f (t0 ) =
k=n k
X
h
k=1
k!
f (k) (t0 ) + o(hn ).
Cette formule va nous permettre de déterminer la tangente à la courbe en t0 et la position de
la courbe par rapport à cette tangente.
Courbes paramétrées
0
1) Si f (t0 ) 6=
0
0
3
00
et f (t0 ) 6=
0
0
non colinéaires :
−→
M0 Mh = h.f 0 (t0 ) +
h2 00
.f (t0 ) + o(h2 ).
2
Dans ce cas, localement en M0 , la courbe présente un point de concavité et est du même
côté de la tangente que le vecteur f 00 (t0 ).
0
2) Si f (t0 ) 6=
0
0
00
000
colinéaire à f (t0 ) et f (t0 ) 6=
−→
M0 Mh = h.f 0 (t0 ) +
0
0
non-colinéaire à f 0 (t0 ) :
h2 00
h3
.f (t0 ) + .f 000 (t0 ) + o(h3 ).
2
6
Dans ce cas, localement en M0 , la courbe présente un point d’inflexion et la courbe traverse
la tangente (étant de l’autre coté de la tangente que le vecteur f 000 (t0 ) pour h < 0).
3) Généralisation.
Soit f (p) (t0 ), le premier vecteur dérivé non-nul de f en t0 . Soit f (q) (t0 ), le premier vecteur dérivé
non colinéaire à f (p) (t0 ).
On obtient alors, grâce à la formule de Taylor les cas suivants :
a- p impair, q pair : point de concavité
b- p impair, q impair : point d’inflexion
c- p pair, q impair : point de rebroussement de première espèce
d- p pair, q pair : point de rebroussement de seconde espèce
2.2
Branches infinies.
Définition 2.1 Soit f une fonction vectoriel de R dans R2 d’ensemble de définition D (f (t) =
(x(t), y(t))).
On dit que f admet une branche infinie en t0 ∈ D ssi
lim kf (t)k = +∞.
t→t0
Trois cas de branches infinies.
a) limt→t0 x(t) = ±∞ et limt→t0 y(t) = b ∈ R :
dans ce cas, la courbe admet une asymptote d’équation y = b.
b) limt→t0 x(t) = a ∈ R et limt→t0 y(t) = ±∞ :
dans ce cas, la courbe admet une asymptote d’équation x = a.
a) limt→t0 x(t) = ±∞ et limt→t0 y(t) = ±∞ :
y(t)
- Si limt→t0 x(t)
= 0 alors la courbe admet une branche parabolique de direction (Ox).
y(t)
x(t)
y(t)
limt→t0 x(t)
- Si limt→t0
= ±∞ alors la courbe admet une branche parabolique de direction (Oy).
- Si
= a ∈ R alors la courbe admet une branche de direction asymptotique a. On
étudie alors la limite éventuelle de y(t) − ax en t0 : dans le cas d’une limite finie b, la courbe
Courbes paramétrées
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admet une asymptote d’équation y = ax + b ; dans le cas d’une limite infinie, la courbe a une
branche parabolique de coefficient directeur a.
Les autres cas ne seront pas étudiés ici. Des méthodes existent pour préciser.
2.3
Points multiples.
Soit f une fonction vectoriel de R dans R2 d’ensemble de définition D (f (t) = (x(t), y(t))).
Les points multiples (double, triples, ...) de f sur D sont des points tels que f (t1 ) = f (t2 ) =
... = f (tn ) (∀i 6= j, ti 6= tj ).
2.4
Plan d’étude, exemple.
Soit f une fonction vectorielle de R dans R2 (f (t) = (x(t), y(t))).
1) Domaine de définition, périodicité, symétries.
2) Tableau de variation.
3) Etude des points stationnaires (f 0 (t) = 0).
4) Branches infinies.
5) Points d’inflexion (f 00 (t) = 0)).
6) Autres points remarquable éventuels (x(t) = 0, y(t) = 0, points doubles ou multiples,
intersections avec les asymptotes, ...).
7) Graphe.
Exemples 2.2
f (t) = (
3
3t2
3t
,
).
t3 + 1 t3 + 1
Courbes paramétrées dans R3.
Soit f une fonction vectorielle de R dans R3 d’ensemble de définition D (f (t) = (x(t), y(t), z(t))).
On suppose f suffisament dérivable au point considéré.
La courbe Γ paramétrée représentant f , sous certaines conditions, admet un vecteur tangent
et des vecteurs normaux, perpendiculaires a la courbe (plan normal) en M ∈ D.
3.1
Vecteur tangent.
Soit M (t0 ) un point de Γ. La tangente à Γ en M (t0 ) est la droite passant pas M (t0 ) portée par
le vecteur tangent f (p0 ) (t0 ) ou p0 > 0 est le plus petit entier tel que f (p0 ) (t0 ) 6= 0.
3.2
Vecteur normal, plan normal.
On appelle normale à Gamma en M (t0 ) toute droite perpendiculaire à la tangente et passant
pas M (t0 ).
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L’ensemble de toutes ces normale s’appelle le plan normal. Si la tangente est portée par f (p0 ) (t0 ),
l’équation du plan tangent est :
x(p0 ) (t0 ).(x − x(t0 )) + y (p0 ) (t0 ).(y − y(t0 )) + z (p0 ) (t0 ).(z − z(t0 )) = 0.
4
Surfaces paramétréees dans R3.
Soit f une fonction vectorielle de deux variables de R2 dans R3 d’ensemble de définition D
(f (s, t) = (x(s, t), y(s, t), z(s, t))). On suppose f suffisament dérivable au point considérée.
La surface paramétrée représentant f , sous certaines conditions, admet des vecteurs tangents
(plan tangent) et un vecteur normal (perpendiculaire a la courbe) en M ∈ D.