TD: Déviation d`une particule chargée dans un champ en 1/r2

TD: D´eviation d’une particule charg´ee dans un champ en 1/r2
1 Position du probl`eme
Soit Mune particule t´emoin, charg´ee, soumise au champ ´electrostatique d’une particule S, charg´ee, tr`es
lourde, plac´ee au point O(0,0). On admet que S, appel´ee centre actif, a un recul n´egligeable. On rappelle que
la force de Coulomb qui s’exerce sur la charge t´emoin est: ~ F=1
4π.ε0.qSqM r2.~r ||~r|| .
La particule t´emoin est un proton de masse m= 1,66.10−27 kg, de charge +e= 1,6.10−19 C, qui part du
point P(x=−10 ˚ A, y =y0) avec une vitesse de 3,73.104m.s−1dans la direction (Ox). La distance y0est alors
appel´ee param`etre d’impact; on la note g´en´eralement b.
1. Tracer les trajectoires de Men faisant varier le param`etre d’impact y0∈[0,2 ˚ A;3˚ A] dans le cas o`u le
centre actif a une charge −e. (Pour cela, d´eterminer pr´ealablement un intervalle de temps pendant lequel
la particule subit une interaction significative avec le centre actif).
2. Mˆeme question dans le cas o`u le centre actif a une charge +e. Commenter les diff´erences. ´ Evaluer la
distance minimale entre la particule et le centre actif.
Solution
1. On r´ealise une ´evaluation tr`es grossi`ere en supposant que la vitesse est approximativement constante.
Initialement Mest distante d’environ 10 ˚ A, elle aura parcouru 20 ˚ A en 20.10−10
3,73.104'5.10−14 s.
Syst`eme: M; r´ef´erentiel: li´e `a la particule S; bilan: force de Coulomb.
(m.••
x=1
4.π.ε0.qS.qM
(x2+y2)3/2.x
m.•• y=1
4.π.ε0.qS.qM
(x2+y2)3/2.y .
2. Dans ces deux cas, on obtient une branche d’hyperbole mais le foyer n’est pas le mˆeme.
Pour l’interaction r´epulsive, la distance minimale d’approche est '1,7 ˚ A, la d´eviation Dvarie de 160◦`a
0◦.
N.B. Pour l’interaction attractive, les grandes d´eviations sont des art´efacts (le param`etre d’impact y0ne
peut pas ˆetre plus petit que rS+rM; cf. choc).
2 Code avec Mathematica
Rutherford
Calcul num´erique
In[1]:= e=N[1.6 10^-19];m=N[1.66 10^-27];k=N[9 10^9]; prefacteur=-e e k/m;
Remarque: k = 1/(4 π ε0)
In[3]:= Zmax=10; Z=Table[i,{i,1,Zmax}];
For[i=1,i<=Zmax,i++, b=-0.08 10^-10+0.28 10^-10*i; x=.;y=.;z=.;t=.;tmax=8 10^-14;
ax=prefacteur x[t] (x[t]^2+y[t]^2)^{-3/2};vx0=37313;x0=-10^-9.;
ay=prefacteur y[t] (x[t]^2+y[t]^2)^{-3/2};vy0=0.; y0=b;
tmp=NDSolve[{x’’[t]==ax,x’[0]==vx0,x[0]==x0, y’’[t]==ay,y’[0]==vy0,y[0]==y0},
{x[t],y[t]},{t,0,tmax}];
X=x[t]/.tmp[[1]][[1]]; Y=y[t]/.tmp[[1]][[2]]; Z[[i]]={10^10 X,10^10 Y}]
In[6]:= ParametricPlot[{Z[[1]],Z[[2]],Z[[3]],Z[[4]],Z[[5]],Z[[6]], Z[[7]],Z[[8]],Z[[9]],
Z[[10]]},{t,0,tmax}]
1

ISEN-Brest. Kany. TD: D´eviation d’une particule charg´ee dans un champ en 1/r2
Out[6]=
en r´eit´erant le calcul avec:
In[7]:= prefacteur=+e e k/m;
on obtient:
Out[11]=
3 Code avec Python
# -*- coding: utf-8 -*-
import scipy.integrate
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
2

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4 Annexe: exp´erience de Rutherford
En 1909, les allemands Hans Geiger (1882-1945) et E. Mardsen, en bombardant les noyaux lourds d’une
tr`es mince feuille d’or par des particules α(noyaux d’h´elium), constat`erent que les particules αsubissaient
des d´eviations importantes parfois sup´erieures `a 90◦. L’anglais Ernest Rutherford (1871-1937) am´eliora ces
exp´eriences et expliqua en 1911 les r´esultats en admettant que la charge positive d’un atome ´etait concentr´ee
dans un noyau de tr`es petites dimensions par rapport `a celles de l’atome, les d´eviations observ´ees ´etant dues `a
la r´epulsion coulombienne entre les noyaux des atomes d’or (q= +79 e) et les particules α(q= + 2 e).
En effet, comme il existe une tr`es forte proportion de particules αqui ne sont pas d´evi´ees, le param`etre
d’impact est n´ecessairement grand devant le rayon du noyau d’or. L’atome est donc constitu´e d’un petit noyau
autour duquel gravitent des ´electrons `a une distance tr`es grande. En cons´equence, la mati`ere atomique a une
structure lacunaire contrairement au mod`ele de J.J. Thomson propos´e en 1904.
On montre que l’angle de d´eviation Dest li´e au param`etre d’impact bpar la relation: tan D
2=2e.Ze 4πε0.µ.b.v2
∞
avec v∞la vitesse initiale de la particule α(loin du noyau d’or) et µla masse r´eduite du syst`eme `a deux corps qui
est approximativement mla masse de la particule α.` A partir de l’angle de d´eviation maximum, qui correspond
donc au param`etre d’impact minimum, il est possible d’estimer le rayon des noyaux atomiques. Ainsi, avec
des particules αinitialement `a 5 MeV, la d´eviation maximum est de 150◦ce qui correspond `a un param`etre
d’impact de 6,1.10−15 m. Le rayon du noyau est donc tr`es inf´erieur au rayon de l’atome ('1˚ A).
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