Outils de Simulation 2 Exercice Estimation d`une médiane par l

Outils de Simulation 2
Exercice Estimation d’une m´ediane par l’algorithme
de Robbins-Monro
Soit Zune variable al´eatoire r´eelle de fonction de r´epartition F. Sous r´eserve d’exis-
tence, on d´efinit la m´ediane de Zcomme le (ou les) point(s) z1/2tels que
P(Z≤z1/2) = P(Z≥z1/2) = 1
2.
L’objectif de cet exercice est d’estimer z1/2`a partir d’une suite d’observations (Zn)n≥0
i.i.d. de loi Zgrˆace `a l’algorithme de Robbins-Monro. On suppose que Fest continue.
1. Sous quelle condition suffisante sur Fa-t-on F(z1/2) = 1
2et pour tout z6=z1/2,
(z−z1/2)(F(z)−1
2)>0 ?
2. On pose pour tout x, y ∈R, Ψ(x, y)=1]−∞;x](y). Montrer que F(x) = E(Ψ(x, Z)).
3. Ecrire un algorithme de Robbins-Monro permettant d’approcher cette m´ediane.
4. Tester la convergence de cet algorithme avec la loi uniforme sur [0; 1] et la loi
exponentielle de param`etre 1.
5. Pour ´etablir la convergence en loi, quelle hypoth`ese de r´egularit´e doit-on rajouter
sur F?
6. Pour la loi exponentielle de param`etre λ > 0, calculer les quantit´es σ2et qλet
illustrer la convergence en loi de l’algorithme de Robbins-Monro en fonction du
param`etre λ.
7. On peut se demander ce qui se passe s’il n’existe pas de z1/2tel que F(z1/2) = 1
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ou si ces points forment un intervalle non vide. Illustrer ce qu’il se passe pour la
loi de Bernoulli de param`etre 0 et celle de param`etre 1/2.
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