5e – Chapitre VI – Equations et inéquations CHAPITRE VI EQUATIONS ET INEQUATIONS 1) Equations du premier degré à une inconnue Résolvez les équations suivantes dans ℝ (solutions page 8) : 1re série a) 13 − 7x = 2x + 58 b) 1 − 3 ( 8 − 5y ) = 75 − 4 ( 3y + 11) c) ( 2 − 3x )( 4x + 3) = ( 6x + 7 )( 3 − 2x ) d) 13 − ( 4a − 1) = ( 4a + 7 )( 7 − 4a ) − 37 e) x 1 1 − = +x 2 3 4 f) 3z + 100 = 2 z z + −4 3 2 2e série a) 11 − 3x 17 − 5x = 4 6 b) 23a − 5 ( 3a − 4 ) + 8 ( 7 + a ) = 124 c) ( 2x − 3) − ( 7 + 3x )( 3x − 7 ) = 12 − 43x − ( 4 − x )(1 − 5x ) d) 34x − 3 ( 2x 2 + 10x − 5 ) = 9 − 2x ( 3x − 2 ) e) y − 2 12 − y 5y − 36 − = −1 3 2 4 f) 2z + 1 z − 2 2z + 10 − − =0 3 4 12 2 3e série 7 + 6,5u = u − 11, 2 4 a) 2,5u − b) 1+ c) 10 − 3 ( 2x − 1) − x = 6 + 7 (1 − x ) x x x x − = 4− + 2 3 4 6 -1- 5e – Chapitre VI – Equations et inéquations d) 5a − 2 2a − 1 4a − 36 − = 3 4 16 e) 5x 7 − x 2(3x − 4 ) 9x − 5 − + = −3 6 8 9 36 f) 5− 3x − 1 4 x 7 − 2 x 89 = − + 2 38 6 18 4e série a) 13y 30y 77y 28y + = 2− − 78 45 84 112 b) 5x + 3 8 7 11 − 2x − = − 6 3 12 4 c) 77(x − 2 ) 8 − 9 x x 9x + 4 − = 7 − 2 + 22 20 8 4 d) 8 2 x −3 14 1 x − 1 + x− = 4− − 3 5 4 5 3 7 e) 85z 5z 12z − 9 88 − 99z 9 − 9z 13z − 18 − = 7z − − − 34 27 22 5 54 15 f) 35x + 20 5x − 4 38 9−x − = −x− 10 3 12 2 5e série a) 5 (1− 3x ) 4 = −1 x − 2 1 x + 4 − 1 + = 0 9 6 2 b) 3− c) 3x (−6x + 4) = (9x − 2)(1− 2x ) d) 3x 3 1 3x x − 5 = − 1 + 7 − 8 2 4 8 e) ( 2y − 1) f) 2 ( 2 x − 1) 2 3 2 − 6y (1 − 2y ) + 9y 2 = 0 + 3 ( x − 1) 9 ( x − 4 ) 4 ( 3 − 2 x ) − = 2 5 5 6e série a) 2 − x ( x − 1) = 4 − ( x + 3) b) ( 2 − 3x )( x + 5) = 3 ( x − 2 ) 2 2 −x -2- 5e – Chapitre VI – Equations et inéquations c) ( 5 x − 2 ) − ( 7 x + 2 )(1 − x ) = 2 ( 4 x − 3) d) x + 6 11x 8x − 15 − = 2− 5 60 12 e) 417 1 5x 2 − x − (4x + 1) = − (2x − 7) 2 2 3 f) x + 91 3x x − 1 − − =0 20 5 4 2 2 + 76 7e série 2) a) 23 − 6 ( 4 − 2x ) = 1 − 7 ( 3x + 2 ) − 6 ( 8x − 2 ) b) 2x 2 1 − 3x 9 ( x − 1) 56x − 40 − − = 5 3 5 4 24 c) 1− d) 15 − 7 ( 2x + 5 ) = 3 ( x − 4 ) − ( 8 − 5x ) e) ( 3x − 4 ) f) 15x 6x + 9 28x − 49 8x − 7 − = − 25 12 14 4 5 ( x + 3) 35 2 + 8(6 − x) 6 = 77x − 22 33 − x (1 − 2x ) = 7 − (5 − 11x) ( x + 2 ) Equations à une inconnue d’un degré supérieur à un qu’on peut résoudre à l’aide de la règle du produit nul Résolvez les équations suivantes dans ℝ (solutions pages 8 - 9) : 1re série a) 49x 2 − 25 = 0 b) ( 3x + 8) c) 9x 2 = 4 d) 91y 2 + 39y = 0 e) 9x 2 + 42x + 49 = 0 f) 5x ( 2 + 9x ) − ( 2 + 9x )15 = 0 x − 7 = 0 2 -3- 5e – Chapitre VI – Equations et inéquations 2e série a) x2 + 7 = 0 b) 4 − y 2 = 7y − 14 c) 25 − 20y + 4y 2 = 0 d) 17c2 + 6c = 8c − 3c2 e) (x f) 9 − 12y + 4y 2 = 39 − 26y 2 − 1)( 5x 2 + 8 ) = 0 3e série a) 25x 3 − 12x 2 + 1, 44x = 0 b) ( 4,8y − 7, 2 ) y 2 + 121( 7, 2 − 4,8y ) = 0 c) ( 5x + 3) − (13 − 7x ) d) ( x + 3)( x 2 − 4)(−5x +12) = 0 e) ( 2 − 3x ) 2 f) ( v − 8) − 6v ( v − 8 ) + 9v 2 = 0 2 2 2 =0 − 4x (15x − 3) = ( 7x + 2 )( 2 − 7x ) 4e série a) y4 − 9 = 0 b) a 2 2a 4 − + =0 36 15 25 c) x 2 + 8x + 2 = 0 d) x 2 + x − 6x − 6 = 0 e) ( x − 2)( x 2 − 3x) = −(2 − x )( x − 4) f) (2x + 3) − 25( x −1) = 0 2 2 5e série a) 5 ( y − 3) = 1 b) c 2 3c − 45 + 5 c) ( d) (3x −1)(2 + 5x ) = 0 2 ( 2x − 3 ) ( ) 2 ) 45 − 3c = 0 = 2x 2 − 3 -4- 5e – Chapitre VI – Equations et inéquations e) (3x −1)(2 + 5x ) = −2 f) 2x 2x 3x − 1 = 2 1 − 5 5 6e série a) x 4 − 81 = 0 b) 3( x − 5) + 2x −10 = 0 c) 4 ( x −1) = 9 d) x 2 + 4 = 4x e) 9 ( x 2 − 1) = 4 ( x + 1) f) 2x 2 − ( x + 1) = 2 ( 7 − x ) + 1 2 2 2 2 2 7e série a) ( 6x − 1)( 3 + 7x )( x − 4 ) = 0 b) −2x ( x 2 − 4 ) = x 2 − 2x c) 48x 3 − 75x = 0 d) (a e) ( 3x − 1) f) x4 + x3 − x 2 − x = 0 2 ( ) − 5 ) a 2 − 8a = 2 ( 5 − a 2 ) 2 + 5x ( x − 2 ) = ( x + 1) 2 8e série a) z z 49 − 5 = z 2 5 − 3 3 b) 16y − y5 = 0 c) ( 2x − 5) d) ( 4x − 8 ) ( 2x 2 − 18) = 0 e) ( x − 6 )( 3 + 4x ) + 2 ( x 2 − 36 ) = 0 f) ( x − 5) ⋅ ( x + 2 ) − (1 − 2x ) ⋅ ( x − 5) = 0 2 − 16 = 0 9e série a) 9 − ( 2x − 1) = 0 2 -5- 5e – Chapitre VI – Equations et inéquations b) ( 6,5x c) −4x 2 − 9 + 12x = 0 d) 144 ( 9x − 5 ) + 9x 2 ( 5 − 9x ) = 0 e) 25x 2 − 90x + 81 = 0 f) ( 7x − 9 ) − ( 3 − 5x ) 2 + 15x + 12 ) − ( 2,5x 2 + 15x + 13) = 0 2 2 2 2 =0 10e série 3) a) 121( x − 5 ) + 36x 2 ( 5 − x ) = 0 b) 49x 2 − 21x + c) −9t 2 − 64 + 48t = 0 d) ( 3x + 2 ) ⋅ ( 7 − x ) = 14 e) (12 − 7x ) − ( 3x + 2 ) f) 81x 5 − 256x = 0 9 =0 4 2 2 =0 Inéquations du premier degré à une inconnue Résolvez les inéquations suivantes dans ℝ (solutions page 10) : 1re série a) 7x − 18 < 11x + 6 b) 29 − 5 ( 2x − 7 ) ≥ 8 + 2 ( 3x − 4 ) c) x−2 x+2 > 5 3 d) y + 5 7 − 2y − ≤1 2 3 e) x + 1 5 − 2x 2x − 3 − ≤x− 2 6 10 f) x −3 x +3 < 2 5 2e série a) 3x 2x x − > 5 + 1 − 5 2 3 6 -6- 5e – Chapitre VI – Equations et inéquations b) 3x 2x x − ≥ 5 + 1 − 5 2 3 6 c) 2x + 4 1 3x − 1 2x + 6 − − >1 3 3 2 4 d) 11 1 x 2x − 1 1− x + + < 3x + 24 2 3 4 3 e) x +4 x +5 3+ x + ≥ 16 − 3 4 2 f) 2x − 11 x + 4 7 3x − 16 − < −3 − 5 7 35 15 3e série a) 7 − 3x > 4 ⋅ ( 2 + x ) b) x− c) 2 − 3x x − 3 ≤ 3 2 d) x− e) x+2 2 1− x 7+x − x− ≥ 1− 3 5 4 30 f) x + 1 x − 3 7 − x 1 − 5x − > − 2 4 6 12 x+4 <4 5 x −2 x +5 ≥ 4− 3 6 4e série a) x − 3 1 − 2x 1 − 5x 5 − 7x − + ≥ 1− 4 5 10 6 b) 2x + 5 3 + 2x 3x + 12 14 − x − ≤ 2− − 6 5 20 12 c) 5 ( x + 8 ) 1 − 3x 9 ( x + 1) − > 35 4 126 d) 2 + ( x − 3)(1 − 4x ) ≥ ( x + 1) − 5 ( x − 2 )( x − 1) e) 3 ( x + 8) 1 − 3x 5 ( x + 1) + > 1− 4 70 21 f) 5x − ( x − 3) ≥ ( 2x + 3)(1 − x ) − ( x − 2 )( 5 − x ) − 7 2 2 -7- 5e – Chapitre VI – Equations et inéquations 4) Résolvez dans R les équations rationnelles suivantes après avoir déterminé les conditions d’existence : 5) a) 1 3 x −1 + = 2 2x x − 2 x − 2x b) x −3 x − =2 2 x −1 1 − x c) 1− 3x x −3 = 2 x + x x +1 Pour couvrir les frais d’un voyage en groupe, on demande à chaque participant la somme de 51 €. Or en dernière minute 12 personnes n’ont pas pu participer au voyage à cause d’une épidémie de grippe et il a fallu répartir les frais entre ceux qui restaient, soit 68 € par personne. Combien de personnes le groupe comptait-il au départ ? 6) On considère la figure suivante : ABCD est un carré de côté 5 cm, AEFG est un rectangle et x = IC = IF . a) Quelles sont les valeurs possibles de x ? b) Pour quelles valeurs de x l’aire du rectangle est égale à 1 5 de l’aire du carré ? 7) Soient ABC un triangle rectangle en A, C1 le cercle de centre A et de rayon 2, C2 le cercle de centre B et de rayon 3 et C3 un cercle de centre C tel que ces trois cercles soient deux à deux tangents. Quel est le rayon de C3 ? (schéma et calculs justifiés !) -8- 5e – Chapitre VI – Equations et inéquations SOLUTIONS Exercice 1 1re série a) S = {−5} b) S = {2} c) S = {−3} d) S = {0} 7 e) S = − f) S = {−48} 6 b) S = {3} c) S = {−5} d) S = ∅ 19 e) S = 2 f) S = {0} b) S = {12} c) S = ℝ d) S = {−2} e) S = {−1} f) S = {1} b) S = {0} c) S = {2} d) S = {3} e) S = {3} f) S = {−2} b) S = {14} c) S = {2} d) S = {5} 1 e) S = 5 f) S = {−1} b) S = ∅ c) S = {4} d) S = {3} e) S = {9} f) S = {6} b) S = {1} 97 c) S = 40 d) S = {0} 19 e) S = 42 f) S = {−10} 2e série a) S = {1} 3e série a) S = {75, 6} 4e série a) S = {1} 5e série 3 a) S = 5 6e série a) S = {−1} 7e série a) S = {0} Exercice 2 1re série 5 5 a) S = − ; 7 7 8 b) S = − ;14 3 2 2 c) S = − ; 3 3 3 d) S = − ;0 7 7 e) S = − 3 2 f) S = − ;3 9 b) S = {−9; 2} 5 c) S = 2 2e série a) S = ∅ -9- 5e – Chapitre VI – Equations et inéquations 1 d) S = 0; 10 e) S = {−1;1} 3 f) S = −5; 2 a) S = {0;0, 24} 3 b) S = −11;11; 2 5 c) S = ;8 6 12 d) S = −3; −2; 2; 5 e) S = {0} f) S = {−4} 12 b) S = 5 c) S = − 2 e) S = {2} 2 8 f) S = ; 7 3 3e série 4e série { a) S = − 3; 3 } d) S = {−1;6} { } 5e série { 6 c) S = 2 } 8 10 a) S = ; 3 3 b) S = − 5; 5 2 1 d) S = − ; 5 3 1 e) S = − ;0 15 2 5 f) S = − ; 3 2 a) S = {−3;3} 13 b) S = ;5 3 1 5 c) S = − ; 2 2 d) S = {2} 1 5 e) S = −1; ; 3 3 f) S = {−4; 4} 5 b) S = − ; 0; 2 2 5 5 c) S = − ;0; 4 4 18 e) S = 0; 13 f) S = {−1; 0;1} b) S = {−2;0; 2} 1 9 c) S = ; 2 2 6e série 7e série 3 1 a) S = − ; ; 4 7 6 { d) S = − 5; 2; 5 } 8e série a) S = {15} - 10 - 5e – Chapitre VI – Equations et inéquations 5 e) S = − ;6 2 1 f) S = − ;5 3 a) S = {−1; 2} 5 1 1 b) S = − ; − ; 3 2 2 3 c) S = 2 5 d) S = ; −4; 4 9 9 e) S = 5 f) S = {3;1} 11 11 a) S = 5; − ; 6 6 3 b) S = 14 8 c) S = 3 19 d) S = ;0 3 7 e) S = 1; 2 4 4 f) S = 0; − ; 3 3 a) S = ] − 6, +∞ ) b) S = [ 4, −∞ ) c) S = ] − 8, −∞ ) 5 d) S = , −∞ ) 7 e) S = [19, −∞ ) f) S = ] 7, −∞ ) a) S = ∅ b) S = ℝ c) S = ] − 3, +∞ ) d) S = ] 0, +∞ ) = ℝ*+ e) S = [11, +∞ ) f) S = ∅ 1 a) S = ] − , −∞ ) 7 b) S = ] 6, −∞ ) 13 c) S = , +∞ ) 9 d) S = [3, +∞ ) e) S = ℝ − = [ 0, −∞ ) f) S = ℝ a) S = [ −1, −∞ ) b) S = ℝ c) S = ] − 1, +∞ ) d) S = [ 2, − ∞ ) e) S = ] d) S = {−3; 2;3} 9e série 10e série Exercice 3 1re série 2e série 3e série 4e série 15 f) S = , +∞ ) 19 13 , −∞ ) 15 - 11 -