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5-ch6-equations et inequations-v12

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5e – Chapitre VI – Equations et inéquations
CHAPITRE VI
EQUATIONS ET INEQUATIONS
1)
Equations du premier degré à une inconnue
Résolvez les équations suivantes dans ℝ (solutions page 8) :
1re série
a)
13 − 7x = 2x + 58
b)
1 − 3 ( 8 − 5y ) = 75 − 4 ( 3y + 11)
c)
( 2 − 3x )( 4x + 3) = ( 6x + 7 )( 3 − 2x )
d)
13 − ( 4a − 1) = ( 4a + 7 )( 7 − 4a ) − 37
e)
x 1 1
− = +x
2 3 4
f)
3z + 100 =
2
z z
+ −4
3 2
2e série
a)
11 − 3x 17 − 5x
=
4
6
b)
23a − 5 ( 3a − 4 ) + 8 ( 7 + a ) = 124
c)
( 2x − 3) − ( 7 + 3x )( 3x − 7 ) = 12 − 43x − ( 4 − x )(1 − 5x )
d)
34x − 3 ( 2x 2 + 10x − 5 ) = 9 − 2x ( 3x − 2 )
e)
y − 2 12 − y 5y − 36
−
=
−1
3
2
4
f)
2z + 1 z − 2 2z + 10
−
−
=0
3
4
12
2
3e série
7 + 6,5u
= u − 11, 2
4
a)
2,5u −
b)
1+
c)
10 − 3 ( 2x − 1) − x = 6 + 7 (1 − x )
x x
x x
− = 4− +
2 3
4 6
-1-
5e – Chapitre VI – Equations et inéquations
d)
5a − 2 2a − 1 4a − 36
−
=
3
4
16
e)
5x 7 − x 2(3x − 4 ) 9x − 5
−
+
=
−3
6
8
9
36
f)
5−
3x − 1 4  x 7 − 2 x  89
=  −
+
2
38
6  18
4e série
a)
13y 30y
77y 28y
+
= 2−
−
78
45
84 112
b)
5x + 3 8 7 11 − 2x
− = −
6
3 12
4
c)
77(x − 2 ) 8 − 9 x
 x 9x + 4 
−
= 7 − 2 +

22
20
8 
4
d)
8 2
x −3
14  1 x − 1 
+ x−
 = 4−  −

3 5
4 
5 3
7 
e)
85z
 5z 12z − 9  88 − 99z
 9 − 9z 13z 
− 18  −
= 7z − 
−
−

34
27 
22
5 
 54
 15
f)
35x + 20 5x − 4 38
9−x
−
= −x−
10
3
12
2
5e série
a)
5 (1− 3x )
4
= −1
x − 2 1  x + 4 
− 1 +
= 0
9
6 
2 
b)
3−
c)
3x (−6x + 4) = (9x − 2)(1− 2x )
d)
3x 
3
 1  3x 
 x − 5  = −  1 +  7 − 
8 
2 
4
 8 
e)
( 2y − 1)
f)
2 ( 2 x − 1)
2
3
2
− 6y (1 − 2y ) + 9y 2 = 0
+
3 ( x − 1) 9 ( x − 4 ) 4 ( 3 − 2 x )
−
=
2
5
5
6e série
a)
2 − x ( x − 1) = 4 − ( x + 3)
b)
( 2 − 3x )( x + 5) = 3 ( x − 2 )
2
2
−x
-2-
5e – Chapitre VI – Equations et inéquations
c)
( 5 x − 2 ) − ( 7 x + 2 )(1 − x ) = 2 ( 4 x − 3)
d)
x + 6 11x
8x − 15
−
= 2−
5
60
12
e)
417 
1
5x
2
−  x − (4x + 1) = − (2x − 7)


2
2
3
f)
x + 91 3x x − 1
−
−
=0
20
5
4
2
2
+ 76
7e série
2)
a)
23 − 6 ( 4 − 2x ) = 1 − 7 ( 3x + 2 ) − 6 ( 8x − 2 )
b)
2x 2  1 − 3x 9 ( x − 1)  56x − 40
− 
−
=
5 3 5
4 
24
c)
1−
d)
15 − 7 ( 2x + 5 ) = 3 ( x − 4 ) − ( 8 − 5x )
e)
( 3x − 4 )
f)
15x 6x + 9 28x − 49 8x − 7
−
=
−
25
12
14
4
5 ( x + 3)
35
2
+
8(6 − x)
6
=
77x − 22
33
− x (1 − 2x ) = 7 − (5 − 11x) ( x + 2 )
Equations à une inconnue d’un degré supérieur à un qu’on peut
résoudre à l’aide de la règle du produit nul
Résolvez les équations suivantes dans ℝ (solutions pages 8 - 9) :
1re série
a)
49x 2 − 25 = 0
b)
( 3x + 8) 
c)
9x 2 = 4
d)
91y 2 + 39y = 0
e)
9x 2 + 42x + 49 = 0
f)
5x ( 2 + 9x ) − ( 2 + 9x )15 = 0
x

− 7 = 0
2


-3-
5e – Chapitre VI – Equations et inéquations
2e série
a)
x2 + 7 = 0
b)
4 − y 2 = 7y − 14
c)
25 − 20y + 4y 2 = 0
d)
17c2 + 6c = 8c − 3c2
e)
(x
f)
9 − 12y + 4y 2 = 39 − 26y
2
− 1)( 5x 2 + 8 ) = 0
3e série
a)
25x 3 − 12x 2 + 1, 44x = 0
b)
( 4,8y − 7, 2 ) y 2 + 121( 7, 2 − 4,8y ) = 0
c)
( 5x + 3) − (13 − 7x )
d)
( x + 3)( x 2 − 4)(−5x +12) = 0
e)
( 2 − 3x )
2
f)
( v − 8)
− 6v ( v − 8 ) + 9v 2 = 0
2
2
2
=0
− 4x (15x − 3) = ( 7x + 2 )( 2 − 7x )
4e série
a)
y4 − 9 = 0
b)
a 2 2a 4
− +
=0
36 15 25
c)
x 2 + 8x + 2 = 0
d)
x 2 + x − 6x − 6 = 0
e)
( x − 2)( x 2 − 3x) = −(2 − x )( x − 4)
f)
(2x + 3) − 25( x −1) = 0
2
2
5e série
a)
5 ( y − 3) = 1
b)
c 2 3c − 45 + 5
c)
(
d)
(3x −1)(2 + 5x ) = 0
2
(
2x − 3
) (
)
2
)
45 − 3c = 0
= 2x 2 − 3
-4-
5e – Chapitre VI – Equations et inéquations
e)
(3x −1)(2 + 5x ) = −2
f)
 2x 
 2x 
3x 
− 1 = 2  1 −

5 
 5


6e série
a)
x 4 − 81 = 0
b)
3( x − 5) + 2x −10 = 0
c)
4 ( x −1) = 9
d)
x 2 + 4 = 4x
e)
9 ( x 2 − 1) = 4 ( x + 1)
f)
2x 2 − ( x + 1) = 2 ( 7 − x ) + 1
2
2
2
2
2
7e série
a)
( 6x − 1)( 3 + 7x )( x − 4 ) = 0
b)
−2x ( x 2 − 4 ) = x 2 − 2x
c)
48x 3 − 75x = 0
d)
(a
e)
( 3x − 1)
f)
x4 + x3 − x 2 − x = 0
2
(
)
− 5 ) a 2 − 8a = 2 ( 5 − a 2 )
2
+ 5x ( x − 2 ) = ( x + 1)
2
8e série
a)
z
z


49  − 5  = z 2  5 − 
3
3 

b)
16y − y5 = 0
c)
( 2x − 5)
d)
( 4x − 8 ) ( 2x 2 − 18) = 0
e)
( x − 6 )( 3 + 4x ) + 2 ( x 2 − 36 ) = 0
f)
( x − 5) ⋅ ( x + 2 ) − (1 − 2x ) ⋅ ( x − 5) = 0
2
− 16 = 0
9e série
a)
9 − ( 2x − 1) = 0
2
-5-
5e – Chapitre VI – Equations et inéquations
b)
( 6,5x
c)
−4x 2 − 9 + 12x = 0
d)
144 ( 9x − 5 ) + 9x 2 ( 5 − 9x ) = 0
e)
25x 2 − 90x + 81 = 0
f)
( 7x − 9 ) − ( 3 − 5x )
2
+ 15x + 12 ) − ( 2,5x 2 + 15x + 13) = 0
2
2
2
2
=0
10e série
3)
a)
121( x − 5 ) + 36x 2 ( 5 − x ) = 0
b)
49x 2 − 21x +
c)
−9t 2 − 64 + 48t = 0
d)
( 3x + 2 ) ⋅ ( 7 − x ) = 14
e)
(12 − 7x ) − ( 3x + 2 )
f)
81x 5 − 256x = 0
9
=0
4
2
2
=0
Inéquations du premier degré à une inconnue
Résolvez les inéquations suivantes dans ℝ (solutions page 10) :
1re série
a)
7x − 18 < 11x + 6
b)
29 − 5 ( 2x − 7 ) ≥ 8 + 2 ( 3x − 4 )
c)
x−2 x+2
>
5
3
d)
y + 5 7 − 2y
−
≤1
2
3
e)
x + 1 5 − 2x
2x − 3
−
≤x−
2
6
10
f)
x −3 x +3
<
2
5
2e série
a)
3x 2x
x 
−
> 5  + 1 − 5
2
3
6 
-6-
5e – Chapitre VI – Equations et inéquations
b)
3x 2x
x 
−
≥ 5  + 1 − 5
2
3
6 
c)
2x + 4 1  3x − 1 2x + 6 
− 
−
 >1
3
3 2
4 
d)
11 1  x 2x − 1 
1− x
+  +
 < 3x +
24 2  3
4 
3
e)
x +4 x +5
3+ x
+
≥ 16 −
3
4
2
f)
2x − 11 x + 4
 7 3x − 16 
−
< −3  −

5
7
35 
 15
3e série
a)
7 − 3x > 4 ⋅ ( 2 + x )
b)
x−
c)
2 − 3x x − 3
≤
3
2
d)
x−
e)
x+2 2
1− x 
7+x
− x−
 ≥ 1−
3
5
4 
30
f)
x + 1 x − 3 7 − x 1 − 5x
−
>
−
2
4
6
12
x+4
<4
5
x −2
x +5
≥ 4−
3
6
4e série
a)
x − 3 1 − 2x 1 − 5x
5 − 7x
−
+
≥ 1−
4
5
10
6
b)
2x + 5 3 + 2x
3x + 12 14 − x
−
≤ 2−
−
6
5
20
12
c)
5 ( x + 8 ) 1 − 3x 9 ( x + 1)
−
>
35
4
126
d)
2 + ( x − 3)(1 − 4x ) ≥ ( x + 1) − 5 ( x − 2 )( x − 1)
e)
3 ( x + 8)
1 − 3x 5 ( x + 1)
+
> 1−
4
70
21
f)
5x − ( x − 3) ≥ ( 2x + 3)(1 − x ) − ( x − 2 )( 5 − x ) − 7
2
2
-7-
5e – Chapitre VI – Equations et inéquations
4)
Résolvez dans R les équations rationnelles suivantes après avoir déterminé les
conditions d’existence :
5)
a)
1
3
x −1
+
= 2
2x x − 2 x − 2x
b)
x −3
x
−
=2
2
x −1 1 − x
c)
1− 3x
x −3
=
2
x + x x +1
Pour couvrir les frais d’un voyage en groupe, on demande à chaque participant la
somme de 51 €. Or en dernière minute 12 personnes n’ont pas pu participer au voyage
à cause d’une épidémie de grippe et il a fallu répartir les frais entre ceux qui restaient,
soit 68 € par personne. Combien de personnes le groupe comptait-il au départ ?
6)
On considère la figure suivante :
ABCD est un carré de côté 5 cm, AEFG est un rectangle et x = IC = IF .
a)
Quelles sont les valeurs possibles de x ?
b)
Pour quelles valeurs de x l’aire du rectangle est égale à
1
5
de l’aire du
carré ?
7)
Soient ABC un triangle rectangle en A, C1 le cercle de centre A et de rayon 2, C2 le
cercle de centre B et de rayon 3 et C3 un cercle de centre C tel que ces trois cercles
soient deux à deux tangents. Quel est le rayon de C3 ? (schéma et calculs justifiés !)
-8-
5e – Chapitre VI – Equations et inéquations
SOLUTIONS
Exercice 1
1re série
a) S = {−5}
b) S = {2}
c) S = {−3}
d) S = {0}
 7
e) S = −  f) S = {−48}
 6
b) S = {3}
c) S = {−5}
d) S = ∅
19 
e) S =  
2
f) S = {0}
b) S = {12}
c) S = ℝ
d) S = {−2}
e) S = {−1}
f) S = {1}
b) S = {0}
c) S = {2}
d) S = {3}
e) S = {3}
f) S = {−2}
b) S = {14}
c) S = {2}
d) S = {5}
1 
e) S =  
5
f) S = {−1}
b) S = ∅
c) S = {4}
d) S = {3}
e) S = {9}
f) S = {6}
b) S = {1}
 97 
c) S =  
 40 
d) S = {0}
 19 
e) S =  
 42 
f) S = {−10}
2e série
a) S = {1}
3e série
a) S = {75, 6}
4e série
a) S = {1}
5e série
3
a) S =  
5 
6e série
a) S = {−1}
7e série
a) S = {0}
Exercice 2
1re série
 5 5
a) S = − ; 
 7 7
 8 
b) S = − ;14 
 3 
 2 2
c) S = − ; 
 3 3
 3 
d) S = − ;0 
 7 
 7
e) S = − 
 3
 2 
f) S = − ;3
 9 
b) S = {−9; 2}
5 
c) S =  
2
2e série
a) S = ∅
-9-
5e – Chapitre VI – Equations et inéquations
 1
d) S = 0; 
 10 
e) S = {−1;1}
3

f) S = −5; 
2

a) S = {0;0, 24}
3

b) S = −11;11; 
2

5 
c) S =  ;8
6 
12 

d) S = −3; −2; 2; 
5

e) S = {0}
f) S = {−4}
12 
b) S =  
5
c) S = − 2
e) S = {2}
2 8
f) S =  ; 
7 3
3e série
4e série
{
a) S = − 3; 3
}
d) S = {−1;6}
{
}
5e série
{
 6 
c) S =  
 2 
}
 8 10 
a) S =  ; 
3 3 
b) S = − 5; 5
 2 1
d) S = − ; 
 5 3
 1 
e) S = − ;0 
 15 
 2 5
f) S = − ; 
 3 2
a) S = {−3;3}
13 
b) S =  ;5
3 
 1 5
c) S = − ; 
 2 2
d) S = {2}
 1 5
e) S = −1; ; 
 3 3
f) S = {−4; 4}
 5

b) S = − ; 0; 2 
 2

 5 5
c) S = − ;0; 
 4 4
 18 
e) S = 0; 
 13 
f) S = {−1; 0;1}
b) S = {−2;0; 2}
1 9 
c) S =  ; 
2 2
6e série
7e série
 3 1 
a) S = − ; ; 4 
 7 6 
{
d) S = − 5; 2; 5
}
8e série
a) S = {15}
- 10 -
5e – Chapitre VI – Equations et inéquations
 5 
e) S = − ;6 
 2 
 1 
f) S = − ;5
 3 
a) S = {−1; 2}
 5 1 1
b) S = − ; − ; 
 3 2 2
3
c) S =  
2
5

d) S =  ; −4; 4 
9


9 
e) S =  
5 
f) S = {3;1}
 11 11 
a) S = 5; − ; 
6 6

3
b) S =  
14 
8 
c) S =  
3
19 
d) S =  ;0 
3 
 7
e) S = 1; 
 2
4 4

f) S = 0; − ; 
3 3

a) S = ] − 6, +∞ )
b) S = [ 4, −∞ )
c) S = ] − 8, −∞ )
5
d) S =  , −∞ )
7
e) S = [19, −∞ )
f) S = ] 7, −∞ )
a) S = ∅
b) S = ℝ
c) S = ] − 3, +∞ )
d) S = ] 0, +∞ ) = ℝ*+
e) S = [11, +∞ )
f) S = ∅
1
a) S = ] − , −∞ )
7
b) S = ] 6, −∞ )
13
c) S =  , +∞ )
9
d) S = [3, +∞ )
e) S = ℝ − = [ 0, −∞ )
f) S = ℝ
a) S = [ −1, −∞ )
b) S = ℝ
c) S = ] − 1, +∞ )
d) S = [ 2, − ∞ )
e) S = ]
d) S = {−3; 2;3}
9e série
10e série
Exercice 3
1re série
2e série
3e série
4e série
15
f) S =  , +∞ )
19
13
, −∞ )
15
- 11 -
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