Chapitre 7 : Equations et inéquations.
publicité
Equations et inéquations. Chapitre 7 : Equations et inéquations. I Equations Résoudre une équation d’inconnue x, c’est trouver toutes les valeurs de x qui rendent vraies une égalité. Exemple 1 Parmi les nombres suivants, indiquez ceux qui sont solutions de l’équation 7x2 − 3x = 10. 10 2 e) 3 7 ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... a)2 b) − 1 c)0 d) Exercice 1 √ √ Même question avec l’équation x2 + (1 + 2)x + 2 = 0 √ √ √ a)1 b) − 1 c) 2 d) − 2 e)2 2 1 Les équations du premier degré. Définition 1 Une équation du premier degré est une équation de la forme ax + b = 0 avec a 6= 0 Proposition 1 L’équation du premier degré ax + b = 0 admet une unique solution : . . . . . . . . . . . .. On note S = ......... Exemple 2 Résoudre dans R les équations suivantes : 2 1. 3x = 7 ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... 2. 2(x + 3) = 3(5 − x) ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... 1 2x + 1 3. x − 2 = 3 2 ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... Exercice 2 Trouver trois entiers naturels consécutifs tels que leur somme soit égale à 261. Seconde 1 2008-2009 Equations et inéquations. Exercice 3 Un père a 45 ans et son fils 11 ans. Dans combien d’année l’âge du père sera-t-il le triple de celui du fils ? Exercice 4 3 Quel entier relatif faut-il ajouter au numérateur et au dénominateur de la fraction pour qu’elle devienne 5 1 égale à ? 2 2 Les équations produits Théorème 1 Un produit est nul si et seulement si l’un au moins des facteurs est nuls. Exemple 3 Résoudre dans R l’équation suivante 5x(x + 4)(3 − 8x) = 0. ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... Méthode pour se ramener à une équation produit : 1. On rend l’un des deux membres de l’égalité nul. 2. Si l’expression est une somme, on la factorise : • Soit à l’aide d’un facteur commun. • Soit à l’aide d’une identité remarquable. si vraiment aucune factorisation n’est possible, on peut éventuellement développer l’expression. 3. On résout en utilisant : A × B = 0 ⇔ A = 0 ou B = 0. 4. On donne l’ensemble des solutions ("S=...") Exemple 4 Résoudre dans R les équations suivantes : 1. (x − 2)(2x + 1) = 4x(2x + 1)2 ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... 2. (x − 2)2 − 9 = 0 ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... 3. (2x + 3)2 = (4x − 1)(x − 5) ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... Seconde 2 2008-2009 Equations et inéquations. 3 Les équations quotients Théorème 2 Un quotient est nul si et seulement si son dénominateur est non nul et son numérateur est nul. Autrement dit, A = 0 ⇔ A = 0 ET B 6= 0 B Exemple 5 Résoudre dans R x−2 =0 x+1 ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... Méthode pour résoudre une équation quotient : 1. On recherche les valeurs de x qui annulent le(s) dénominateur(s). Ces valeurs sont appelées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. C A = , on utilise le produit en croix. 2. • Si l’équation est de la forme B D • Sinon : a. on rend l’un des deux membres de l’équation nul. b. On réduit au même dénominateur le membre non nul. c. On résout "numérateur =0". 3. On compare les solutions trouvées avec les valeurs interdites. 4. On donne l’ensemble des solutions ("S=..."). Exemple 6 Résoudre dans R les équations suivantes : 1. 2 3 = . x+3 x+2 ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... 1 1 x2 − 2 − + =0 2. (x − 1)(x − 2) x − 1 x − 2 ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... Seconde 3 2008-2009 Equations et inéquations. ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... II Inéquations 1 Etude de signes Proposition 2 (Règle des signes) a et b sont deux réels : Signe de a Signe de b Signe de a × b a ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· Signe d’un produit Etudier le signe de P (x) = (4x − 1)(2 − x). ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... Seconde 4 2008-2009 Equations et inéquations. ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... Application : Résoudre P (x) ≤ 0. ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... Exemple 7 Etudier le signe de 3x(−2x − 1)(5 − 4x). ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... b Signe d’un quotient Exemple 8 4x(3 − 2x) Etudier le signe de Q(x) = x+1 ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... Seconde 5 2008-2009 Equations et inéquations. ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... ................................................................................................... Application : Résoudre Q(x) ≥ 0. ................................................................................................... 2 Résolution d’inéquations Méthode pour résoudre une inéquation du second degré. 1. Si besoin, on se ramène à une inéquation dont l’un des membres est . . . . . . . . . 2. Si besoin, on transforme le membre non nul de l’inéquation jusqu’à obtenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . ou . . . . . . . . . . . . . . . . . . (exemple : . . . . . . . . . . . . . . . . . ., . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....) 3. On dresse le . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .du produit ou du quotient. 4. On . . . . . . . . . . . . . . . . . . dans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . les . . . . . . . . . . . . . . . . . . de notre inéquation. Exemple 9 Résoudre dans R, (3x + 1)(4x + 2) ≤ (3x + 1)(6x + 2) : 1ère étape :............................. (3x + 1)(4x + 2) ≤ (3x + 1)(6x + 2) ⇔ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2ème étape : .............................. (3x + 1)(4x + 2) − (3x + 1)(6x + 2) ≤ 0 ⇔ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⇔ ................................. On cherche donc les solutions de l’inéquation : ................................. 3ème étape : .............................. 1. Résolution de ............................. (3x + 1)(−2x) = 0 ⇔ ......................................................... ⇔ ......................................................... ⇔ ......................................................... 2. Tableau de signes : .................. .................. .................. 4ème étape : .............................. Seconde ................................. 6 2008-2009 Equations et inéquations. Applications Résoudre dans R les inéquations suivantes puis vérifier les solutions à l’aide de la calculatrice. (4x + 1)(−2x − 5) 1. ≤0 3x 2. −4(2x + 1)2 (3x + 4) ≥ 0 1 2 3. 2x( x + 3) ≤ 4x( x − 1) 2 3 3 x+2 − ≥0 4. 2 x −1 x+1 5. x2 + 2x + 1 ≥ (x + 1)(5x − 6) Seconde 7 2008-2009
