Chapitre 7 : Equations et inéquations.

Equations et inéquations.
Chapitre 7 : Equations et inéquations.
I Equations
Résoudre une équation d’inconnue x, c’est trouver toutes les valeurs de xqui rendent vraies une égalité.
Exemple 1
Parmi les nombres suivants, indiquez ceux qui sont solutions de l’équation 7x2−3x= 10.
a)2 b)−1c)0 d)2
3e)10 7
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Exercice 1
Même question avec l’équation x2+ (1 + √2)x+√2 = 0
a)1 b)−1c)√2d)−√2e)2√2
1 Les équations du premier degré.
Définition 1
Une équation du premier degré est une équation de la forme ax +b= 0 avec a6= 0
Proposition 1
L’équation du premier degré ax +b= 0 admet une unique solution : . . . . . . . . . . . ..
On note
S=.........
Exemple 2
Résoudre dans Rles équations suivantes :
1. 3x=2
7
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2. 2(x+ 3) = 3(5 −x)
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3. 1
3x−2 = 2x+ 1 2
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Exercice 2
Trouver trois entiers naturels consécutifs tels que leur somme soit égale à 261.
Seconde 1 2008-2009

Equations et inéquations.
Exercice 3
Un père a 45 ans et son fils 11 ans.
Dans combien d’année l’âge du père sera-t-il le triple de celui du fils ?
Exercice 4
Quel entier relatif faut-il ajouter au numérateur et au dénominateur de la fraction 3
5pour qu’elle devienne
égale à 1
2?
2 Les équations produits
Théorème 1
Un produit est nul si et seulement si l’un au moins des facteurs est nuls.
Exemple 3
Résoudre dans Rl’équation suivante 5x(x+ 4)(3 −8x) = 0.
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Méthode pour se ramener à une équation produit :
1. On rend l’un des deux membres de l’égalité nul.
2. Si l’expression est une somme, on la factorise :
•Soit à l’aide d’un facteur commun.
•Soit à l’aide d’une identité remarquable.
si vraiment aucune factorisation n’est possible, on peut éventuellement développer l’expression.
3. On résout en utilisant : A×B= 0 ⇔A= 0 ou B = 0.
4. On donne l’ensemble des solutions ("S=...")
Exemple 4
Résoudre dans Rles équations suivantes :
1. (x−2)(2x+ 1) = 4x(2x+ 1)2
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2. (x−2)2−9 = 0
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3. (2x+ 3)2= (4x−1)(x−5)
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Seconde 2 2008-2009

Equations et inéquations.
3 Les équations quotients
Théorème 2
Un quotient est nul si et seulement si son dénominateur est non nul et son numérateur est nul.
Autrement dit,
A
B= 0 ⇔A= 0 ET B 6= 0
Exemple 5
Résoudre dans R
x−2
x+ 1 = 0
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Méthode pour résoudre une équation quotient :
1. On recherche les valeurs de xqui annulent le(s) dénominateur(s).
Ces valeurs sont appelées ........................................
2. •Si l’équation est de la forme A
B=C D, on utilise le produit en croix.
•Sinon :
a. on rend l’un des deux membres de l’équation nul.
b. On réduit au même dénominateur le membre non nul.
c. On résout "numérateur =0".
3. On compare les solutions trouvées avec les valeurs interdites.
4. On donne l’ensemble des solutions ("S=...").
Exemple 6
Résoudre dans Rles équations suivantes :
1. 2
x+ 3 =3 x+ 2.
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2. x2−2
(x−1)(x−2) −1 x−1+1 x−2= 0
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Seconde 3 2008-2009

Equations et inéquations.
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II Inéquations
1 Etude de signes
Proposition 2 (Règle des signes)
aet bsont deux réels :
Signe de a··· ··· ··· ···
Signe de b··· ··· ··· ···
Signe de a×b··· ··· ··· ···
a Signe d’un produit
Etudier le signe de P(x) = (4x−1)(2 −x).
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Seconde 4 2008-2009

Equations et inéquations.
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Application : Résoudre P(x)≤0.
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Exemple 7
Etudier le signe de 3x(−2x−1)(5 −4x).
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b Signe d’un quotient
Exemple 8
Etudier le signe de Q(x) = 4x(3 −2x)
x+ 1
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Seconde 5 2008-2009