Lycée Louis-Le-Grand, Paris Année 2018/2019
Exercices de mathématiques
MPSI 4
Alain TROESCH
Version du:
2 septembre 2018
Table des matières
1 Logique et raisonnements 3
2 Ensembles 8
3 Applications 11
4 Sommes, binôme 15
5 Relations 19
6 Nombres réels 24
7 Nombres complexes 29
8 Limites, dérivation 36
9 Fonctions usuelles 41
10 Calcul intégral 44
11 Équations différentielles linéaires 48
12 Suites 50
13 Calcul asymptotique 57
14 Approximations polynomiales 62
15 Séries numériques 67
16 Continuité et dérivabilité sur un intervalle 72
17 Intégration 77
18 Pivot de Gauss 81
19 Structures algébriques 83
20 Groupes symétriques 89
Table des matières 2
21 Arithmétique 91
22 Polynômes et fractions rationnelles 96
23 Espaces vectoriels 101
24 Applications linéaires 105
25 Matrices 110
26 Déterminants 121
27 Algèbre bilinéaire 125
28 Combinatoire 132
29 Espaces probabilisés, calculs de probabilité 137
30 Variables aléatoires 142
1
Logique et raisonnements
Manipulation d’expressions logiques formelles
Exercice 1.1 – Soit R,Set Tdes propositions. Montrer à l’aide de tables de vérité, puis par un
☆☆☆☆ raisonnement déductif, que les propositions suivantes sont vraies :
1. RÔ⇒ (SÔ⇒ R).
2. (RÔ⇒ S) Ô⇒ ((SÔ⇒ T) Ô⇒ (RÔ⇒ T)).
3. (R∨S) ⇐⇒ ((RÔ⇒ S) Ô⇒ S).
4. (RÔ⇒ (S∨T)) ⇐⇒ (S∨¬R∨T).
5. (RÔ⇒ S) Ô⇒ ((R∧T) Ô⇒ (S∧T)).
6. (R⇐⇒ S) Ô⇒ ((TÔ⇒ R) ⇐⇒ (TÔ⇒ S)).
Exercice 1.2 –
☆☆☆☆ Nier formellement les propositions suivantes.
1. ∀x∈A, ∃y∈B, (P(y) Ô⇒ Q(x, y));
2. ∀x∈A, ((∃y∈B, P (y)) Ô⇒ Q(x, y));
3. (AÔ⇒ (∀x, B(x))) ⇐⇒ (∀y, C(y));
4. AÔ⇒ ((∀x, B(x)) ⇐⇒ (∀y, C(y)));
5. AÔ⇒ (∀x, (B(x) ⇐⇒ (∀y, C(y)))).
Exercice 1.3 –Négations logiques★☆☆☆ Nier formellement les propositions suivantes :
1. ((A∨B) Ô⇒ C) Ô⇒ (D∧E);
2. (AÔ⇒ B) ⇐⇒ (AÔ⇒ ¬C);
3. ∀x∈E, ∃y∈E, A(x, y)∨B(x);
4. (∃x∈E, A(x)) Ô⇒ (∀x∈E, A(x));
5. ∃x∈E, A ⇐⇒ (∃y∈E, A(x, y) ∧B(y));
6. ∃!x, A(x).
Exercice 1.4 – Nier les propositions suivantes :
☆☆☆☆ 1. ∀x∈A, ∃y∈B, (x∈Cet (x, y) ∈ D)ou x/∈ C.
2. ∀x, ∃y, ((x, y) ∈ AÔ⇒ x∈B).
3. ∀x, ((∃y, (x, y) ∈ A) Ô⇒ x∈B).
4. (Aet (BÔ⇒ C)) ⇐⇒ (BÔ⇒ (A⇐⇒ C)).
Quelle différence de sens faites-vous entre les phrases 2 et 3 ?
Exercice 1.5 – Donner la contraposée des expressions suivantes :
☆☆☆☆
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