Séries Numériques : Résumé de Cours

ANALYSE: Résumé du cours les séries numériques
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1. Série. Somme d’une série :
Définition 1 : soit  une suite numérique.
L’expression :  est appelée une série numérique,
et est notée  les nombres    sont les termes de la
série.
Définition 2 : La somme des n premiers termes de la série est appelée
somme partielle :
Si la limite suivante existe et est finie :
On l’appelle la somme de la série  et on dit que la série est convergente.
Si  n’existe pas (par exemple : ),on dit que la série est
divergente et qu’elle n’a pas de somme.
2. Condition nécessaire de convergence :
Théorème 1 : Si la série  est convergente, alors 
Corollaire 1 : Si  le terme général d’une série ne tend pas vers 0
lorsque  alors la série  est divergente.
Exemple :
La série : 
 est divergente, car : 
Théorème 2(critère de Cauchy) : pour que la série 
converge il faut, et il suffit, que la suite de somme partielle  soit
une suite de Cauchy, i.e.
Ou :
3. Séries à termes positifs :
On dit que la série  est une série à termes positifs ssi : 

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3.1. Condition de convergence :
pour qu’une série à termes positifs soit convergente il faut, et il suffit, que
la suite de ses somme partielles soit majorée.
i.e. si  est une série à termes positifs, et  suite de somme
partielle, alors : 
3.2. Règles de comparaison :
Théorème 1: Soit  et  deux séries à termes positifs vérifiant :
A partir d’un certain rang. Alors :
1) Si  converge alors  converge.
2) Si  diverge alors  diverge.
Théorème 2: Soit  et  deux séries à termes positifs, si la limite
non nulle : 
Existe, alors les deux séries sont de même nature.
3.3. Règle de Cauchy :
Théorème : Soit  une série à termes positifs. Si la limite :
existe, alors :
1) Si  alors  converge
2) Si  alors diverge
3.4. Règle de d’Alembert :
Théorème : Soit  une série à termes positifs. Si la limite :
Existe, alors :
1) Si  alors  converge
2) Si  alors  converge

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3.5. Comparaison avec une intégrale :
Théorème : Soit  une série à termes positifs non croissants, i.e.
et soit  une fonction continue telle que :
Alors :
Et on a l’évaluation du reste de la série  :
Ou pour  :
3.6. Règle de Riemann :
Théorème : Soit  une série à termes positifs. Si :
a) La série  est convergente ssi : 
b) La série  est divergente ssi : 
4. Séries alternées :
On dit que  est série alternées ssi :  où .
Théorème : Soit  une série alternée, telle que :
 i.e.  est décroissante.
Alors :  est convergente .
5. Séries à termes de signes quelconques :
5.1. Convergence absolue :
Une série  est dite absolument convergente si la série  est
convergente.
Théorème : toute série absolument convergente est convergente.

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i.e.  absolument convergente   est convergente
5.2. série semi convergente :
On dit que  est semi convergente si :
 est convergente et  est divergente
6. exemples :
6.1. Règle de Cauchy :
Soit 
 , la série :  est convergente, car :
6.2. Règle de d’Alembert :
Soit 
 , la série :  est convergente, car :
6.3. Comparaison avec une intégrale :
1. La série 
 (série Harmonique)est divergente, car :
L’intégrale 
 diverge.
2. La série 
 est convergente, car :
L’intégrale 
 converge.
Série de Riemann :
Est convergente si :
et est divergente si :
6.4. Règle de Riemann :
La série 
 est convergente, car :
6.5. Série alternée :
La série 
 est convergente, car :
 et  est décroissante.