Résumé de cours des séries numériques ( www.espace-etudiant.net )

ANALYSE: Résumé du cours
les séries numériques
1. Série. Somme d’une série :
D é f i n i t i o n 1 : soit ( )∈ℕ une suite numérique.
L’expression : + + + ⋯ + + ⋯ est appelée une série numérique,
et est notée ∑ les nombres , , , ⋯ , , ⋯ sont les termes de la
série.
D é f i n i t i o n 2 : La somme des n premiers termes de la série est appelée
somme partielle : = + + + ⋯ + Si la limite suivante existe et est finie :
= lim →
On l’appelle la somme de la série ∑ et on dit que la série est convergente.
Si lim. n’existe pas (par exemple : → ∞ ),on dit que la série ∑ est
divergente et qu’elle n’a pas de somme.
2. Condition nécessaire de convergence :
Théorème 1 : Si la série ∑ est convergente, alors 0
!"#! ⇒ lim = 0
→
→
Corollaire 1 : Si le terme général d’une série ne tend pas vers 0
lorsque → ∞ alors la série ∑ est divergente.
Exemple :
La série : ∑ (
lim ≠ 0 ⇒ &' !"#!
→
* est divergente, car : lim. ()* = 1 ≠ 0
)
Théorème 2 (c r i t è r e d e C a u c h y ) : pour que la série ∑ converge il faut, et il suffit, que la suite de somme partielle , -∈ℕ soit
une suite de Cauchy, i.e.
∀/ > 0 , ∃2 , ∀3 , ∀ ∶ 53 > 2 !6 > 2 ⇒ |8 − | < /;
Ou :
8)?
∀/ > 0 , ∃2 , ∀3 , ∀< ∶ =3 > 2 ⇒ > > < /A
@8
3. Séries à termes positifs :
On dit que la série ∑ est une série à termes positifs ssi : ∀ ∶ ≥ 0
1
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3.1. Condition de convergence :
pour qu’une série à termes positifs soit convergente il faut, et il suffit, que
la suite de ses somme partielles soit majorée.
i.e. si ∑ est une série à termes positifs, et , -∈ℕ suite de somme
partielle, alors :
!"#! ⇔ ∃D, ∀ ∶ ≤ D
3.2. Règles de comparaison :
Théorème 1: Soit ∑ et ∑ F deux séries à termes positifs vérifiant :
A partir d’un certain rang. Alors :
≤ F
1) Si ∑ F converge alors ∑ converge.
2) Si ∑ diverge alors ∑ F diverge.
Théorème 2: Soit ∑ et ∑ F deux séries à termes positifs, si la limite
=G
→ F
Existe, alors les deux séries sont de même nature.
non nulle :
lim
3.3. Règle de Cauchy :
Théorème : Soit ∑ une série à termes positifs. Si la limite :
existe, alors :
1) Si G < 1 alors ∑ converge
lim IH = G
→
2) Si G > 1 alors ∑ diverge
3.4. Règle de d’Alembert :
Théorème : Soit ∑ une série à termes positifs. Si la limite :
)
lim
=G
→ Existe, alors :
1) Si G < 1 alors ∑ converge
2) Si G > 1 alors ∑ converge
2
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3.5. Comparaison avec une intégrale :
Théorème : Soit ∑ F une série à termes positifs non croissants, i.e.
F ≥ F ≥ F ≥ ⋯ ≥ F ≥ ⋯
et soit J(K) une fonction continue telle que :
J(1) = F ; J(2) = F ; J(3) = F ; ⋯ ; J() = F ; ⋯
Alors :
F converge ⇔ W J(K)&K converge
@O
O
Et on a l’évaluation du reste de la série ∑ F :
∀X ∶ W J(K)&K ≤ J() ≤ W J(K)&K
Y)
Ou pour X ≤ ≤ 3 :
8)
@Y)
8)
Y
8
J() ≤ W J(K)&K ≤ J()
@Y)
3.6. Règle de Riemann :
@Y
Y
Théorème : Soit ∑ F une série à termes positifs. Si :
lim Z F = X (X constante positif)
→
a) La série ∑ F est convergente ssi : ` > 1
b) La série ∑ F est divergente ssi : ` ≤ 1
4. Séries alternées :
On dit que ∑ F est série alternées ssi : F = (−1))a b où ∀ ∶ b ≥ 0 .
Théorème : Soit ∑ F une série alternée, telle que :
lim F = 0
→
∀ ∶ |F) | ≤ |F | i.e. |F | est décroissante.
Alors : ∑ F est convergente .
5. Séries à termes de signes quelconques :
5.1. Convergence absolue :
Une série ∑ est dite absolument convergente si la série ∑| | est
convergente.
Théorème : toute série absolument convergente est convergente.
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i.e. ∑ absolument convergente ⇒ ∑ est convergente
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5.2. série semi convergente :
On dit que ∑ est semi convergente si :
∑ est convergente et ∑| | est divergente
6. exemples :
6.1. Règle de Cauchy :
Soit = ( + * , la série : ∑ est convergente, car :
lim→ IH = lim c( + * = lim ( + * = < 1
→
I
6.2. Règle de d’Alembert :
→
, la série : ∑ est convergente, car :
1
)
1
( + 1)!
lim
= lim
= lim e
f=0<1
1
→ →
→ + 1
!
6.3. Comparaison avec une intégrale :
Soit =
!
1. La série ∑ (série Harmonique)est divergente, car :
L’intégrale
g h
2. La série ∑
L’intégrale
i
g h i
&K = 5ln (K); = ∞ diverge.
est convergente, car :
k &K = j l = 1 converge.
Série de Riemann :
h Est convergente si : F < 1
et est divergente si : F ≥ 1
@
1
m
6.4. Règle de Riemann :
La série ∑
i ))n
est convergente, car :
lim
=1
→ + + 5
6.5. Série alternée :
La série ∑
lim. = 0
(k)I
est convergente, car :
et ( ) est décroissante.
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