ANALYSE: Résumé du cours les séries numériques 1. Série. Somme d’une série : D é f i n i t i o n 1 : soit ( )∈ℕ une suite numérique. L’expression : + + + ⋯ + + ⋯ est appelée une série numérique, et est notée ∑ les nombres , , , ⋯ , , ⋯ sont les termes de la série. D é f i n i t i o n 2 : La somme des n premiers termes de la série est appelée somme partielle : = + + + ⋯ + Si la limite suivante existe et est finie : = lim → On l’appelle la somme de la série ∑ et on dit que la série est convergente. Si lim. n’existe pas (par exemple : → ∞ ),on dit que la série ∑ est divergente et qu’elle n’a pas de somme. 2. Condition nécessaire de convergence : Théorème 1 : Si la série ∑ est convergente, alors 0 !"#! ⇒ lim = 0 → → Corollaire 1 : Si le terme général d’une série ne tend pas vers 0 lorsque → ∞ alors la série ∑ est divergente. Exemple : La série : ∑ ( lim ≠ 0 ⇒ &' !"#! → * est divergente, car : lim. ()* = 1 ≠ 0 ) Théorème 2 (c r i t è r e d e C a u c h y ) : pour que la série ∑ converge il faut, et il suffit, que la suite de somme partielle , -∈ℕ soit une suite de Cauchy, i.e. ∀/ > 0 , ∃2 , ∀3 , ∀ ∶ 53 > 2 !6 > 2 ⇒ |8 − | < /; Ou : 8)? ∀/ > 0 , ∃2 , ∀3 , ∀< ∶ =3 > 2 ⇒ > > < /A @8 3. Séries à termes positifs : On dit que la série ∑ est une série à termes positifs ssi : ∀ ∶ ≥ 0 1 ANALYSE: Résumé du cours les séries numériques 3.1. Condition de convergence : pour qu’une série à termes positifs soit convergente il faut, et il suffit, que la suite de ses somme partielles soit majorée. i.e. si ∑ est une série à termes positifs, et , -∈ℕ suite de somme partielle, alors : !"#! ⇔ ∃D, ∀ ∶ ≤ D 3.2. Règles de comparaison : Théorème 1: Soit ∑ et ∑ F deux séries à termes positifs vérifiant : A partir d’un certain rang. Alors : ≤ F 1) Si ∑ F converge alors ∑ converge. 2) Si ∑ diverge alors ∑ F diverge. Théorème 2: Soit ∑ et ∑ F deux séries à termes positifs, si la limite =G → F Existe, alors les deux séries sont de même nature. non nulle : lim 3.3. Règle de Cauchy : Théorème : Soit ∑ une série à termes positifs. Si la limite : existe, alors : 1) Si G < 1 alors ∑ converge lim IH = G → 2) Si G > 1 alors ∑ diverge 3.4. Règle de d’Alembert : Théorème : Soit ∑ une série à termes positifs. Si la limite : ) lim =G → Existe, alors : 1) Si G < 1 alors ∑ converge 2) Si G > 1 alors ∑ converge 2 ANALYSE: Résumé du cours les séries numériques 3.5. Comparaison avec une intégrale : Théorème : Soit ∑ F une série à termes positifs non croissants, i.e. F ≥ F ≥ F ≥ ⋯ ≥ F ≥ ⋯ et soit J(K) une fonction continue telle que : J(1) = F ; J(2) = F ; J(3) = F ; ⋯ ; J() = F ; ⋯ Alors : F converge ⇔ W J(K)&K converge @O O Et on a l’évaluation du reste de la série ∑ F : ∀X ∶ W J(K)&K ≤ J() ≤ W J(K)&K Y) Ou pour X ≤ ≤ 3 : 8) @Y) 8) Y 8 J() ≤ W J(K)&K ≤ J() @Y) 3.6. Règle de Riemann : @Y Y Théorème : Soit ∑ F une série à termes positifs. Si : lim Z F = X (X constante positif) → a) La série ∑ F est convergente ssi : ` > 1 b) La série ∑ F est divergente ssi : ` ≤ 1 4. Séries alternées : On dit que ∑ F est série alternées ssi : F = (−1))a b où ∀ ∶ b ≥ 0 . Théorème : Soit ∑ F une série alternée, telle que : lim F = 0 → ∀ ∶ |F) | ≤ |F | i.e. |F | est décroissante. Alors : ∑ F est convergente . 5. Séries à termes de signes quelconques : 5.1. Convergence absolue : Une série ∑ est dite absolument convergente si la série ∑| | est convergente. Théorème : toute série absolument convergente est convergente. 3 ANALYSE: Résumé du cours i.e. ∑ absolument convergente ⇒ ∑ est convergente les séries numériques 5.2. série semi convergente : On dit que ∑ est semi convergente si : ∑ est convergente et ∑| | est divergente 6. exemples : 6.1. Règle de Cauchy : Soit = ( + * , la série : ∑ est convergente, car : lim→ IH = lim c( + * = lim ( + * = < 1 → I 6.2. Règle de d’Alembert : → , la série : ∑ est convergente, car : 1 ) 1 ( + 1)! lim = lim = lim e f=0<1 1 → → → + 1 ! 6.3. Comparaison avec une intégrale : Soit = ! 1. La série ∑ (série Harmonique)est divergente, car : L’intégrale g h 2. La série ∑ L’intégrale i g h i &K = 5ln (K); = ∞ diverge. est convergente, car : k &K = j l = 1 converge. Série de Riemann : h Est convergente si : F < 1 et est divergente si : F ≥ 1 @ 1 m 6.4. Règle de Riemann : La série ∑ i ))n est convergente, car : lim =1 → + + 5 6.5. Série alternée : La série ∑ lim. = 0 (k)I est convergente, car : et ( ) est décroissante. 4