EXERCICE 3 analyse
Énoncé exercice 3
1. On pose g(x)=e2xet h(x) = 1
1 + x.
Calculer, pour tout entier naturel k, la dérivée d’ordre kdes fonctions get hsur leurs ensembles de
définitions respectifs.
2. On pose f(x) = e2x
1 + x.
En utilisant la formule de Leibniz, concernant la dérivée nème d’un produit de fonctions, déterminer, pour
tout entier naturel net pour x∈R\{−1}, la valeur de fn(x).
3. Démontrer, dans le cas général, la formule de Leibniz, utilisée dans la question précédente.
Corrigé exercice 3
1. gest de classe C∞sur Ret hest de classe C∞sur R\{−1}.
On prouve, par récurrence, que :
∀x∈R,g(k)(x)=2ke2xet ∀x∈R\{−1},h(k)(x) = (−1)kk!
(1 + x)k+1 .
2. get hsont de classe C∞sur R\{−1}donc, d’après la formule de Leibniz, fest de classe C∞sur R\{−1}
et ∀x∈R\{−1}:
f(n)(x) =
n
X
k=0 n
kg(n−k)(x)h(k)(x) =
n
X
k=0 n
k2n−ke2x(−1)kk!
(1 + x)k+1 =n!e2x
n
X
k=0
(−1)k2n−k
(n−k)!(1 + x)k+1 .
3. Notons (Pn)la propriété :
Si f:I→Ret g:I→Rsont nfois dérivables sur Ialors, fg est nfois dérivable sur Iet :
∀x∈I,(fg)(n)(x) =
n
X
k=0 n
kf(n−k)g(k)(x).
Prouvons que (Pn)est vraie par récurrence sur n.
La propriété est vraie pour n= 0 et pour n= 1 (dérivée d’un produit).
Supposons la propriété vraie au rang n>0.
Soit f:I→Ret g:I→Rdeux fonctions n+ 1 fois dérivables sur I.
Les fonctions fet gsont, en particulier, nfois dérivables sur Iet donc par hypothèse de récurrence la
fonction fg l’est aussi avec ∀x∈I,(fg)(n)(x) =
n
X
k=0 n
kf(n−k)g(k)(x).
Pour tout k∈ {0, . . . , n}, les fonctions f(n−k)et g(k)sont dérivables sur Idonc par opération sur les
fonctions dérivables, la fonction (fg)(n)est encore dérivable sur I.
Ainsi la fonction fg est (n+ 1) fois dérivable et :
∀x∈I,(fg)(n+1)(x) =
n
X
k=0 n
kf(n+1−k)(x)g(k)(x) + f(n−k)(x)g(k+1)(x).
En décomposant la somme en deux et en procédant à un décalage d’indice sur la deuxième somme, on
obtient : ∀x∈I,(f g)(n+1)(x) =
n
X
k=0 n
kf(n+1−k)(x)g(k)(x) +
n+1
X
k=1 n
k−1f(n+1−k)(x)g(k)(x).
C’est à dire
(fg)(n+1)(x) =
n
X
k=1 n
k+n
k−1f(n+1−k)(x)g(k)(x) + n
0f(n+1)(x)g(0)(x) + n
nf(0)(x)f(n+1)(x).
Or, en utilisant le triangle de Pascal, on a n
k+n
k−1=n+ 1
k.
On remarque également que n
0=1=n+ 1
0et n
n=1=n+ 1
n+ 1.
On en déduit que (fg)(n+1)(x) =
n+1
X
k=0 n+ 1
kf(n+1−k)(x)g(k)(x).
Donc (Pn+1)est vraie.