Partie B : étude de la fonction f

Correction du dst
Exercice 1
CM 1
Augmenter un nombre de 60 %
revient à le multiplier par le
CM 2
P0
P1
coefficient CM1  1 
P0
60
 1, 60
100
.
Quand on enchaîne des
augmentations, le s coefficients
multiplicateurs se multiplient.
1
Revenir au prix initial signifie que le produit des deux cœfficients multiplicateurs est égal à 1 :
il faut appliquer un coefficient CM 2 tel que CM1  CM 2  1 .
On en déduit que CM 2 
1
 0, 625 ce qui correspond à une baisse de 37,5%.
CM1
2. Lors d'une expérience aléatoire, on considère deux événements indépendants A et B qui vérifient
P(A) = 0,3 et P(B) = 0,5. On a alors:
P  A  B   P  A  P  B   P  A  B  . Puisque les événements A et B sont indépendants, on a :
P( A  B)  P  A  P  B  . On en déduit que P  A  B   P  A  P  B   P( A)  P  B  soit P  A  B   0,65 .
3. f est la fonction définie sur 1'intervalle ] 0 ; +  [ par f  x   2 x  1 
1
lim  f  x    2 x  1   lim
x  x
x 
1
.
x
1
x
 0 la droite d’équation y  2 x  1 est asymptote à la
. Comme xlim

courbe en  .
4. On rappelle que pour a > 0 et b > 0 : ln    ln  a   ln  b  et ln  a  b   ln  a   ln b  .
b
a
e
8
A  2 ln    5ln 2  ln    A  2(ln  e   ln(4))  5ln 2  ln 8  ln(e)
4
e
 A  2 ln  e   2 ln(22 )  5ln 2  ln  23   ln(e) .
comme ln(e) = 1 et ln  2n   n  ln  2  pour n 
on obtient :
A  2  4ln(2)  5ln 2  3ln  2 1 finalement : A  1  4ln  2 .
Exercice 2
1. a. D’après l’énoncé : p  N   0, 2 ; pN  S   0,7 ; pN  S   0,1.
On peut construire l’arbre de probabilité illustrant la situation :
S
p  N  S   p  N   pN  S   0, 2  0,7  0,14 ;
0,7
N
0,2
0,3
0,1
0,8
S
S
N
0,9
b. On cherche p  N  S  :
S
La probabilité qu’un client achète une nappe et un lot de serviettes
est 0,14.
c. D’après la formule des probabilités totales :
p  S   p  N  S   p  N  S   0,14  0,8  0,1  0, 22 ;
p  S   0, 22
d. La probabilité qu’un client achète au moins l’un des deux articles
est
p  N  S   p  N   p  S   p  N  S   0, 2  0, 22  0,14  0, 28 .
Autre méthode : p  N  S   p  N  S   p  N  S   0, 22  0, 2  0,3  0, 28 .
2. Les différentes valeurs de X sont :
- 170 € si le client achète une nappe et un lot de serviettes : p  X  170  p  N  S   0,14 ;
- 125 € si le client achète seulement une nappe : p  X  145   p  N  S   0, 06 ;
- 45 € si le client n’achète qu’un lot de serviettes : p  X  45  p  N  S   0, 08 ;
- 0 € si le client n’achète rien : p  X  0   p  N  S   0, 72 .
On peut dresser le tableau suivant donnant la loi de probabilité de X.
k dépense en €
p X  k
170
0,14
125
0,06
45
0,08
0
0,72
b. L’espérance de cette loi est : E  X   0,14 170  0,06 125  0,08 45  0,72 0  34,9.
Un client dépense en moyenne 34,9 €.
3. On répète trois fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli à deux issues :
- T : « le client achète l’ensemble nappe et serviettes » de probabilité 0,14 ;
- T de probabilité 0,86.
La loi de probabilité du nombre de succès est la loi binomiale de paramètres 3 et 0,14.
Il y a trois résultats réalisant l’événement : « un seul client achète l’ensemble nappe et serviettes » ;
T  T  T , T  T  T et T  T  T .
Chaque résultat est de probabilité : 0,14  0,862 donc la probabilité cherchée est : 3  0,14  0,862 ,
soit, arrondi au millième : 0,311.
Exercice 3
Partie A : étude d’une fonction auxiliaire
1)° La fonction g est dérivable sur  comme produit de fonctions dérivables sur .
On trouve, en rédigeant correctement
x
( Ici, il faut voir la forme u×v) :
g ’(x)
g '(x)  1 ex  xex  ex (x  1) .
Pour tout x  : ex>0, alors g’ est du signe
-∞
-1
-
+∞
0
+
g (x)
de x+1. D’où le tableau de variations :
2
1
e
1°) On voit que g admet sur  un minimum en -1 égal
1
2  >0, donc pour tout x  : g(x)>0.
e
Partie B : étude de la fonction f
1°) a) Déterminer les limites de f en – et en +.
lim f (x)  lim 2x  (x  1)e x   , car : lim 2x   et lim (x 1)e x   0
x 
x 
x 
x 
lim f (x)  lim 2x  (x  1)e x   , car : lim 2x   et lim (x  1)e x   
x 
x 
x 
x 
2°) a) lim  f (x)  2x   lim 2x  (x  1)e x  2x   lim (x  1)e x   0 .
x 
x 
x 
Alors, la droite (D) d’équation y = 2x est asymptote à la courbe (C) au voisinage de –.
b) Etudier la position de (C) par rapport à (D).
On a f(x)-2x = (x – 1) ex. Cette expression est du signe de (x-1). Donc :
Pour x>1 : f(x)-2x >0, c’est-à-dire (C) est au-dessus de (D).
Pour x<1 : f(x)-2x <0, c’est-à-dire (C) est en dessous de (D).
3°) a) La fonction f est dérivable sur  comme produit de fonctions dérivables sur .
On trouve, en rédigeant correctement (Ici, il faut voir la forme u×v) :.
f '(x)  2  ex  (x 1)e x  2  xe x  g(x)
b) On voit que f’(x) est du signe de g(x),
on peut donc utiliser le tableau suivant à
x
-∞
f ’ (x)=g (x)
+∞
+
l’aide de la fin de la partie A :
f (x)
3°) L’équation de la tangente est :
y = f ‘(0)(x – 0 ) + f (0)  y = 2(x – 0 ) + (-
+∞
-∞
1) 
y = 2x-1
Exercice 4
1. Nuage de points :
2. Une équation de la droite d’ajustement affine
y
11
Part des élues en %
de y en x par la méthode des moindres carrés
10
est : y  1,06  x 1,15
9
8
7
3. L’année 2007 est l’année de rang 10, une
6
estimation de la part des femmes élues maires en
5
2007 est donc donnée par : y10  1,06  x10  1,15
4
soit y10  1,06 10  1,15 donc, d’après cet
3
ajustement affine, l’estimation de la part de
2
femmes élues en pourcentage est de y10  9, 45 .
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Rang de l'année
9
10 x
4. La forme du nuage de points laisse penser qu’un autre ajustement serait préférable.
Pour cela, on pose z = ln y, où ln est la fonction logarithme népérien.
5. a. Tableau faisant apparaître les valeurs x et les valeurs : z  ln y , arrondies au centième.
Année
1947
Rang xi
0
1
-0,36
-0,22
zi  ln( yi )
1953 1959
1965
1971
1977
1983
1989
1995
2001
2
3
4
5
6
7
8
9
0
0,10
0,53
0,96
1,39
1,70
2,03
2,42
b. Une équation de la droite d’ajustement affine de z en x par la méthode des moindres
carrés, les coefficients étant arrondis au centième, est : z  0,32 x  0, 61 .
c. D’après la question b. z  0,32 x  0, 61 or, z  ln y , on en déduit que ln( y)  0,32 x  0,61
 e
ln( y )
 e0,32 x 0,61  y  e0,61  e0,32x  y  0,54  e0,32 x . L’ajustement est y  0,54e0,32 x
d. L’année 2007 est l’année de rang 10, une estimation de la part des femmes élues maires en 2007
est donc selon ce dernier ajustement : y10  0,54e0,3210 donc, d’après cet ajustement, l’estimation de
la part de femmes élues en pourcentage est de 13,3 %.