Fonctions exponentielles, croissances comparees et

Mathématiques Bac S
Fonctions exponentielles, croissances comparées et équations
différentielles
Si le cours sur l’exponentielle est maîtrisé, celui-ci ne posera aucun souci. Même si les formules se
retrouvent assez facilement, il est préférable de bien les connaître le jour de l’examen afin de gagner un
temps précieux. Enfin il ne faudra pas oublier de traiter plusieurs cas si la valeur de a n’est pas donnée.
1. Fonctions exponentielles
Définition

a est un réel strictement positif.
Il existe une unique fonction f dérivable sur R qui vérifie les deux conditions suivantes :
f (1)  a


pour tout réel x, y , f (x  y)  f (x).f (y) .

La fonction f définie
sur R par f (x)  e x ln(a) vérifie bien ces conditions. Elle s’appelle fonction
exponentielle de base a , on la note exp a .
 
Pour tout réel x , e x ln(a) est noté a x .

 algébrique
Propriété


Pour tout réels strictement
positifs a,b et tous réels x, y :

a a y  a xy

a   a xy
x y
x
ab
x
a b


x
1 x
x
   a
a 
x
ax
 a xy
y
a
a x a x
   x
b  b

Fonction dérivée de exp a
 exp a est
x , exp a  (x) 
La fonction
dérivable sur R et
 a x ln(a) .
pour tout réel
Sens de variation

Si a 1 , la fonction exp a est strictement croissante sur R.

0  a 1 , la fonction exp a est strictement
Si
décroissante sur R.


Comportement asymptotique
 lim a x  0 et lim a x  .
Si a 1, alors
x

x
Si 0  a 1, alors lim a x   et lim a x  0 .
x


x
2. Croissances
comparées

Pour tout entier naturel non nul n , on a :
e x 
 
x x n

lim x n e x  0
lim
x
ln(x)
0
x x n
lim






3. Fonction racine n -ième où n est un entier naturel et n  2
a est un réel positif. L’unique réel positif tel que x n  a est appelé racine n -ième de a et noté
n
1
n
a a .





n
a . On a
1
n
xn.
fn définie sur 0;
On appelle fonction racine n -ième, la fonction

  par fn (x)
 x 
4. Equations différentielles y ay  b
a,b désignent des réels donnés avec a  0.


y
ay  b sont
Les solutions sur R de l’équation différentielle
les fonctions définies par
b
k réel.
avec
a

Pour tout couple (x0 ; y0 ) de réels, l’équation différentielle y ay  b (avec a  0 ), admet une unique

solution f telle que f (x0 )  y0 .

yk (x)  keax 