lim x→+∞ f’(x) > 0 pour tout x dans ! + . III. Croissances comparées • 2ième cas : Si n est pair n-1 est impair . * f’(x) < 0 pour tout x dans ! * . − f est donc strictement décroissante sur ! − et strictement croissante sur ! + On a que f est paire. Exemple : f(x) = x2 Puissance réelle : Soit f : x " xα = eα ln( x ) , pour α ∈ ! et x∈ ! *+ . α α ln( x ) α α e = ⋅ x = α ⋅ xα −1 . f’(x) = x x • 1er cas : α > 0 f’(x) > 0 pout tout x dans ! *+ . f est strictement croissante sur ! *+ . lim α ln( x) = −∞ , donc lim eα ln( x ) = 0 . x →0 x →0 lim α ln( x) = +∞ , donc lim eα ln( x ) = +∞ . x →+∞ x →+∞ • 2ième cas : α < 0 f’(x) < 0 pout tout x dans ! *+ . f est strictement décroissante sur ! *+ . On a les limites suivantes : = +∞ et lim xα exp(− x) = 0 . exp( x ) xα ln( x ) lim x→+∞ xα x→+∞ = 0 si α > 0. A l’infini : • la fonction exponentielle croît plus vite que toutes les fonctions puissances. • Les fonctions puissances avec α > 0 croissent plus vite que la fonction logarithme. IV. Fonctions trigonométriques Fonction cosinus et sinus : Voir la fiche de 1ière STI sur les fonctions trigonométriques. Fonction tangente : sin x Soit f : x " tan( x) = cos x . π La fonction f est définie sur D = ! \ { 2 + kπ }. Elle est périodique, de période π ( tan( x + π ) = tan( x) pour x dans D). Elle est impaire, c'est-à-dire que tan(− x) = − tan( x) pour x dans D. f est dérivable sur D et tan’(x) = lim α ln( x) = +∞ , donc lim eα ln( x ) = +∞ . x →0 1 cos2 ( x ) pour x dans D. x →0 lim α ln( x) = −∞ , donc lim eα ln( x ) = 0 . x →+∞ x → +∞ Exemples : En bleu : f(x) = x −2 = 1 x2 . En vert : g(x) = x0,6. En violet : h(x) = xπ . Editeur : MemoPage.com SA © / Auteur : Pierre Larivière / 2008 Exemple : f(x) = x3 f est donc strictement croissante sur ! . On a que f est impaire. • 1er cas : Si n est impair n-1 est pair et f’(x) > 0 pour tout x dans ! . Soit f : x " x n , pour n∈ ! et n > 1, et x∈ ! . f’(x) = n xn-1. Puissance entière : II. Etude de fonctions puissance aα aα - β = β a On a aussi : (a × b) α = a α × b α (b> 0 aussi). a −β = β a 1 Propriétés : On retrouve des propriétés que vérifier la fonction exponentielle. Soit α et β appartenant à ! . On a : aα + β = aα × a β Puissance réelle : an = a × a × ... × a (n fois) quand n est entier naturel et a un nombre réel. Nous allons définir pour le nombre réel strictement positif a, sa valeur à une puissance réelle α : a α = e α ln a I. Fonctions puissance : définition Fonctions puissance Fonctions trigonométriques Croissances comparées