Série 4

Département de Mathématiques
Semestre d’automne 2016
Université de Fribourg
Stefan Wenger, Theo Bühler
Analyse I
Série 4
à remettre jusqu’au lundi 24 octobre à 10:00 dans le casier entre les
bureaux 2.55 et 2.56 du bâtiment de physique
Exercice 14. Soient m ∈ N et r ∈ R tel que |r| < 1, et soit (an )n∈N la suite donnée par
an := nm rn . Montrer:
(a) Il existe n1 ∈ N tel que la suite (|an |)n≥n1 est décroissante.
(b) Utiliser (a) pour montrer que la suite (an ) converge vers 0. Indication: Montrer que la
suite bn = n|an | est bornée.
Exercice 15. Calculer les six premières décimales de
√
7.
Exercice 16. Soit (an )n∈N ⊆ R une suite de nombres réels. On définit la suite (mn ) des
moyennes par
n
1 X
mn =
ak
pour tout n ≥ 0.
n+1
k=0
(a) Montrer que si la suite (an ) est convergente, alors la suite (mn ) est convergente et
lim an = lim mn .
n→∞
n→∞
1
(b) Trouver une suite (an ) avec an ∈ {0, 1} pour tout n, telle que lim mn = .
n→∞
3
(c) Trouver une suite non-bornée (an ) telle que (mn ) est convergente.
Exercice 17. Pour chaque suite (an )n≥1 ci-dessous décider si elle converge et trouver sa limite,
le cas échéant.
n
(a) an := 1 + √1n ;
(b) an := 1 +
1
1 n
;
n2
(c) an := (n!) n .