DSbilan14dec2016

DS bilan BTS CM1
Mercredi 14 décembre 2016.
3+𝑒 𝑥
n°1 : Les parties A et B sont indépendantes.
Donner une valeur exacte des résultats si possible, sinon arrondir à 10 – 4.
Partie A :
Le directeur d'une fabrique de microprocesseurs constate que 4 % de la production
journalière d'un certain modèle est défectueuse. Un responsable qualité propose une
vérification systématique des microprocesseurs. Cette vérification n'est pas parfaite,
elle ne détecte(et rejette) que 95% des microprocesseurs défectueux et déclare
défectueux 2% des microprocesseurs (et rejette) qui ne présentent pourtant aucun
défaut.
On prend au hasard l'un des microprocesseurs dans une production journalière.
On appelle :
D l'évènement : "le microprocesseur est défectueux" ;
R l'évènement : "le microprocesseur est rejeté après vérification".
N°2 : On s'intéresse à la fonction f(x) =
1+𝑥 2
On détermine un développement limité de f en 0 à l'ordre 4 à l'aide du logiciel Xcas :
( x5 *order_size(x) signifie x4 (x )
avec lim (x ) = 0 ).
x 0
a. En déduire (sans calcul) une équation de la tangente T0 à Cf en 0.
b. Utiliser ce développement limité pour étudier la position de T0 par rapport à Cf
au voisinage de 0.
c. Faire un schéma (à main levée) pour illustrer la position de Cf et T0 .
a. Traduire cette situation par un arbre pondéré.
–
b. Préciser les probabilités P(D) ; PD(R) ; P D (R) et P(D ∩ R).
–
Décrire par une phrase les trois dernières probabilités. (PD(R) ; P D (R) et P(D ∩ R) )
c. Calculer la probabilité que le microprocesseur soit rejeté.
d. Calculer la probabilité que le microprocesseur ne soit pas défectueux
sachant qu'il a été rejeté.
Partie B :
Dans une série d'un autre modèle de microprocesseurs, on a relevé deux défauts
possibles. On prélève un microprocesseur au hasard, on note :
M1 l'évènement : "le microprocesseur possède le défaut 1" ;
M2 l'évènement : "le microprocesseur possède le défaut 2" .
On admet que les évènements M1 et M2 sont indépendants
et que p(M1) = 0,03 et p(M2) = 0,01.
a. Compléter la définition du cours : dire que deux évènements A et B sont
indépendants signifie que ………………………………………………………………………….………………………………………………………
n°3 : petits exercices en vrac…
a. Calculer la dérivée de f(x) = – 4𝑒 5𝑥+3
b. Calculer la dérivée de g(x) = 10 ln⁡(𝑥 2 + 2)
c. Calculer la limite en +∞ de h(x) =
5𝑥 2 +3−10𝑥 3
𝑥 3 +120𝑥+4
.
La courbe de h admet-elle une asymptote ? (précisez)
d. Déterminer la limite en +∞ de k(x) = 50𝑒 −10𝑥+3
La courbe de h admet-elle une asymptote ? (précisez)
b. Calculer la probabilité qu'un microprocesseur prélevé au hasard dans le lot
présente les deux défauts.
c. Calculer la probabilité qu'un microprocesseur prélevé au hasard dans le lot ne
présente aucun des deux défauts.
la suite au verso….
N°4 : QCM : Entourez la réponse correcte.
NOM Prénom :
Barème :
n°1 proba : Partie A : a. 1,5 (arbre)
On a tracé la courbe représentative d'une fonction f définie sur  \{4}.
1. Graphiquement on peut lire que lim f( x ) est égale à :
x
a. – ∞
;
b. 4
a. – ∞
;
b. 4
;
c. +∞ ;
x
lim
 4 x<4
d. 2 ; e. 0
b. 1 (deux défauts) c. 1 (aucun défaut)
n°2 (DL) : a. 0,5 (tangente)
b. 0,75 (position) c. 0,75 (schéma)
TOTAL : 8 points
TOTAL : 2 points
f( x ) est égale à :
c. +∞ ;
d. 2 ; e. 0
3. On peut penser que la courbe Cf admet en +∞ admet une asymptote
a. verticale ; b. oblique ; c. horizontale ; d. aucune asymptote
n°5 : Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = (3 − 𝑥 2 )𝑒 −𝑥 .
a. Déterminer la limite de f en – ∞. (en justifiant)
3
Partie B : a. 0,5 (définition)
 −
;
2. Graphiquement on peut lire que
b. 2 (4 proba&3 phrases) c. 1 (rejeté) d. 1
n°3 : a. 1 (dérivée e)
b. 1 (dérivée ln) c. 1 (lim) d. 1 (lim) TOTAL : 4 points
n°4 : QCM 3×0,5
n°5 : a. 0,75 (lim)
TOTAL : 1,5 points
b. 0,75 (lim) c. 0,5 (dérivée)
𝑥2
b. Prouver que f(x) = 𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥 et en déduire la limite de f en +∞
c. Calculer la dérivée de f et factoriser au maximum.
On pourra vérifier son calcul grâce au logiciel XCAS
La commande "diff" permet de dériver.
d. Etudier le signe de f '(x) et en déduire le tableau
de variation complet de f sur ℝ.
e. Justifier que l’équation f(x) = 0 admet deux solutions sur ℝ
Déterminer un encadrement à 10–1 près de ces solutions.
d. 1,5 (signe tableau) e. 1 (solution) TOTAL : 4,5 points
TOTAL sur 20 points :
correction
N°1: Partie A :
N°2 : a. T0 : y = 4 + x
b. La position de T0 par rapport à Cf au voisinage de 0 est
donnée par le signe de −
7𝑥 2
2
7
or − 2 ⁡ < 0 et x2 ≥ 0
;
donc Cf est toujours située au-dessous de sa tangente au voisinage de 0
c.
T est en rouge et Cf en bleu
a.
b. L'énoncé donne directement : P(D) = 0,04 ;
PD(R) = 0,95 : probabilité que le microprocesseur soit rejeté
sachant qu'il est défectueux.
–
P D (R) = 0,02 : probabilité que le microprocesseur soit rejeté
sachant qu'il n'est PAS défectueux.
P(D ∩ R) : probabilité que le microprocesseur soit à la fois rejeté et défectueux.
se calcule en faisant P(D) × PD(R) = 0,04×0,95 = 0,038
c. Probabilité que le microprocesseur soit rejeté :
–
P(R) = P(D ∩ R) + P(D ∩ R) = 0,038 + 0,96×0,02 = 0,0572
d. Probabilité que le microprocesseur ne soit pas défectueux sachant qu'il a été
rejeté.
–
–
PR(D) = P(R ∩ D) /P(R) = 0,0192/0,0572  0,3357
Partie B : a. Définition du cours : dire que deux évènements A et B sont
indépendants signifie que p(A ⋂ B) = p(A)×p(B)
(la réalisation de l'un ne dépend pas de la réalisation de l'autre)
ou encore pB(A) = p(A) et pA(B) = p(B) .
La définition attendue est la
première.
b. Probabilité qu'un microprocesseur prélevé au hasard dans le lot présente les deux
défauts : p( M1 ∩ M2 ) = p(M1)×p(M2) = 0,0003 car les évènements sont
indépendants.
c. Probabilité qu'un microprocesseur prélevé au hasard dans le lot ne présente aucun
des deux défauts.
–
–
–
–
p( M1 ∩ M2) = p( M1 )×p ( M2) = 0,97 × 0,99 = 0,9603 car les évènements sont
indépendants.
n°3 :
a. Calculer la dérivée de f(x) = – 4𝑒 5𝑥+3
La dérivée de 𝑒 𝑢 ⁡𝑒𝑠𝑡⁡𝑢′ 𝑒 𝑢 ⁡𝑎𝑣𝑒𝑐⁡𝑢 = 5𝑥 + 3⁡𝑒𝑡⁡𝑢′ = 5
f '(x) = −20𝑒 5𝑥+3
b. Calculer la dérivée de g(x) = 10 ln⁡(𝑥 2 + 2)
La dérivée de ln(𝑢) 𝑒𝑠𝑡
20𝑥
𝑥 2 +2
𝑢′
⁡𝑎𝑣𝑒𝑐⁡𝑢
𝑢
= 𝑥 2 + 2⁡𝑒𝑡⁡𝑢′ = 2𝑥
g '(x) =⁡
c. Limite en +∞ de h(x) =
5𝑥 2 +3−10𝑥 3
𝑥 3 +120𝑥+4
:
lim h(x) = lim −
𝑥→⁡+∞
𝑥→⁡+∞
10𝑥 3
⁡= lim
𝑥3
𝑥→⁡+∞
– 10 = – 10.
La courbe de h admet une asymptote "horizontale" en +∞ d'équation y = – 10
d. Déterminer la limite en +∞ de k(x) = 50𝑒 −10𝑥+3
lim − 10𝑥 + 3 = – ∞ et la limite en – ∞ de exponentielle vaut 0
𝑥→⁡+∞
donc lim k(x) = 50×0 = 0
𝑥→⁡+∞
La courbe de h admet une asymptote "horizontale" en +∞ d'équation y = 0
n°4 : 1.
x
lim f( x ) = d. 2
 −
; 2.
x
lim
 4 x<4
f( x ) =
a. – ∞
3. On peut penser que la courbe Cf admet en +∞ admet une asymptote b. oblique
n°5 : Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = (3 − 𝑥 2 )𝑒 −𝑥 .
a. lim ⁡ (3 − 𝑥 2 ) = – ∞
𝑥→⁡−∞
lim ⁡ 𝑒 −𝑥 = + ∞
lim f(x) = – ∞ (produit)
𝑥→⁡−∞
𝑥→⁡−∞
1
b. f(x) = (3 − 𝑥 2 ) × 𝑒 𝑥 =
3
lim ⁡ = 0
𝑥→⁡+∞ 𝑒 𝑥
𝑥2
lim ⁡ 𝑥 = 0
𝑥→⁡+∞ 𝑒
3−𝑥 2
𝑒𝑥
3
𝑥2
⁡= 𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥
(croissance comparée)
(asymptote horizontale d'équation y = 0 )
lim f(x) = 0
𝑥→⁡+∞
c. f '(x) = (−2𝑥)𝑒 −𝑥 + (3 − 𝑥 2 )(−𝑒 −𝑥 ) ⁡ = ⁡ −2𝑥𝑒 −𝑥 − 3𝑒 −𝑥 + 𝑥 2 𝑒 −𝑥
U'
V + U
V' (dérivée d'un produit U×V)
f '(x) = (−2𝑥 − 3 + 𝑥 2 )𝑒 −𝑥
(factorisation par 𝑒 −𝑥 ⁡⁡)
d.
𝑒 −𝑥 > 0 donc f '(x) est du signe de −2𝑥 − 3 + 𝑥 2 : a = 1 ; b = – 2 ; c = – 3
∆ = 16 > 0 le polynôme possède 2 racines : x1 = 3 et x2 = –1 d’où le tableau
x
-
signe f
'(x)
-1
+
3
+
+
–
2e≈5,4
variations –
de f
f(-1) = 2e ≈5,4
0
– 6e–3
≈ – 0,3
f(3 ) = – 6e-3 ≈ – 0,3
e. L’équation f(x) = 0 admet deux solutions x1 et x2 car
f passe est croissante de –∞ (négatif) jusqu'à ≈5,4 (positif) (donc passe par 0)
puis décroissante de ≈ 5,4 (positif) à ≈ – 0,3 (négatif) (donc repasse par 0)
puis elle est de nouveau croissante jusqu'à 0 (mais ne repasse plus au dessus.
Encadrement à 10–1 près : on réalise un balayage avec la calculatrice :
– 1,8 < x1 < – 1,7
et 1,7 < x1 < 1,8