Mathématiques - Concours Advance

EPREUVE DE MATHEMATIQUES
Durée : 1h30
Questions Obligatoires
1. Soit f la fonction numérique définie sur IR \ 1 par f  x  
x3
,
x 1
alors :
(A) f est continue sur   ,  1 
(B) Pour tout x  IR \ 1 f   x  
(C)
2
 x  1
2
lim f  x   1
x 
(D) f est décroissante sur 1, 
(E) L’équation f  x   0 admet une unique solution dans IR \ 1
4e x
2. Soit f et g les fonctions définies sur IR par f  x   1  2 x
et g  x   e2 x  1 , alors :
e 1
(A) Pour tout x  , 0 , g  x   0
(B)
(C)
(D)
(E)
Pour tout x  0,  , f   x   0
f est décroissante sur , 0
lim f  x   1
x 
lim f  x   lim f  x 
x 
x 
3. Soit pour tout x de IR , f  x   1  cos  2 x  g  x   sin 2  x  alors :
(B)
 
f  2
2
Pour tout x de IR , f '  x   sin  2 x 
(C)
Pour tout x de IR , f '  x   2 g   x 
(A)
(D)
(E)
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g  x
1
x2
f  x
lim 2  2
x 0
x
lim
x 0
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4. Soit f la fonction numérique définie sur 1,  par f  x   ln  2 x   1  x ,
alors :
(A)
f 1  0
1 x
x
(C) f est strictement décroissante sur 1, 
(B) Pour tout x  1, 
(D)
f  x 
lim f  x    
x 
(E) Il existe un unique a  1,  , a  ln  2a   1
5.
Soit f une fonction deux fois dérivable sur   2,3 telle que f  0   1 et dont la dérivée
f  a pour tableau de variations :
x -2
-1
0
f
-2
Alors :
0
1
1
3
0
0
  1, 0
f est croissante sur  1,3
Pour tout x  0,3 , f  x   1
(A) f est croissante sur
(B)
(C)
(D) Pour tout x et x tels que
(E)
6.
2  x  x  0,
f  x  f  x 
f  2   1
Soit a, b, c et d quatre entiers naturels non nuls. On a :
a
a
(A)
 b
bc c
a
ac b

(B)
c
bd
d
ab a
(C)

d b d
ab
a
(D)

b
c
c
a c ac
(E)
 
b d bd
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Questions à choisir
7.
Soit D   0,1 
 1,   et
f : D  IR définie par f  x  
1
.
x ln  x 
Alors :
(A) f est continue sur  0,1 
(B)
lim f  x    
x 0
x 0
(C) Sur  1,  , une primitive F de f est : F  x   
(D) f admet une primitive sur  0,1 
(E)
1
ln
2
 x
 f  x  dx  ln  2
4
2
8. Soit f la fonction définie sur   ,   par :
f  x 
 x
2
si x    , 0
f  x 
 x
2
si x  0,   .
Alors :
(A) f est continue sur   ,  
(B) f est dérivable sur   ,  
(C) La valeur moyenne de f sur   ,   est
(D)
0


0
(A)
(B)
(C)
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  f  x  dx


4
1
t2
et I   f  t  dt on a :
0
t 1
I 1
1 
1 
I   1 
 dt
0
 t 1 
I  1  ln 2
1
 k  1   k 1 / n
f
  k / n f  t  dt 
n
 n 
1 1 1 2 1 3 1 4
1  n 
 n f  n   n f  n   n f  n   n f  n   ...  n f  n    I
 
 
 
 
 

(D) Pour tout n  IN  et k 0,1, 2,..., n  1
(E)

  f  x  dx   f  x  dx
(E) La valeur moyenne de f sur   ,   est
9. Soit f  t  
1
2
1
n
k
f 
n
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10.
Soit z et z’ les deux nombres complexes z  3  i et z  1  i  z
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
11.
z 

 

3 1  i
3 1
5
i
6
z  2e
z  2 z

 
  
z  2 2  cos    i sin   
 12 
 12  

3 1
 
cos   
 12  2 2
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé
O, i , j , k  , on considère les points
P  3;  1;5 Q  2;2;3 R  1;  2;4  et S 5;8;4  .
(A) PQ et PR sont colinéaires
(B) Les points P, Q et R sont alignés
(C) Le triangle PQR est isocèle en R
(D) Les plans  PQR  et  PQS  sont confondus
(E)
12.
PS  3PR  2PQ
Soit f la fonction définie sur  0,3 par f  x  
sur  0,3 dont la loi de probabilité a pour densité f.
(A)
 f  x  dx  1
(B)
P  X  2 
(C)
P  X  2   1   f  x  dx
3
0
7
36
2
0
(D)
P 1  X  2   P  X  2 
(E)
P  X  1  P  X  2 
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1
1
x  . On note X la variable aléatoire
9
6
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13. Dans un restaurant sans réservation, on modélise le temps d’attente en minutes pour
obtenir une table par une variable aléatoire X. X suit une loi exponentielle de paramètre  .
Une étude statistique a montré que le temps moyen d’attente est de 10 mn.
(A)
(B)
  10
1

 10
x
20
1  10
e dx
(C) La probabilité qu’un client attende entre 10 et 20 mn est 

10 10
20
(D) La probabilité qu’un client attende plus de 20 mn est 1   10 e 10 x dx
0
(E) Un client attend depuis 10mn. La probabilité qu’il doive attendre encore au
moins 20mn est égale à la probabilité qu’il attende plus de 20mn
14. On considère l’algorithme suivant dans lequel rand (1,7) donne un nombre entier
aléatoire entre 1 et 7.
Variables
i , j, k entiers naturels
Initialisation i  1, k  0
Traitement
Tant que i  6
j  rand 1, 7 
Si j  4 alors
k  k 1
Fin Si
i  i 1
Fin Tant que
Afficher k
Sortie
(A) k est affiché lorsque j a été affecté 6 fois
(B) La valeur affichée de k est un entier inférieur à 4
4
(C) La probabilité que k  0 est égale à
7
 4  3 
(D) La probabilité que k  3 est égale à 4   
 7  7 
3
(E) La probabilité que k  4 est égale à  
7
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CORRIGÉ DU SUJET OFFICIEL
DE l'ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
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A
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F
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B
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C
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