Preuve de la Loi des grands nombres (Etemadi, cd Durrett page 55) Soit (Xi )i≥1 une suite de v.a. de même loi et deux à deux indépendantes. On suppose que E(|Xi |) < ∞, et on note Sn = X1 + · · · + Xn . On veut montrer que n1 Sn converge vers E(X1 ) presque sûrement. On note Yk = Xk 1|Xk |≤k et Tn = Y1 + · · · + Yn . 1) Montrer que X P(|Xk | ≥ k) ≤ E(|X1 |). k≥1 2) Montrer que P(Xk 6= Yk inniment souvent) = 0. 3) En déduire que si Tn /n converge p.s. vers E(X1 ) alors il en est de même pour Sn /n. 4) Montrer que pour tout réel y > 0 ∞ X 1 2 1y<k ≤ . 2 k y k=1 5) Montrer que E(Yk2 ) = 0∞ 2yP(|Yk | ≥ y)dy . P 1 6) En déduire que ∞ k=1 k2 var(Yk ) ≤ 4E(|X1 |). On se donne un réel α > 1, et on note k(n) = bαn c. 7) En estimant R ∞ X P |Tk(n) − E(Tk(n) )| ≥ k(n) k=1 en fonction de Var(Ym ), montrer que Tk(n) − E(Tk(n) ) p.s. −→ 0, k(n) puis que 1 T k(n) k(n) converge p.s. vers E(X1 ). Dans les questions 8) et 9) on suppose que les v.a. Xi sont positives p.s. (et donc Yk ≥ 0 aussi). 8) En faisant un encadrement judicieux, montrer que p.s. α−1 E(X1 ) ≤ lim inf Tm Tm ≤ lim sup ≤ αE(X1 ). m m 9) En déduire que lim Snn = lim Tnn = E(X1 ) p.s.. 10) Conclure dans le cas où les v.a. Xi ne sont pas positives. 1